高遠(yuǎn)，寧會(huì)峰，程金祥

(1.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅蘭州730050；2.中原內(nèi)配集團(tuán)股份有限公司,河南焦作454750)

0 引言

珩磨是一種精加工方法，對(duì)其尺寸序列進(jìn)行預(yù)測(cè)并進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償具有重要意義[1]。傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法如指數(shù)平滑法(Exponential smoothing,ES)、自回歸積分滑動(dòng)平均模型(Autoregressive integrated moving average model, ARIMA)存在非線性處理能力差，預(yù)測(cè)誤差大的缺點(diǎn)[2，3]。智能預(yù)測(cè)方法如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (Artificial neural network,ANN)，存在建模樣本多、耗時(shí)長、小樣本泛化能力差等缺點(diǎn)[4]。

GM(1,1) 灰色預(yù)測(cè)模型以小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)為建模對(duì)象，建模方便，應(yīng)用廣泛[5，6]。但是GM(1,1) 采用近似替代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)方程求解，在一定程度上影響了其預(yù)測(cè)精度。SVR 是一種建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上的小樣本機(jī)器學(xué)習(xí)方法，具有很強(qiáng)的非線性系統(tǒng)處理能力，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[7，8]。但是SVR 模型參數(shù)的選擇對(duì)其預(yù)測(cè)精度的影響很大，一般采用群智能算法進(jìn)行優(yōu)化[9]。

本文提出了結(jié)合GM (1,1) 和SVR 優(yōu)點(diǎn)的GSVR 組合預(yù)測(cè)模型。首先，利用累積法改進(jìn)的GM(1,1)(Accumulation GM(1,1),AGM(1,1))模型進(jìn)行等維遞補(bǔ)預(yù)測(cè)，得到等維遞補(bǔ)AGM(1,1) 模型(Equal -dimensional complement AGM (1,1),ECAGM(1,1))；其次，利用灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimizer,GWO)對(duì)SVR 參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到灰狼優(yōu)化支持向量回歸機(jī) (Support vector regression with grey-wolf optimization algorithm,SVRGWO)并對(duì)ECAGM(1,1)模型殘差進(jìn)行預(yù)測(cè)；最后，利用SVRGWO 殘差預(yù)測(cè)值對(duì)ECAGM(1,1)模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，得到灰色支持向量回歸機(jī)模型(Grey support vector regression,GSVR)，并將其應(yīng)用于柱塞套內(nèi)圓珩磨尺寸的預(yù)測(cè)。

1 ECAGM(1,1)模型

1.1 GM(1,1)模型

設(shè)原始非負(fù)時(shí)間序列：x（0）（k），k＝1，2，L，n,其一階累加生成序列為:

令x（1）（i）在[i-1，i]區(qū)間上的背景值序列為:

得GM(1,1)模型的基本方程：

其中，a 為發(fā)展系數(shù)，b 為灰作用量。

GM(1,1)模型對(duì)應(yīng)的白化微分方程為：

對(duì)GM (1,1) 模型參數(shù)進(jìn)行最小二乘法估計(jì)得：

取初值為x（0）（1），得GM(1,1)的白化響應(yīng)預(yù)測(cè)值：

1.2 AGM(1,1)模型

累積法直接基于樣本數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)，屬于線性無偏最小方差估計(jì)，利用累積法對(duì)參數(shù)a、b 進(jìn)行估計(jì)可消除最小二乘假設(shè)所產(chǎn)生的估計(jì)誤差。對(duì)式(3)兩邊實(shí)施1 至2 階累積和得：

則模型參數(shù)估計(jì)值為：

GM(1,1)模型預(yù)測(cè)公式由其白化方程而不是基本方程得來，存在結(jié)構(gòu)性誤差，經(jīng)推導(dǎo)可得AGM(1,1)模型的基本預(yù)測(cè)公式[10]：

1.3 ECAGM(1,1)模型

為了使AGM(1,1)模型能及時(shí)捕捉數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，將最新預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)補(bǔ)充到建模數(shù)據(jù)中，進(jìn)行動(dòng)態(tài)等維遞補(bǔ)預(yù)測(cè)，具體步驟如下：

(1) 確定AGM(1,1)建模維數(shù)m，利用第1 至m 個(gè)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行AGM(1,1)建模并預(yù)測(cè)第m+1個(gè)數(shù)據(jù)，得其預(yù)測(cè)值（m+1）。

(3)重復(fù)步驟(2)，直至完成要求的所有預(yù)測(cè)。

2 SVRGWO 模型

2.1 SVR 模型

SVR 的基本思想是基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化的原則，通過非線性映射φ（x）將輸入空間的非線性原始樣本數(shù)據(jù)映射到高維特征空間中進(jìn)行線性回歸估計(jì)，其回歸方程為：

引入ε——不敏感度損失函數(shù)來定義擬合精度：

從而得經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)方程：

考慮到擬合誤差，引入松弛因子ξi≥0、ξ*i≥0，并引入懲罰因子C＞0 懲罰擬合誤差，標(biāo)準(zhǔn)ε-SVR 可表示為：

引入核函數(shù)k（xi，xj）＝〈φ（xi），φ（xj）〉，采用對(duì)偶原理求解式(14)，得式(11)中的參數(shù)向量w：

其中，βi、為Lagrange 常數(shù)。

從而得SVR 回歸方程：

核函數(shù)用低維空間的直接運(yùn)算代替高維空間的內(nèi)積運(yùn)算，決定著SVR 的性能，本文選取徑向基核函數(shù)，其表達(dá)式如下：

其中σ 為徑向帶寬。

2.2 GWO 算法

GWO 算法是一種基于迭代模式的群智能優(yōu)化算法[11]，該算法從已知數(shù)量的具有隨機(jī)位置的灰狼開始求解問題。假設(shè)d 維搜索空間中包含N個(gè)個(gè)體，第i 個(gè)個(gè)體的位置Xi為：

包圍獵物過程建模如下所示：

t 表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Xp表示獵物位置，X 表示某個(gè)灰狼位置，A 和C 表示系數(shù)向量，計(jì)算公式是：

其中a 的分量在迭代過程中從2 線性減少到0，而r1、r2表示取值范圍為[0,1]的隨機(jī)向量。

假設(shè)α、β 和γ 分別為目前為止獲得的前三個(gè)最佳個(gè)體，并強(qiáng)制其他個(gè)體ω 根據(jù)最佳個(gè)體的位置更新其位置?；依堑尼鳙C過程建模如下：

2.3 SVRGWO 實(shí)施步驟

利用GWO 優(yōu)化算法對(duì)SVR 的參數(shù)（C，ε，σ）進(jìn)行優(yōu)化，并用SVR 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體步驟如下：

(1)初始化運(yùn)行參數(shù)。

確定種群規(guī)模N，設(shè)置最大迭代次數(shù)tmax或適應(yīng)度誤差限eps 和搜索范圍。

(2)適應(yīng)度評(píng)價(jià)。

以負(fù)平均絕對(duì)百分比誤差值作為種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值fiti（t）：

式中，yi與fi分別表示實(shí)際值與預(yù)測(cè)值，n 為預(yù)測(cè)數(shù)目。

(3)最優(yōu)更新。

根據(jù)適應(yīng)度值大小，確定前三個(gè)最佳個(gè)體的歷史最優(yōu)位置Xα,Xβ和Xγ。

(4)個(gè)體位置更新。

利用式(23)更新個(gè)體位置，得X(t+1)。

(5)重復(fù)步驟(2)～(4)。

(6)判斷是否滿足停止條件。若達(dá)到最大迭代次數(shù)或要求精度，輸出全局最優(yōu)解Xbest；否則，返回步驟(2)。

3 GSVR 組合預(yù)測(cè)模型

將ECAGM(1,1)模型與SVRGWO 模型相結(jié)合，用SVRGWO 模型對(duì)ECAGM(1,1)模型的預(yù)測(cè)殘差進(jìn)行修正，得到GSVR 模型，具體步驟如下：

(1)ECAGM(1,1)模型預(yù)測(cè)

利用ECAGM(1,1)模型，得預(yù)測(cè)序列x（0）（i），i＝1，2，L，n。

(2)計(jì)算殘差序列

(3)SVRGWO 模型預(yù)測(cè)殘差序列

以e（0）（i），i＝1，2，L，l 為SVRGWO 建模數(shù)據(jù)，劃分訓(xùn)練集和驗(yàn)證集，利用SVRGWO 模型預(yù)測(cè)殘差（i），i＝l+1，l+2，L，n

(4)殘差修正

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 珩磨尺寸數(shù)據(jù)

以文獻(xiàn)[12]中的柱塞套內(nèi)徑珩磨尺寸原始數(shù)據(jù)為實(shí)測(cè)值進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)，對(duì)GM(1,1)、AGM(1,1)、ECAGM(1,1)和GSVR 模型的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行比較。實(shí)際值如表1所示。確定GM(1,1)建模維數(shù)m＝15。將原始數(shù)據(jù)劃分為兩部分，前20 組數(shù)據(jù)用于建模與擬合，后4 組數(shù)據(jù)用于測(cè)試，即l＝20。

表1 原始數(shù)據(jù)

4.2 珩磨尺寸預(yù)報(bào)

4.2.1 ECAGM(1,1)珩磨尺寸預(yù)報(bào)

利用累積法求得灰色模型參數(shù)a＝0.057, b＝24.2878。對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得ECAGM(1,1)預(yù)測(cè)序列（1）～（20）和（21）～（24），分別如表2和表3所示。

表2 ECAGM(1,1)預(yù)測(cè)值（1-20）

表3 預(yù)測(cè)值（21-24）

4.2.2 SVRGWO 殘差預(yù)測(cè)

根據(jù)上述方法，計(jì)算得到ECAGM(1,1)模型預(yù)測(cè)殘差序列劃分ECAGM(1,1)模型殘差序列e（0）（1）～e（0）（16）為訓(xùn)練集，e（0）（17）～e（0）（20）為驗(yàn)證集，利用GWO算法求得SVR 最優(yōu)參數(shù) （Cbest，εbest，σbest）＝（20.587，0.0015，0.0375），并在最優(yōu)參數(shù)下訓(xùn)練建立SVRGWO 模型，殘差預(yù)測(cè)序列（20）～（24），如表4所示。

表4 殘差預(yù)測(cè)值

4.2.3 GSVR 組合預(yù)測(cè)

4.3 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

為比較GSVR 模型的預(yù)測(cè)性能，在同等條件下利用表1數(shù)據(jù)進(jìn)行GM(1,1)和AGM(1,1)預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)值如表3所示。為評(píng)價(jià)GM(1,1)、AGM(1,1)、ECAGM(1,1)和GSVR 模型的預(yù)測(cè)精度，對(duì)其預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行均方根誤差 (Root mean square error,RMSE) 和平均絕對(duì)百分比誤差 (Mean absolute percentage error, MAPE) 統(tǒng)計(jì)分析，RMSE 和MAPE 值如表5所示。將GSVR 模型預(yù)測(cè)值、RMSE 和MAPE 值分別與GM (1,1)、AGM(1,1)、ECAGM (1,1) 三種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值、RMSE 和MAPE 值進(jìn)行比較，圖1為四種方法的預(yù)測(cè)曲線對(duì)比圖。

由圖1可以看出，與GM(1,1)、AGM(1,1)和ECAGM(1,1)三種模型相比，GSVR 模型與原始數(shù)據(jù)最接近。

由表5可以看出，與GM(1,1)、AGM(1,1)和ECAGM(1,1)三種模型相比，GSVR 模型的RMSE和MAPE 值最小，其值為0.2826 和4.73%，RMSE 值分別降低了76.61%、73.76%和58.73%，MAPE 值分別降低了76.87%、74.05%和58.73%。圖1和表5表明，GSVR 模型對(duì)珩磨尺寸的預(yù)測(cè)精度明顯優(yōu)于GM(1,1)、AGM(1,1)和ECAGM(1,1)模型。

表5 預(yù)測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析

圖1 預(yù)測(cè)曲線對(duì)比

5 結(jié)論

通過對(duì)灰色GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)并與SVR模型進(jìn)行組合，以珩磨尺寸預(yù)測(cè)進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

(1)ECAGM(1,1)模型充分利用了最新數(shù)據(jù)信息，提高了GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度。

(2)SVRPSO 模型能夠有效地預(yù)測(cè)ECAGM(1,1)模型的殘差。

(3)GSVR 組合預(yù)測(cè)模型修正了ECAGM(1,1)模型的預(yù)測(cè)殘差，提高了預(yù)測(cè)精度，具有工程應(yīng)用價(jià)值。