龔佃選 張靜

【摘要】分片代數(shù)曲線為二元樣條函數(shù)的零點(diǎn)集合，下面主要利用MATLAB程序，探討結(jié)式定理在分片代數(shù)曲線中的研究，并通過具體實(shí)例證明結(jié)式定理在求分片代數(shù)曲線的Bezout數(shù)的過程中存在著缺陷.

在計(jì)算幾何以及數(shù)學(xué)分析中，利用多元樣條函數(shù)對(duì)給定散亂數(shù)據(jù)進(jìn)行插值是一個(gè)重要的課題[1]，在多元樣條函數(shù)的插值的過程中，如何選取適當(dāng)?shù)牟逯到Y(jié)點(diǎn)組是一個(gè)關(guān)鍵的問題，因?yàn)椴⒉皇菍?duì)任意給定的插值結(jié)點(diǎn)組，多元樣條插值的存在都是唯一的，王仁宏、Oleg Davydov等學(xué)者在構(gòu)造多元樣條函數(shù)插值結(jié)點(diǎn)組以及插值結(jié)點(diǎn)組的適定性等方面做了大量的研究[2]，由于樣條函數(shù)的插值結(jié)點(diǎn)組的適定性十分困難，王仁宏教授首先提出了分片代數(shù)曲線（piecewise algebraic curves）的概念.

分片代數(shù)曲線的Bezout定理是傳統(tǒng)代數(shù)幾何的開卷定理，例如，Cayley-Bacharach定理、Riemann-Roch定理等經(jīng)典代數(shù)幾何中的重要結(jié)論在分片代數(shù)曲線理論中的推廣必須以分片代數(shù)曲線Bezout定理為基礎(chǔ)[3]，CAGD中大量的曲線類型是樣條曲線，確定兩條樣條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是CAGD中的重要問題之一，其實(shí)質(zhì)就是求分片代數(shù)曲線的Bezout數(shù)[4]，因此，研究?jī)蓷l分片代數(shù)曲線的Bezout數(shù)具有重要的理論和應(yīng)用意義，本文主要利用MATLAB程序，探討結(jié)式定理在分片代數(shù)曲線Bezout數(shù)中的研究.

前后不同的兩條分片代數(shù)曲線，通過結(jié)式定理，其最后分片代數(shù)曲線的Bezout數(shù)的結(jié)果一樣，很明顯由于前后樣條的自由度不同，最后的結(jié)果肯定不一樣，因此，結(jié)式定理在求Bezout數(shù)的上界過程中存在著弊端.

結(jié)論 Bezout定理是傳統(tǒng)代數(shù)幾何的開卷定理，在傳統(tǒng)代數(shù)曲線理論中具有重要的地位，考慮Bezout定理在分片代數(shù)曲線中的推廣對(duì)分片代數(shù)曲線的研究起著十分重要的作用.本文通過具體的例子，利用MATLAB程序，得出結(jié)式定理在求Bezout數(shù)的上界過程中存在著弊端.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張曉磊.多元樣條與分片代數(shù)簇計(jì)算的若干研究[D].大連：大連理工大學(xué)，2008.

[2]那日順.有關(guān)分片代數(shù)曲線Bezout數(shù)的研究[D].大連：大連理工大學(xué)，2005.

[3]Renhong Wang，Zhiqiang Xu.Estimation of the bezout number for piecewise algebraic curve[J].Science in China Series A：Mathematics，2003（5）：121-146.

[4]王海敏，王亦然.低次分片代數(shù)曲線的Bezout數(shù)[J].科技通報(bào)，2011（6）：819-822+829.