樊長興

(紹興文理學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系,浙江 紹興 312000)

0 引言

由于客觀事物的復(fù)雜性和人類思維的模糊性，很難用準(zhǔn)確的數(shù)字來評價(jià)客觀事物．于是，Zadhe教授創(chuàng)造性地提出了模糊集(FS)理論來處理模糊信息[1]．此后不久，Atanassov教授進(jìn)一步提出了包含隸屬度和非隸屬度的直覺模糊集(IFS)，但直覺模糊集沒有考慮信息的不確定性[2]．為了找到一種更精確的表示方法，Smarandache教授采用標(biāo)準(zhǔn)或非標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)數(shù)子集提出了中智集(NS)概念[3]．與IFS相比，NS增加了一個(gè)不確定度來表示不確定的信息．近幾年，關(guān)于中智集的研究涌現(xiàn)出很多[4-12〗．然而，當(dāng)處理多屬性決策問題時(shí)，有些屬性可能包含一些子屬性．例如，當(dāng)考慮某一技術(shù)屬性時(shí)，可能要從兩個(gè)方面去考慮，即技術(shù)屬性要細(xì)分成技術(shù)知識和技術(shù)能力這兩方面．為了使決策結(jié)果更精確，當(dāng)某一屬性含有子屬性時(shí)，需要同時(shí)考慮子屬性所帶來的影響，于是葉軍教授和Smarandache教授提出了精細(xì)單值中智集(R-SVNS)，其中隸屬度L(t)被細(xì)化為L1(t),L2(t),...Lk(t)，不確定性M(t)被細(xì)化為M1(t),M2(t),...Mk(t)和非隸屬度(t)被細(xì)化為1(t),2(t),...k(t)[13]．接著，樊和葉定義了精細(xì)區(qū)間中智集(R-INS)[14]．陳、葉和杜提出了精細(xì)精簡中智集(RSNS)，使用精細(xì)精簡中智集，可以同時(shí)表達(dá)精細(xì)單值中智集和精細(xì)區(qū)間中智集[15]．在處理多屬性決策問題時(shí)，一些屬性評估值不能完全用純粹的數(shù)值來表示，只能使用模糊的語言信息去評估．針對此情況，Zadeh教授提出了語言集(LS)[16]．此后，出現(xiàn)了許多將語言集與其他集合組合在一起應(yīng)用在多屬性決策中的研究[17-22]．只是文獻(xiàn)[17-22]都不能表達(dá)純粹的語言評估值．于是，葉軍教授提出了語言中智數(shù)(LNN)并將它應(yīng)用于多屬性決策中[23]．隨后，很多基于語言中智數(shù)的集成算子被學(xué)者提出[24-25]．但是，現(xiàn)有的基于語言中智數(shù)的決策方法都不能解決存在子屬性的多屬性決策問題．當(dāng)決策屬性具有子屬性時(shí)，應(yīng)該同時(shí)要考慮子屬性對多屬性決策問題的影響．為了解決這個(gè)問題，本文第一次提出了精細(xì)語言中智數(shù)以及它的運(yùn)算規(guī)則，然后提出了兩種基于精細(xì)語言中智數(shù)集成算子并研究了它們的性質(zhì)．

1 基礎(chǔ)知識

1.1 精細(xì)精簡中智集和語言中智數(shù)

定義1[15]:設(shè)T為給定論域，t是T中的任一基本元素，精細(xì)精簡中智集可以表示為：

其中t∈T，tk∈t={t1,t2,…,tp}(k=1,2,…,p)，p是一個(gè)自然數(shù)．隸屬度LR(t1),LR(t2),…,LR(tp):T→[0,1]，不確定性MR(t1),MR(t2),…,MR(tp):T→[0,1]，非隸屬度R(t1),R(t2),…,R(tp):T→[0,1]．

(1)當(dāng)LR(t1),LR(t2),…,LR(tp)∈[0,1]，MR(t1),MR(t2),…,MR(tp)∈[0,1],R(t1),R(t2),…,R(tp)∈[0,1]，R表示精細(xì)單值中智集[13]．

(2)當(dāng)LR(t1),LR(t2),…,LR(tp)?[0,1]，MR(t1),MR(t2),…,MR(tp)?[0,1]，R(t1),R(t2),…,R(tp)?[0,1],R表示精細(xì)區(qū)間中智集[14]．

定義2[15]:設(shè)

為兩個(gè)精細(xì)精簡中智數(shù)，它們具有如下關(guān)系:

定義3[23]:設(shè)語言集S={sj|j∈[0,f]}，其中f是一個(gè)偶數(shù)．則m=sL,sM,s表示語言中智數(shù)，令sL,sM,s∈S，L,M,∈[0,f]，其中sL,s,sM分別表示隸屬度，非隸屬度和不確定性．

定義4[23]:設(shè)m=sL,sM,s,m1=sL1,sM1,s,m2=sL2,sM2,s為三個(gè)語言中智數(shù)，φ≥0,則語言中智數(shù)的運(yùn)算規(guī)則定于如下:

m1⊕m2=sL1,sM1,s⊕sL2,sM2,s

(1)

m1?m2=sL1,sM1,s?sL2,sM2,s

(2)

(3)

(4)

定義5[23]:設(shè)m=sL,sM,s,則語言中智數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)定義如下：

Q(m)=(2×f+L-M-)/(3×f),Q(m)∈[0,1],

(5)

Y(m)=(L-M)/f,Y(m)∈[-1,1].

(6)

定義6[23]:設(shè)m1=sL1,sM1,s，m2=sL2,sM2,s為兩個(gè)語言中智數(shù)，

當(dāng)Q(m1)>Q(m2)，則m1?m2；

當(dāng)Q(m1)=Q(m2)，Y(m1)>Y(m2)，則m1?m2；

當(dāng)Q(m1)=Q(m2)，Y(m1)=Y(m2)，則m1～m2；

1.2 精細(xì)語言中智數(shù)及其運(yùn)算規(guī)則

作為語言中智數(shù)的拓展,本文提出了精細(xì)語言中智數(shù)．

定義7:設(shè)T為給定論域，語言集S={sj|j∈[0,f]}，其中f是一個(gè)偶數(shù),則精細(xì)語言中智集定義如下：

其中SLR(t1),SLR(t2),…,SLR(tp)，SMR(t1),SMR(t2),…,SMR(tp)，S,S,…,S∈S，LR(t1),LR(t2),…,LR(tp)，MR(t1),MR(t2),…,MR(tp)，R(t1),R(t2),…,R(tp)∈[0,f]，t∈T,tk∈t={t1,t2,…,tp}(k=1,2,…,p)，p是自然數(shù),SLR(t1),SLR(t2),…,SLR(tp)表示隸屬度，S,S,…,S表示非隸屬度，SMR(t1),SMR(t2),…,SMR(tp)表示不確定性．

作為R中的一個(gè)基本元素,并稱之為精細(xì)語言中智數(shù)(RLNN)．

(7)

(8)

(9)

(10)

2 精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)算術(shù)平均(RLNNWAA)算子和精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均(RLNNWGA)算子

(11)

根據(jù)定義8和9，可以得到如下相關(guān)定理．

(12)

證明:

定理1證明結(jié)束．

證明:

因?yàn)閷τ谌我獾膇，存在mi=m，所以能得到：

定理2證明結(jié)束．

定理3:存在兩個(gè)精細(xì)語言中智數(shù)集合(m1,m2,…mn)和(k1,k2,…kn)，如果miki(i=1,2,…,n)，則RLNNWAA(m1,m2,…mn)RLNNWAA(k1,k2,…kn).

證明:

因?yàn)閙iki(i=1,2,…,n)，能很容易得到：

ωijmi

定理3證明結(jié)束．

證明:

設(shè)mmin=min(m1,m2,…mn),mmax=max(m1,m2,…mn)

根據(jù)定理2，能得到：

mmin=RLNNWAA(mmin,mmin,…,mmin)，mmax=RLNNWAA(mmax,mmax,…,mmax)

根據(jù)定理3，能得到：

RLNNWAA(mmax,mmax,…,mmax)≥RLNNWAA(m1,m2,…mn)≥RLNNWAA(mmin,mmin,…,mmin).

所以max(m1,m2,…mn)≥RLNNWAA(m1,m2,…mn)≥min(m1,m2,…mn).

定理4證明結(jié)束．

(13)

根據(jù)定義8和10，可以得到下面的相關(guān)定理：

(14)

因?yàn)槎ɡ?的證明方法跟定理1類似，所以這里就不再重復(fù)證明．

RLNNWGA(m1,m2,…mn)=RLNNWGA(m,m…m)=m.

定理7:存在兩個(gè)精細(xì)語言中智數(shù)集合(m1,m2,…mn)和(k1,k2,…kn)，如果miki(i=1,2,…,n)，則RLNNWGA(m1,m2,…mn)RLNNWGA(k1,k2,…kn)．

RLNNWGA算子的相關(guān)特性證明與RLNNWAA算子類似，這里就不重復(fù)證明.

3 基于RLNNWAA算子和RLNNWGA算子的多屬性決策方法

然后，應(yīng)用精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子和精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均算子來解決多屬性決策問題．根據(jù)這兩個(gè)算子的集成結(jié)果，使用公式5或公式6來計(jì)算得分函數(shù)或精確函數(shù)的值，然后根據(jù)計(jì)算值，對備選方案進(jìn)行排序，

表1 決策評估矩陣R

e1(e11,e12,…,e1p1)…ek(ek1,ek2,…,ekpk)M1(sTm111,sTm112,…,sTm11p1),(sIm111,sIm112,…,sIm11p1),(sFm111,sFm112,…,sFm11p1)…(sTm1k1,sTm1k2,…,sTm1kpk),(sIm1k1,sIm1k2,…,sIm1kpk),(sFm1k1,sFm1k2,…,sFm1kpk)M2(sTm211,sTm212,…,sTm21p1),(sIm211,sIm212,…,sIm21p1),(sFm211,sFm212,…,sFm21p1)…(sTm2k1,sTm2k2,…,sTm2kpk),(sIm2k1,sIm2k2,…,sIm2kpk),(sFm2k1,sFm2k2,…,sFm2kpk)…………Mn(sTmn11,sTmn12,…,sTmn1p1),(sImn11,sImn12,…,sImn1p1),(sFmn11,sFmn12,…,sFmn1p1)…(sTmnk1,sTmnk2,…,sTmnkpk),(sImnk1,sImnk2,…,sImnkpk),(sFmnk1,sFmnk2,…,sFmnkpk)

最終得出最好的選擇．決策步驟如下：

步驟1：根據(jù)子屬性的權(quán)向量ωi=(ωi1,ωi2,…,ωij)T(i=1,2,…,k; j=1,2,…,pi)和屬性的權(quán)向量μ=(μ1, μ2,…, μi)T(i=1,2,…,k)，結(jié)合精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子或者精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均算子，得到語言中智數(shù)mb：

步驟2：根據(jù)公式5，計(jì)算出mb的Q(mb)值．mb=RLNNWAA(mb1,mb2,…,mbk)

(15)

或者

mb=RLNNWGA(mb1,mb2,…,mbk)

(16)

步驟3：根據(jù)Q(mb)值對備選方案進(jìn)行排序，選出最好的選項(xiàng)．

4 實(shí)例

本節(jié)采用的例子改編于文獻(xiàn)[15]，通過這個(gè)例子來驗(yàn)證本文所提出方法的可行性．現(xiàn)在，一所高校圖書館需要從4個(gè)候選圖書供應(yīng)商{M1,M2,M3,M4}中選擇一個(gè)最優(yōu)的圖書供應(yīng)商來進(jìn)行圖書采購．然后，他們邀請一些專家來對這些書商進(jìn)行評估，這些專家需要分別給出圖書供應(yīng)商在綜合實(shí)力、服務(wù)水平、價(jià)格這3個(gè)屬性的評估值，這3個(gè)屬性構(gòu)成屬性集{e1,e2,e3}，而這3個(gè)屬性都包含子屬性綜合實(shí)力包含兩個(gè)子屬性：企業(yè)規(guī)模(e11)和圖書品種(e12)；服務(wù)水平包含三個(gè)子屬性：到貨率(e21)，編目數(shù)據(jù)規(guī)范(e22)和文獻(xiàn)加工服務(wù)水平(e23)；價(jià)格包含兩個(gè)子屬性：書籍折扣率(e31)和書籍加工費(fèi)(e32)．首先，這些專家通過基于語言集(LS)的精細(xì)語言中智數(shù)來評估這些子屬性，其中LS={ε0=相當(dāng)差,ε1=非常差,ε2=差,ε3=比較差,ε4=中等,ε5=比較好,ε6=好,ε7=非常好,ε8=相當(dāng)好}．表2表示精細(xì)語言中智決策評估矩陣R．

屬性的相對權(quán)值為μ=(0.4,0.3,0.3)，子屬權(quán)值分別為ω1=(0.6,0.4)，ω2=(0.25,0.4,0.35)和ω3=(0.45,0.55)．

根據(jù)上述條件和本文所提出的方法，做出以下決策．

步驟1：使用精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子，得到一組語言中智數(shù)mb：

m1=(ε8.0000,ε1.8845,ε2.3498),m2=(ε8.0000,ε1.7489,ε1.7720),

m3=(ε8.0000,ε1.8712,ε2.0215),m4=(ε8.0000,ε1.6836,ε2.1661).

步驟2：使用公式5，計(jì)算出得分函數(shù)Q(mb)(b=1,2,3,4)的值：

Q(m1)=0.8236,Q(m2)=0.8533,Q(m3)=0.8378,Q(m4)=0.8396;

表2 決策評估矩陣R

e1e2e3(e11,e12)(e21,e22,e23)(e31,e32)M1(ε6,ε7),(ε2,ε1),(ε2,ε3)(ε8,ε7,ε8),(ε1,ε3,ε2),(ε2,ε2,ε1)(ε6,ε8),(ε3,ε2),(ε3,ε4)M2(ε8,ε7),(ε1,ε2),(ε3,ε2)(ε7,ε8,ε7),(ε2,ε4,ε3),(ε1,ε2,ε1)(ε8,ε8),(ε1,ε2),(ε1,ε2)M3(ε,ε8),(ε1,ε3),(ε3,ε4)(ε8,ε6,ε7),(ε3,ε1,ε1),(ε2,ε1,ε2)(ε8,ε7),(ε4,ε3),(ε2,ε1)M4(ε7,ε6),(ε1,ε2),(ε2,ε3)(ε7,ε8,ε7),(ε2,ε2,ε1),(ε1,ε2,ε2)(ε7,ε7),(ε2,ε3),(ε2,ε3)

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，得到排序順序Q(m2)>Q(m4)>Q(m3)>Q(m1)，可以看出M2即為最適合的圖書供應(yīng)商．

現(xiàn)在使用精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均算子．

步驟1’：使用精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均算子，得到一組語言中智數(shù)mb:

m1=ε6.9183,ε2.0613,ε2.5954,m2=ε7.6449,ε2.0597,ε1.9711,

m3=ε6.9575,ε2.3267,ε2.3759,m4=ε6.9398,ε1.8598,ε2.2794.

步驟2’：使用公式5，計(jì)算出得分函數(shù)Q(mb)(b=1,2,3,4)的值：

Q(m1)=0.7609,Q(m2)=0.8173,Q(m3)=0.7606,Q(m4)=0.7834.

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，得到排序順序Q(m2)>Q(m4)>Q(m1)>Q(m3)，可以看出M2即為最適合的圖書供應(yīng)商．

與文獻(xiàn)[13-15]相比，本文使用精細(xì)語言中智數(shù)對屬性進(jìn)行評估，并使用精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子和精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均算子來處理多屬性決策問題，這種方法可以通過使用精細(xì)語言中智數(shù)來表達(dá)純粹的語言信息．與文獻(xiàn)[23-24]相比，在多屬性決策中，當(dāng)多屬性包含子屬性時(shí)，精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子和精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均算子可以處理這些問題，但是文獻(xiàn)[23-24]確不能處理子屬性相關(guān)問題．

5 結(jié)論

本文定義了精細(xì)語言中智數(shù)、精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子和精細(xì)語言中智數(shù)加權(quán)幾何平均算子，然后研究了這些算子的相關(guān)屬性．此外，還使用這兩種算子來解決精細(xì)語言中智數(shù)環(huán)境下的多屬性決策問題．最后，使用一個(gè)實(shí)例來驗(yàn)證所提出的方法的可行性．在處理多屬性決策問題時(shí)，當(dāng)屬性包含子屬性時(shí)，本文提出的方法可以通過精細(xì)語言中智數(shù)獲得更精細(xì)的評估值，并使結(jié)果更加合理．