鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

1 提出問題

對于有界磁場隨時間均勻變化而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的問題，如果磁場邊界為矩形，那么對位于邊界的導線框各邊分別產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小無法應(yīng)用初等方法來求解，而需應(yīng)用麥克斯韋電磁場理論和高等數(shù)學中的微積分知識進行定量推導.

鑒于文獻[3]～[5]中的推導過程大都省略了數(shù)學微積分部分而顯得不完整，下面通過對一道例題的解答進行詳細推導和計算,使數(shù)學和物理結(jié)合得更加完美.

2 例題的錯解與辨析

【例題】如圖1所示，用均勻金屬導線做成的正方形線框，邊長為0.2 m，有一半放在勻強磁場邊界，當磁感應(yīng)強度以k=10 T/s的變化率均勻增強時，線框的中線MN兩端的電勢差UMN是多少？

圖1 例題題圖

解法1:將左半部分電路MADN視為電源，右半部分電路MFCN視為外電路.磁場區(qū)域的面積為

S=0.2×0.1 m2=0.02 m2

由法拉第電磁感應(yīng)定律可知感應(yīng)電動勢為

由楞次定律可知感應(yīng)電流沿逆時針方向，則N點的電勢比M點的電勢高.由于內(nèi)、外電阻相等，即R=r，可得路端電壓為

UNM=ε-Ir=0.5ε=0.1 V

所以

UMN=-0.1 V

辨析:雖然線框右半部分導線MFCN在磁場之外，但也產(chǎn)生感應(yīng)電動勢.因此算得電動勢是整個回路的總電動勢，不能作為左半部分電路的電動勢.

圖2 圖1的等效圖

辨析:由于矩形邊界的磁場產(chǎn)生的渦旋電場不是勻強電場，那么在AM,MN兩邊各自產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢并非與直導線的長度成正比，因此,不能認為長邊產(chǎn)生的電動勢等于短邊產(chǎn)生的電動勢的2倍.

該題實際是求解位于磁場邊界的矩形線框各邊在渦旋電場中產(chǎn)生的電動勢，無法用初等方法解答，只能應(yīng)用大學物理知識和高等數(shù)學知識進行推導.

3 圓形邊界磁場隨時間均勻變化時產(chǎn)生的渦旋電場

圖3 圓形邊界磁場與導線環(huán)示意圖

當圓形邊界的勻強磁場均勻變化時，產(chǎn)生渦旋電場的電場線是系列同心圓，因此導體圓環(huán)與一條電場線重合，則圓環(huán)上的場強大小處處相等.假如導線環(huán)有一個很小的缺口，那么感應(yīng)電動勢等于缺口兩端的電勢差，跟勻強電場中的電勢差公式U=Ed類比可知，導線環(huán)兩端的電勢差在數(shù)值上等于導線環(huán)上的場強與路徑長度的乘積，因此感應(yīng)電動勢與場強的關(guān)系為

ε=El=2πrE

可知圓形渦旋電場的場強為

各種圖形邊界的勻變磁場激發(fā)的渦旋電場在閉合回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢可用微積分表示為

ε=∮lEdl

(1)

4 用渦旋電場和場的疊加原理對例題進行深度解析

首先推導渦旋電場強度分量表達式，然后推導各邊的電動勢的表達式，最后求出數(shù)值.

對圖2建立空間直角坐標系如圖4所示，為右手系，可知z軸方向垂直于紙面向外，與磁場方向相反，則有B=-B(t)k.當矩形邊界的勻強磁場隨時間均勻變化時，產(chǎn)生渦旋電場的電場線不是同心圓.

圖4 建立右手空間直角坐標系

兩式聯(lián)立可得

(2)

位矢r的方向由Q指向P，考慮到dE→r→B三者方向關(guān)系遵循右手螺旋定則，則場強的矢量式為

(3)

由電場疊加原理可知，整個矩形截面S區(qū)域內(nèi)的磁場在P點激發(fā)的感應(yīng)電場的強度為

(4)

Q到P的位矢用坐標軸方向的單位矢量表示為

r=(x0-x)i+(y0-y)j

代入式(4)可得P點的電場強度為

E(x0,y0)=

由于叉積i×k=-j，j×k=i，則有

E(x0,y0)=

(5)

可知電場強度在x軸方向的分量為

設(shè)矩形區(qū)域沿x軸方向的長度為2a，沿y軸方向的長度為2b，磁場微元的面積大小為dS=dxdy，即得

(6)

令F(y)=(x0-x)2+(y0-y)2，取微分，得

dF(y)=-2(y0-y)dy

即

當y=-b時

F1(y)=(x0-x)2+(y0+b)2

當y=b時

F2(y)=(x0-x)2+(y0-b)2

將各式代入式(6)可得

即

(7)

再令X=x0-x，則dX=-dx，當x=-a時，X1=x0+a;當x=a時，X2=x0-a,可知

(8)

由于導線AM位于磁場的上邊界，則y0=b，應(yīng)用積分公式

對式(8)進行積分并整理得

(9)

在渦旋電場中，一段導體產(chǎn)生的電動勢為

對于導線AM，若積分路徑為M→A，則有

(10)

利用積分公式

得

令

[(x0-a)2+4b2]=X

則有

可得

2(a2+b2)ln(4a2+4b2)-2a2-4b2ln2b

4b2ln2b-2(a2+b2)ln(4a2+4b2)+2a2

考慮到反正切函數(shù)是奇函數(shù)，可得

利用積分公式

得

綜上可知導體AM產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

即得

ln(4a2+4b2)-2a2ln2a+2b2ln2b]

(11)

同理得

ln(4b2+4a2)-2b2ln2b+2a2ln2a]

(12)

這就是矩形邊界磁場隨時間均勻變化時位于邊界的矩形線框各邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的計算公式.

把a=0.05 m,b=0.1 m,k=10 T/s代入式(11)，并將arctan 0.5=26.565°化為弧度，可得

εMA=εDN≈0.035 3 V

由法拉第電磁感應(yīng)定律可得回路中的感應(yīng)電動勢為ε=0.2 V.則

ε=2εAM+2εNM=0.2 V

由此可知NM邊的電動勢為

εNM≈0.064 7 V

設(shè)電路的總電阻為r，對應(yīng)圖2的等效電路如圖5所示.由閉合電路歐姆定律可知

UMN=εMN-IrMN≈

0.064 7 V-0.1 V=-0.035 3 V

圖5 圖2的等效電路圖

5 結(jié)束語

利用麥克斯韋電磁場理論無法直接求出矩形線框的總電動勢，但可分別求出矩形線框各邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，取代數(shù)和即為總電動勢;利用法拉第電磁感應(yīng)定律不能分別求出矩形線框各邊導體產(chǎn)生的電動勢，但可直接求出線框的總電動勢，二者所得結(jié)果完全相等，可謂殊途同歸，互為驗證.對于矩形邊界磁場激發(fā)的渦旋電場在矩形線框各邊分別產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小是否跟導線的長度成正比，只能進行詳細的定量推導，通過具體的物理情境使得有關(guān)物理和數(shù)學知識在實際應(yīng)用中完美結(jié)合.