張博俊,王俊峰,李大鵬,肖 清

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076)

運載火箭彈道設(shè)計是一種典型的非線性規(guī)劃問題,由于火箭的構(gòu)型不同、目標約束不同,往往需要根據(jù)火箭構(gòu)型進行多個控制變量的優(yōu)化,計算工作量大。在運載火箭構(gòu)型論證階段,需要根據(jù)可能的軌道、構(gòu)型、發(fā)動機種類、加注質(zhì)量進行組合,并在其中找到一個運載能力最大的構(gòu)型,工作量非常大。同時,由于構(gòu)型不同,火箭的控制變量也不盡相同,難以進行統(tǒng)一建模,往往需要根據(jù)具體軌道、構(gòu)型進行精細設(shè)計才能得到最優(yōu)運載能力。因此,有必要針對運載火箭彈道設(shè)計問題進行分析、簡化,構(gòu)建一種通用的、易于尋優(yōu)的簡化彈道設(shè)計方法,滿足減少運載火箭構(gòu)型論證工作計算量的需求。

張子明等[1]探討了運載火箭上升段的主要優(yōu)化參數(shù)。張柳等[2]在此基礎(chǔ)上提出了一種基于PSO-Powell算法的運載火箭優(yōu)化算法,認為影響火箭運載能力的主要變量為各級程序角。胡冬生等[3]分析了不同約束變量對火箭運載能力的影響。洪蓓等[4]提出了在有入軌約束的情況下進行運載火箭彈道優(yōu)化的算法。熊偉等[5]提出了一種利用遺傳算法和牛頓迭代法共同對彈道參數(shù)進行尋優(yōu)的方案。這些方案都提出了一系列針對固定構(gòu)型的運載火箭彈道優(yōu)化思路。本文根據(jù)對多種構(gòu)型火箭不同發(fā)射軌道的研究,提出了一種簡化彈道設(shè)計方法,解決在構(gòu)型論證工作中運載火箭的運載能力優(yōu)化問題,極大地減少了計算量。該方法通過簡化入軌級程序角設(shè)計方法使不確定的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一次牛頓迭代尋優(yōu)過程,提高了計算效率。通過對國內(nèi)外的2種運載火箭的飛行曲線擬合,驗證了該方法的可行性和正確性,證明了簡化彈道設(shè)計方法可以滿足構(gòu)型論證工作中由于軌道、構(gòu)型不確定產(chǎn)生的統(tǒng)一彈道計算方法的需求。

1 彈道計算的數(shù)學(xué)模型

1.1 動力學(xué)模型

建立在發(fā)射坐標系下的火箭的上升段彈道三自由度質(zhì)點動力學(xué)方程[6]:

(1)

(2)

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1.2 飛行程序角模型

在文獻[2]的基礎(chǔ)上對飛行程序角進行一定的修改,公式分為3部分,其中前兩部分全稱為重力轉(zhuǎn)彎段,該段的飛行程序如下:

(4)

式中:α為攻角,θ為彈道傾角,ωz為地球旋轉(zhuǎn)角速度在發(fā)射坐標系z軸方向的分量,tturn為垂直段飛行時間,則

α=4αMetturn-t(etturn-t-1)

(5)

式中:αM為常量,也是迭代參數(shù)。

根據(jù)式(4)、式(5)可以得知,火箭的重力轉(zhuǎn)彎段分為2個過程,一個是從t0到tturn的垂直起飛過程,該時間可以由火箭出發(fā)射塔時間計算得出;另一個是重力轉(zhuǎn)彎過程,在這一階段,攻角α的曲線由期望的關(guān)機點程序角終值迭代αM得出,并最終計算得出飛行程序角。

轉(zhuǎn)彎段關(guān)機后至停泊軌道為第3個部分,該段程序角為

(6)

(7)

1.3 推力啟動段關(guān)機段的簡化

在實際火箭飛行過程中,必須考慮到火箭每一級發(fā)動機啟動段的推力、流量的建立、關(guān)機過程,情況較為復(fù)雜。同時,由于冷熱分離情況不同,因此在實際的火箭彈道計算過程中,發(fā)動機推力的建立和關(guān)機是必須詳細考慮的。另一方面,推力、流量的曲線并非線性變化的,不同推進劑的發(fā)動機的啟動、關(guān)閉時間也不相同,因此很難用一個框架來統(tǒng)一化處理。

經(jīng)過大量分析,由于發(fā)動機啟動、關(guān)閉階段的總時間較短,提供的總沖量相對于整個飛行過程來說極小,因此可以直接將這一部分略過,認為這一部分的流程直接可以產(chǎn)生標稱的推力,不計算啟動關(guān)機過程,改為由節(jié)流時間和節(jié)流程度來模擬啟動、關(guān)機過程。

因此,推力公式可以改寫為

(8)

(9)

2 迭代模型的通用化處理

在構(gòu)型論證階段,由于火箭構(gòu)型未定,因此在進行設(shè)計的時候很難固定參考某一在飛型號進行彈道優(yōu)化設(shè)計,因此有必要針對優(yōu)化算法進行通用化處理,使程序能夠適應(yīng)大多數(shù)在飛、在研的火箭構(gòu)型。

2.1 火箭彈道設(shè)計模式

目前在飛的火箭構(gòu)型主要有以下幾種:

①光桿構(gòu)型。無助推,可能有兩級火箭或者三級火箭。

②助推構(gòu)型。有助推,可能有兩級火箭或者三級火箭,各芯級關(guān)機時間有可能與助推相同或者延后。

③火箭加上面級狀態(tài)。在上述2種火箭的基礎(chǔ)上加上上面級,由上面級帶衛(wèi)星直接入軌。

而入軌的軌道有以下幾種:

①直接入軌型太陽同步軌道(sun-synchronous orbit,SSO)、近地球軌道(low earth orbit,LEO),無滑行狀態(tài),火箭直接進入目標軌道;

②霍曼轉(zhuǎn)移入軌,需要在基礎(chǔ)級或者一級/二級飛行完成后,由入軌級滑行一段時間到達原地點后點火進行軌道圓化。

可見,經(jīng)過排列組合后,構(gòu)型論證需要面對的工況數(shù)量龐大,而且難以固定一種設(shè)計方法進行彈道計算。因此有必要針對這種情況進行統(tǒng)一的彈道設(shè)計方法建模,適應(yīng)不同的情況。

2.2 彈道整體分段

一般來說,可以認為霍曼轉(zhuǎn)移入軌是在火箭進入一個稍小的圓形或者橢圓軌道后,再滑行一段時間到指定位置,發(fā)動機二次啟動進入目標軌道的過程[8]。很明顯,在第一步的彈道設(shè)計中,設(shè)計過程是相同的。因此,在這里將計算流程整體分為2種狀態(tài):非滑行狀態(tài)和滑行狀態(tài)。非滑行狀態(tài)是指火箭直接入軌各種軌道;滑行狀態(tài)是指在非滑行入軌后,再增加滑行段和最終入軌段。

由于目前的火箭動力水平達不到單級入軌,直接入軌彈道至少需要兩級才能入軌,所以,可以設(shè)計第一段彈道為重力轉(zhuǎn)彎彈道,后續(xù)段為入軌彈道。

重力轉(zhuǎn)彎彈道在文獻[9]中有具體的設(shè)計方法描述,在這里不再展開。重力轉(zhuǎn)彎后,一般助推或一級將進行分離,而為了提高運載能力,一級/二級等將會多飛一段時間,這一段的工作級的數(shù)量是不一定的,有可能是單二級工作(Falcon9),也有可能是一級、二級一起工作(CZ-7)或者一級、二級、三級一起工作(CZ-3B)。各類火箭的構(gòu)型不同,彈道設(shè)計時的設(shè)計變量也不相同,因此不能以火箭工作級作為俯仰程序角的設(shè)計分段。

針對這種情況,可以將火箭第一次關(guān)機作為重力轉(zhuǎn)彎段終止點,將后續(xù)直到入軌的各段統(tǒng)一作為一段真空推力段來進行設(shè)計,并將這一段稱為入軌段。這樣,可以將重力轉(zhuǎn)彎段后未知的火箭級數(shù)統(tǒng)一起來,認為是由一個程序角變化率和對應(yīng)的飛行時間控制的飛行段。該段的主要任務(wù)是控制火箭從重力轉(zhuǎn)彎段后到入軌的這一段的飛行軌跡。

2.3 非滑行狀態(tài)設(shè)計方法

在實際彈道設(shè)計過程中,首先估計一個轉(zhuǎn)彎段俯仰程序角終值φ0,這樣就決定了本次計算時入軌段的起點,然后使用入軌段的3個控制參數(shù)進行迭代設(shè)計達到入軌要求,流程如下。

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(11)

解完方程組后,即可得到能夠滿足從轉(zhuǎn)彎段終點到入軌點的一組控制變量。

圖1 不同φ0對后續(xù)程序角的影響

運載能力曲線如圖2所示,圖中,mt為載荷質(zhì)量運載能力。由圖2可見,不同的φ0對應(yīng)的運載能力是一條反拋物線,可以解出極值。

圖2 不同φ0對應(yīng)的最優(yōu)運載能力

可見,在不同的重力轉(zhuǎn)彎段程序角終值φ0的情況下,運載能力明顯成反拋物線型,因此可以使用牛頓迭代算法對φ0進行尋優(yōu),即可找到最優(yōu)運載能力。

2.4 滑行狀態(tài)

針對上面級入軌或霍曼轉(zhuǎn)移入軌計算時,可以將2.3節(jié)計算完的最優(yōu)停泊軌道作為計算的初始狀態(tài),并增加一段無動力滑行段和一段動力段,實現(xiàn)運載火箭從停泊軌道到目標軌道的轉(zhuǎn)移。一般來說,僅需要進行一次工作就可以滿足入軌要求,因此設(shè)計思路更加簡化。

③重復(fù)計算至滿足入軌要求。

這樣就可以在原本的停泊軌道的基礎(chǔ)上,計算出SSO或GTO軌道的運載能力,完成了構(gòu)型論證的驗證。

綜上所述,通過分析非滑行入軌和滑行入軌的2類軌道設(shè)計流程及不同火箭構(gòu)型的設(shè)計思路,將非滑行入軌彈道設(shè)計抽象為2段入軌設(shè)計思路,對設(shè)計流程進行了簡化。將復(fù)雜的、不確定非線性規(guī)劃問題簡化為對轉(zhuǎn)彎段程序角φ0的梯度尋優(yōu)過程,極大地簡化了彈道設(shè)計的復(fù)雜度。

3 模型驗證

為驗證簡化模型在不同構(gòu)型火箭、不同發(fā)射任務(wù)中的應(yīng)用效果,選取了美國SpaceX公司的Falcon9火箭發(fā)射銥星任務(wù)和典型CZ-3B火箭發(fā)射任務(wù)進行復(fù)算。

3.1 CZ-3B改進型火箭

使用簡化模型后,計算長三甲系列火箭用戶手冊中的典型CZ-3B火箭任務(wù)軌道參數(shù),計算運載能力結(jié)果為5 510 kg,手冊中給出的運載能力為5 500 kg,二者極為接近。表1對比了手冊及簡化彈道設(shè)計方法計算出的主要動作時序。由于CZ-3B火箭一級、二級屬于熱分離,因此時間偏差較小,到三級第一次關(guān)機后,由于簡化模型未計算后效等方面的影響,累計了一些時間偏差,但啟動段、關(guān)機段沖量較小,未對運載能力產(chǎn)生較大影響。

表1 CZ-3B典型任務(wù)時序?qū)Ρ?/p>

圖3顯示了簡化彈道設(shè)計方法計算出的運載火箭速度、高度曲線與CZ-3B典型發(fā)射任務(wù)的速度、高度曲線的對比情況,由圖可見,二者十分接近。

圖3 CZ-3B速度、高度對比曲線

圖4為使用簡化彈道設(shè)計方法后計算得出的CZ-3B火箭飛行程序角。

3.2 Falcon9火箭

Falcon9火箭參數(shù)來自SpaceX官網(wǎng),根據(jù)發(fā)射任務(wù)手冊,本次Falcon9火箭發(fā)射任務(wù)載荷為9.6 t,使用簡化彈道設(shè)計方法計算后,得到運載能力為9.69 t,二者差距較小,一級、二級主要動作時序見表2。由表2可見,由于參數(shù)資料較少,實際飛行時間有一定的偏差,但各分段時間差異不大。

表2給出了Falcon9銥星任務(wù)實測飛行時序與擬合彈道的對比情況。

表2 Falcon9銥星任務(wù)時序?qū)Ρ?/p>

圖5給出了簡化彈道設(shè)計方法計算出的Falcon9銥星任務(wù)的速度、高度曲線,并與該任務(wù)視頻中給出的速度、高度曲線進行了對比。由圖可見,通過簡化彈道設(shè)計方法計算得出的擬合彈道與實際飛行數(shù)據(jù)貼近,擬合效果較好。

圖5 Faclon9速度、高度對比曲線

圖6中給出了Falcon9銥星任務(wù)使用簡化彈道計算方法得出的飛行程序角。

圖6 Falcon9銥星任務(wù)飛行程序角曲線

由CZ-3B、Falcon9 2種構(gòu)型的火箭運載能力計算、實測數(shù)據(jù)比對可以看出,簡化彈道模型通過較少的輸入?yún)?shù)、更簡單的控制變量和計算方法即可達到很高精度的彈道復(fù)現(xiàn),證明了簡化彈道設(shè)計方法的可行性。

4 結(jié)論

通過理論分析,本文對現(xiàn)有的彈道計算模型進行了簡化,極大地減少了輸入數(shù)據(jù)的類型和數(shù)量,并將不確定的非線性彈道設(shè)計問題簡化為梯度尋優(yōu)過程。使用簡化彈道設(shè)計方法對CZ-3B、Falcon9 2種構(gòu)型完全不同的現(xiàn)役運載火箭的實際飛行曲線進行了擬合,對比結(jié)果顯示,盡管存在一定的偏差,但整體上曲線復(fù)現(xiàn)效果較好,運載能力接近,證明了簡化彈道設(shè)計方法的可行性、正確性。因此,可以認為簡化彈道設(shè)計方法可用于構(gòu)型論證階段的彈道計算。