賈素素

(上海交通大學 安泰經(jīng)濟與管理學院，上海 200030)

根據(jù)中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的《中國采購發(fā)展報告(2017)》，在過去的2016年中，我國社會物流總費用為10.2萬億元，同比增長幅度為9.3%，增幅較上年同期回落2.1個百分點，占GDP比重為18.0%。而在發(fā)達國家中，美國此項占比為8.5%；在其他與我國經(jīng)濟發(fā)展水平基本相當?shù)慕鸫u國家中，印度為13.0%，巴西為11.6%。事實上，社會物流總費用占GDP比重是衡量物流效率的標志，該比重越低，表明單位GDP消耗物流資源越少、物流效率越高、國家的經(jīng)濟整體競爭力越強。有統(tǒng)計表明，我國社會物流總費用占GDP比例每降低1個百分點，將會帶來3000億元的效益。當今，國際物流正向精細化方向發(fā)展，從前不計成本、拼人力物力的模式早已不是長久之計，因而我國物流必須結(jié)合實際由傳統(tǒng)物流向信息化、現(xiàn)代化物流發(fā)展。由此可見，我國物流成本偏高是不爭的事實，也是亟待解決的問題。

1 延遲支付與現(xiàn)金折扣條件下庫存總成本模型的建立

本文研究的問題建立在供應(yīng)商提供延遲支付與現(xiàn)金折扣這兩種常見的供應(yīng)鏈金融服務(wù)的基礎(chǔ)上，延遲支付是供應(yīng)商允許零售商一個期限，零售商可以在此延遲支付期限之前支付貨款，且不產(chǎn)生任何利息的一種供應(yīng)鏈金融手段。現(xiàn)金折扣指的是供應(yīng)商為了敦促零售商盡快支付貨款，承諾若零售商在商定的現(xiàn)金折扣支付期之前付清貨款，則可以享受一定的價格折扣優(yōu)惠。且零售商經(jīng)營的貨物具有變質(zhì)性，在這種情況下，本文的研究內(nèi)容與相關(guān)結(jié)論可以幫助零售商做出使得自身單位時間庫存總成本最低的訂貨決策，其中決策變量為訂貨周期與相應(yīng)的訂貨量。

1.1 零售商庫存總成本模型

文章首先構(gòu)建零售商的庫存總成本模型，包含訂貨成本(是否享受折扣優(yōu)惠)、變質(zhì)性物品的貶值成本、庫存持有成本與利息的凈支出成本等，對以上成本計量后加總；之后按照訂貨周期與現(xiàn)金折扣支付期以及允許的延遲支付期限的長短將問題分為三種情況分別討論利息支出與是否享受折扣的情況：在訂貨周期大于可延遲支付期限時(此時也必然大于現(xiàn)金折扣支付期)，不享受現(xiàn)金折扣優(yōu)惠，從周期起始到可延遲支付期限的一段時間內(nèi)存在利息收入，而從可延遲支付期限到訂貨周期結(jié)束的一段時間內(nèi)，未售出的庫存(如果存在)會產(chǎn)生利息支出；當訂貨周期小于可延遲支付期限而大于現(xiàn)金折扣支付期時，不享受折扣優(yōu)惠，整個訂貨周期內(nèi)都有利息收入，且無利息支出發(fā)生；當訂貨周期小于現(xiàn)金折扣支付期時(此時必然小于延遲支付期限)，享受折扣優(yōu)惠，同時整個周期內(nèi)都存在利息收入，無利息支出。最后，在三種情況下分別計算出庫存總成本，并通過求導方式得到最優(yōu)訂貨周期，以及對應(yīng)的最優(yōu)訂貨量，確保理論上可以實現(xiàn)三種情況下各自的單位時間庫存總成本最小化。

1.2 基本假設(shè)與符號定義

根據(jù)以上問題描述與本文研究內(nèi)容的設(shè)定，為了研究的方便，我們需要做一些必要的假設(shè)來簡化問題，突出研究重點。后文模型研究建立在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上：

(1)忽略短缺情況；

(2)訂貨提前期為零，補充率無窮大，即瞬時補貨；

(3)商品的需求率已知且恒定不變；

(4)每一周期結(jié)束后庫存為零；

(5)商品的批發(fā)價低于零售商的零售價；

(6)貨物的變質(zhì)率已知且恒定不變；

(7)延遲支付期限大于現(xiàn)金折扣支付期。

在后文模型中需要用到以下定義參數(shù)：

T：零售商訂貨周期(年)；

Q：零售商訂貨量；

N：現(xiàn)金折扣支付期(年)；

M：延遲支付期限(年),M>N；

S：每次訂貨成本；

p：零售商售價；

w：批發(fā)價，w

h：單位貨物單位時間庫存持有成本(扣除利息成本)；

D：需求率；

I：利率；

λ：短生命周期產(chǎn)品變質(zhì)率；

θ：現(xiàn)金折扣率。

2 零售商訂貨量與訂貨周期關(guān)系求解

要解訂貨量Q與訂貨周期T的關(guān)系，首先需要根據(jù)庫存的消耗情況建立微分方程，再根據(jù)方程的邊界條件進行推導。

由于本文所考慮的零售商所銷售的物品具有變質(zhì)性，也即該物品會根據(jù)一個設(shè)定的變質(zhì)率在訂貨周期內(nèi)發(fā)生變質(zhì)，在數(shù)量上有所消耗。在本文的研究中，因為需求造成的庫存消耗與因為變質(zhì)造成的庫存消耗同時存在，因而有下面的微分方程存在：

(1)

由于我們已經(jīng)假設(shè)在周期結(jié)束時庫存為0，則每一周期開始時刻，庫存也為0，因而根據(jù)邊界條件t=0時，I(t)=I0，解以上微分方程，可以得到以下結(jié)果：

(2)

當t=T，I(t)=0，代入式(2)，求得以下Q與T關(guān)系：

(3)

將式(3)代入式(2)中，得到t時刻庫存水平的表達式：

(4)

同時，我們可以得到一個周期T內(nèi)發(fā)生由于物品發(fā)生變質(zhì)而形成的庫存消耗數(shù)量：

(5)

如此我們就得到了零售商的訂貨周期T與訂貨量Q的對應(yīng)關(guān)系。在后文中，建立了每種情況下的零售商庫存總成本模型后，通過求導得到使庫存總成本最小的訂貨周期后，就可以根據(jù)此關(guān)系求出該情況下對應(yīng)的最優(yōu)的訂貨量Q。另外，每周期庫存的消耗數(shù)量用于描述周期內(nèi)的總變質(zhì)成本。

2.1 分情況建立零售商庫存總成本模型

接下來我們將根據(jù)訂貨周期T、延遲支付期限M與現(xiàn)金折扣支付期N的長短，將研究問題分為三種情況。

在訂貨周期大于可延遲支付期限時(此時也必然大于現(xiàn)金折扣支付期)，不享受現(xiàn)金折扣優(yōu)惠，從周期起始到可延遲支付期限的一段時間內(nèi)存在利息收入，而從可延遲支付期限到訂貨周期結(jié)束的一段時間內(nèi)，未售出的庫存(如果存在)會產(chǎn)生利息支出；當訂貨周期小于可延遲支付期限而大于現(xiàn)金折扣支付期時，不享受折扣優(yōu)惠，整個訂貨周期內(nèi)都有利息收入，且無利息支出發(fā)生；當訂貨周期小于現(xiàn)金折扣支付期時(此時必然小于延遲支付期限)，享受折扣優(yōu)惠，同時整個周期內(nèi)都存在利息收入，無利息支出?，F(xiàn)在將以上三種情況下零售商是否能享受價格折扣與各自利息收支情況總結(jié)如下(如表1所示)：

表1 零售商享受價格折扣與利息收支情況

(1)訂貨周期T小于現(xiàn)金折扣支付期N與延遲支付期限M

在該種情況下，零售商的庫存總成本表示如下：

用上式除以訂貨周期T則可以得到零售商在單位時間內(nèi)庫存總成本：

(6)

(2)訂貨周期T大于現(xiàn)金折扣支付期N而小于延遲支付期限M

在該種情況下，零售商的庫存總成本表示如下：

用上式除以訂貨周期T則可以得到零售商在單位時間內(nèi)庫存總成本：

(7)

(3)訂貨周期T大于延遲支付期限M

在該種情況下，零售商的庫存總成本表示如下：

用上式除以訂貨周期T則可以得到零售商在單位時間內(nèi)庫存總成本：

(8)

2.2 零售商最優(yōu)庫存策略求解

(1)零售商訂貨周期小于現(xiàn)金折扣支付期(T

在上一章節(jié)中，我們已經(jīng)求得了該種情況下零售商的單位時間庫存總成本，因此現(xiàn)在用式(6)對T求導，令導函數(shù)等于0，可以求得使庫存總成本最小的最優(yōu)的訂貨周期T：

(9)

為了證明該解是否是唯一的最優(yōu)解，也即是否是圖像中唯一使單位時間庫存總成本最小的最低點，需要證明二次導函數(shù)大于0，過程如下：

(10)

此時為了證明式(10)的非負性，問題轉(zhuǎn)化為：eλT(λT-1)2+eλT-2是否大于0，所以用繪圖軟件Gnuplot作3D圖像，如圖1所示。

圖1 T

由圖1可以看出，對于式(10)中的eλT(λT-1)2+eλT-2，在兩個參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時，該函數(shù)是非負的，并且在λ=0、T=0，λ=1、T=0，λ=0、T=1這三種情況下到達最低點，此時取得最小值0。因而可以知道式(10)是非負的，則令一次導函數(shù)(9)等于0求出的零售商訂貨周期為可以使單位時間庫存總成本最小的唯一最優(yōu)解。

(2)零售商訂貨周期大于現(xiàn)金折扣支付期而小于延遲支付期限(N≤T

在上一章節(jié)中，我們已經(jīng)求得了該種情況下零售商的單位時間庫存總成本，因此現(xiàn)在用式(7)對T求導，令導函數(shù)等于0，可以求得使庫存總成本最小的最優(yōu)的訂貨周期T：

(11)

為了證明該解是否是唯一的最優(yōu)解，也即是否是圖像中唯一使單位時間庫存總成本最小的最低點，需要證明二次導函數(shù)大于0，過程如下：

(12)

此時為了證明式(12)的非負性，問題轉(zhuǎn)化為：eλT(λT-1)2+eλT-2是否大于0，證明同情況(1)。

(3)零售商訂貨周期大于延遲支付期限(N

在上一章節(jié)中，我們已經(jīng)求得了此種情況下的零售商單位時間內(nèi)庫存總成本的構(gòu)成，現(xiàn)在只需用式(8)對訂貨周期T求導，并令導函數(shù)等于0，就可以求出使單位時間庫存總成本最小的最優(yōu)訂貨周期T：

(13)

為了證明該解是否是唯一的最優(yōu)解，也即是否是圖像中唯一使單位時間庫存總成本最小的最低點，需要證明二次導函數(shù)大于0，過程如下：

(14)

為了證明式(14)的非負性，下面分別考慮λeλT(λT-2)+2(eλT-1)+2與λ2T2eλ(T-M)-2(λT-1)eλ(T-M)-2是否大于0，使用繪圖軟件Gnuplot繪圖，如圖2所示。

圖2(a) N

圖2(b) N

由圖2可以看出，對于式(14)中的λeλT(λT-2)+2(eλT-1)+2部分，在兩個參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時，該函數(shù)是非負的，并且λ=1、T=0在達到函數(shù)最低點時，最小取值為1。

由圖2可以看出，對于式(14)中的λ2T2eλ(T-M)-2(λT-1)eλ(T-M)-2部分，在兩個參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時，該函數(shù)是非負的，并且在λ=0、T=0，λ=1、T=0，λ=0、T=1這三種情況下到達最低點，此時取得最小值0。

因此可以得到，在兩個參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時，二次導函數(shù)式(14)是非負的，則令一次導函數(shù)(13)等于0求出的零售商訂貨周期為可以使單位時間庫存總成本最小的唯一最優(yōu)解。

3 結(jié)束語

本文研究的主要內(nèi)容是經(jīng)營變質(zhì)性物品的零售商如何在供應(yīng)商提供延遲支付與現(xiàn)金折扣這兩種常見的供應(yīng)鏈金融服務(wù)時，做出使得自身單位時間庫存總成本最低的最優(yōu)訂貨決策。當然，本文的研究還不夠成熟，存在很多局限性。例如，本文考慮的貨物變質(zhì)率是恒定不變的，而已經(jīng)有研究表明，Weibull分布可以更加切合實際地描述一般物品的變質(zhì)規(guī)律；本文對于訂貨周期的研究沒有考慮缺貨現(xiàn)象，而在現(xiàn)實中缺貨是很常見且?guī)缀鹾茈y避免的現(xiàn)象，這一點的假設(shè)也過于強烈；本文的現(xiàn)金折扣率是固定的，而在現(xiàn)實的貿(mào)易往來中，很多供應(yīng)商會根據(jù)零售商訂貨量的大小給出階梯式的價格折扣率；等等。以上局限性有待在未來進行更符合實際情況的探索與研究。