郭翊航 趙麗明

(首都師范大學(xué)物理系，北京 100048)

0 引 言

光子晶體(又稱光子禁帶材料)是一種人工材料，由不同介電常數(shù)的介質(zhì)周期排列而成的一種光學(xué)結(jié)構(gòu)[1]．類比于半導(dǎo)體晶體對電子輸運行為的影響，光子晶體具有光子的帶結(jié)構(gòu)，原則上可以通過設(shè)計和制造光子晶體及其器件達到控制光子運動的目的[2-3]．光子晶體的出現(xiàn)，使操縱和控制光子的夢想成為可能．

按照空間維數(shù)的劃分，光子晶體可以分為一維光子晶體、二維光子晶體和三維光子晶體，其中一維光子晶體的色散關(guān)系可以得出確切的解析解，并且其結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)[4]．在光子晶體的能帶圖中，如果兩條能帶交于一點，在該點附近，其色散關(guān)系呈線性關(guān)系時，該交點就稱為光子晶體的狄拉克點．狄拉克點的形成主要是由結(jié)構(gòu)的對稱性產(chǎn)生的，在電子晶體比如石墨烯的高對稱點處就會由于結(jié)構(gòu)存在必然簡并狄拉克點，或者是由于能帶特性存在偶然簡并狄拉克點．而電子狄拉克點所表現(xiàn)出的許多有趣的性質(zhì)，比如贗散射、拓撲傳輸、界面態(tài)、震顫等現(xiàn)象在光子晶體中也被廣泛地研究[5-11]．和電子晶體狄拉克點不同的是，光子晶體的狄拉克點現(xiàn)象更易觀察，因為光子不會和介質(zhì)本身產(chǎn)生相互作用，還可以通過超材料技術(shù)對光子晶體做更細致地修改，比如折射率調(diào)節(jié)、形狀調(diào)節(jié)、角度調(diào)節(jié)、缺陷制造等[12-15]．這些都可以增進對于光子晶體狄拉克點的控制．

通過狄拉克點很容易找到界面態(tài)．具體方法為：分別從不同方向調(diào)節(jié)體系的參數(shù)，改變結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)和尺寸，可形成2個不同的光子晶體．這2個光子晶體在狄拉克點附近具有共同的帶隙，但具有不同的拓撲相位，當(dāng)將這2個光子晶體拼接在一起時，會出現(xiàn)界面態(tài)，該方法被稱為狄拉克點方法[16]．研究發(fā)現(xiàn)：界面模的能級滿足簡單的正弦函數(shù)關(guān)系[4]．然而一些問題還未澄清：利用狄拉克點方法，在什么樣的范圍內(nèi)界面模一定存在；是否有最佳的界面模匹配條件能夠使得界面模的折射率達到完全透射等．本文主要通過對一維光子晶體異質(zhì)結(jié)折射率的調(diào)制，得到存在界面模的極限參數(shù)，并且得到界面模峰值的最佳匹配條件．這一發(fā)現(xiàn)將對實際應(yīng)用有潛在的指導(dǎo)意義．

1 數(shù)值模擬與討論

假定體系由一維多層介質(zhì)組成，介質(zhì)的總層數(shù)為N．對于第L層，電場滿足如下形式：

(1)

(2)

可以得到：

(3)

其中：

(4)

(5)

由于BN=0，因此

(6)

相應(yīng)的透射率為：

(7)

反射率為：

(8)

通過公式(5)、(7)和(8)可以計算出在一維介質(zhì)層體系中電磁波的電場和磁場以及透過率，反射率等物理量．

假定一維光子晶體是由2種不同的材料(AB)組成，其中介質(zhì)A的折射率和厚度分別用na，da，介質(zhì)B的折射率和厚度分別為nb，db．光子晶體的層數(shù)為m(本實驗中m=8)．對于完美的光子晶體，其色散關(guān)系滿足如下關(guān)系:

(9)

其中q為布洛赫波矢，Λ為晶格常數(shù)，這里假定晶格常數(shù)為 1．根據(jù)文獻[6]，當(dāng)歸一化頻率滿足如下關(guān)系：sinkada=0，sinkbdb=0，sin(kada+kbdb)=0，該頻率為狄拉克點．本文選擇文獻[5]的參數(shù)(na=2,nb=1，da=0.4，db=1-da=0.6)．圖1給出了該結(jié)構(gòu)下的色散關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)在ω=2.5處出現(xiàn)狄拉克點．對于該結(jié)構(gòu)，周期單元的光程為L=nada+nbdb，定義光程常數(shù)L0，使得L0=L．本文以下提到的光程常數(shù)均指L0．

圖1 一維光子晶體(AB)m在狄拉克點處的能帶關(guān)系

現(xiàn)在可以分別沿不同方向調(diào)節(jié)體系的參數(shù)，可形成2個不同的光子晶體(AB)m和(CD)m，并且要求這2個光子晶體的周期單元光程均等于L0．PC1使用如下參數(shù)，da=0.42,db=0.58．εa=3.8，εb=1.PC2的參數(shù)則為dc=0.38,dd=0.62．εc=4.2，εd=1．圖2分別給出了PC1和PC2的色散關(guān)系，結(jié)果表明當(dāng)這2個光子晶體的周期單元光程相等時，發(fā)現(xiàn)狄拉克點張開，且在狄拉克點附近具有共同的帶隙，但具有不同的拓撲相位．如果將這2個光子晶體拼接在一起時，只要帶隙中存在某一個頻率能夠與結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，則會產(chǎn)生界面模．界面模的消失主要由2種原因：(1)界面模的歸一化頻率超出了帶隙范圍；(2)光子晶體參數(shù)的改變使得拓撲相位發(fā)生了反轉(zhuǎn)．

下面將這2個不同的光子晶體拼成異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)：(AB)m(CD)m，如圖3所示．圖4給出了(AB)m(CD)m的透過率曲線，可以發(fā)現(xiàn)在歸一化頻率ω=2.45處出現(xiàn)界面態(tài)，其透過率為0.8．現(xiàn)在想了解的問題是：(1)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化到何種程度，界面態(tài)消失？(2)是否所有界面模都有高的透過率，若不是，是否存在最優(yōu)的界面模匹配條件？

圖3 一維光子晶體異質(zhì)結(jié)(AB)m(CD)m的結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 (AB)m(CD)m透射率隨頻率的變化關(guān)系

圖5給出了不同δa下透過率隨頻率的變化關(guān)系．可以發(fā)現(xiàn)，峰值對應(yīng)的頻率為相應(yīng)的界面模頻率．當(dāng)δa較小時，界面模的透過率很高，隨著δa增大，界面模的透過率顯著降低，而δa為14%時，界面模的透射完全消失．本文計算了其他偏移率的透過率曲線，發(fā)現(xiàn)δa在小于14%的范圍內(nèi)均可以發(fā)現(xiàn)界面模，而超過14%界面模消失．因此在狄拉克點附近存在界面態(tài)有一定的范圍限制．

下面討論δa≠-δc的情況．假定PC1的結(jié)構(gòu)固定，其參數(shù)為na=1.85,da=0.470 6，通過改變PC2的折射率nc，根據(jù)公式(2)得到相應(yīng)的dc，因此僅通過改變nc，PC2的結(jié)構(gòu)就可以固定．圖6描述了界面模的透過率隨nc的變化，發(fā)現(xiàn)當(dāng)nc=2.17時界面模的透過率為1，偏離2.17時界面模的透過率減?。@說明na=1.85時，其最佳匹配結(jié)構(gòu)相應(yīng)于nc=2.17.圖7給出了不同的na下界面模透過率隨nc的變化曲線．發(fā)現(xiàn)他們曲線形狀基本類似．不同的PC1都有相應(yīng)最佳匹配的PC2．

圖5 界面模透射率隨歸一化頻率變化圖像

固定PC1參數(shù)nada，nbdb，隨著PC2折射率的改變，整體異質(zhì)結(jié)構(gòu)的界面模透射率和界面模位置都有不斷的變化．可以基本掌握每一組PC1的偏移率參數(shù)所對應(yīng)的完全透射的界面模位置，總結(jié)為表1．

表1 透射率最佳時的一維光子晶體異質(zhì)結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖6 不同的異質(zhì)結(jié)構(gòu)下，界面模的透射率隨PC2折射率nc的變化曲線

表1給出了PC1所對應(yīng)的最佳匹配的PC2，特別強調(diào)的是PC1的結(jié)構(gòu)僅由na決定，PC2的折射率僅由nc決定．還可以給出很多這樣的匹配的光子晶體異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)，使得界面模的透過率為1．

2 總 結(jié)

本文采用狄拉克點方法研究光子晶體異質(zhì)結(jié)的界面態(tài)．通過調(diào)節(jié)體系的參數(shù)，研究了偏移率對光子晶體異質(zhì)結(jié)構(gòu)界面態(tài)的透過率影響，并且進一步探討了存在界面態(tài)的極限條件．研究了存在界面態(tài)的范圍內(nèi)滿足對稱條件下的異質(zhì)結(jié)界面態(tài)的透射率隨光子晶體折射率的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)每一個PC1都有最佳的PC2與之匹配，使得界面模透過率為1．

圖7 PC1介質(zhì)折射率參數(shù)na取不同值時透射率隨PC2折射率nc的變化曲線