王勇 譚鍇

2017年全國高考大綱中要求：“在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”，這是從考試命題的角度正式地、明確地要求把數(shù)學(xué)文化融人數(shù)學(xué)試題，2018年、2019年高考大綱中表示，要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎的思維習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，可見，數(shù)學(xué)文化仍然是其考查的重要內(nèi)容，

據(jù)統(tǒng)計(jì)，2018年的13套高考試卷中有8套試卷出現(xiàn)數(shù)學(xué)文化試題共6道，2019年的13套高考試卷中有9套試卷出現(xiàn)數(shù)學(xué)文化試題共8道，為了更直接地體會高考試卷中的數(shù)學(xué)文化試題，列于表1.

從上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出近兩年高考的數(shù)學(xué)文化試題有以下特征：第一，從題型來看，均為選擇題和填空題，其中選擇題所占比例較大;第二，從知識點(diǎn)的分布來看，涉及概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、數(shù)列與方程組、不等式、跨學(xué)科綜合、優(yōu)美曲線等;第三，從題目來源來看，包括以《九章算術(shù)》、《張邱建算經(jīng)》、《周易》等中國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作中的數(shù)學(xué)名題、相關(guān)素材以及國內(nèi)外數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系和實(shí)際生產(chǎn)生活的內(nèi)容等為背景。

下面給出十四道題的深度解析，供學(xué)生復(fù)習(xí)時參考。

一、以國內(nèi)外數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果為背景

1.希波克拉底研究的幾何圖形

例1（2018·全國卷I理10）如圖1來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊BC，直角邊AB、AC，AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1.p2.p3.則（ ），

點(diǎn)評本題以古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形這一數(shù)學(xué)文化為背景，考查幾何概型，往年考查的數(shù)學(xué)文化試題，更多地考查中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，2018年高考數(shù)學(xué)文化試題放眼世界，體現(xiàn)大國風(fēng)范，取百家之長，圓中華之夢。

2.陳景潤與哥德巴赫猜想

例2（2018·全國卷Ⅱ理8）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為2個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）。

點(diǎn)評本題是以我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得世界領(lǐng)先成果為背景的一道古典概型試題，題目難度不大，目的是使考生潛移默化地感受我國數(shù)學(xué)取得的成就，提升考生的民族自豪感。

3.祖暅原理與幾何體的體積

例3（2019·浙江卷第4題）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖咂原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=sh，其中s是柱體的底面積，九是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖2所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：em3）是（ ），

A，158B，162 C，182 D，324

解析如圖3.該柱體是一個直五棱柱，棱柱的高為6.底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4.下底為6.高為3.另一個的上底為2.下底為6.高為3。

點(diǎn)評本題以祖咂原理為背景，考查三視圖、柱體的體積等知識，考查考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，本題在弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的同時，引導(dǎo)考生樹立正確的歷史觀、民族觀、國家觀。

二、以實(shí)際生產(chǎn)生活的內(nèi)容為背景

1.中國古建筑中的榫卯設(shè)計(jì)

例4

（2018·全國卷Ⅲ理3文3）中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖4中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭，若如圖4擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（ ）。

解析由題意可知咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖5所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A。

點(diǎn)評本題以中國古建筑借助榫卯連接木構(gòu)件為背景，很好地考查了三視圖的相關(guān)內(nèi)容，考生需要先想象咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖，再想象其俯視圖，這和以往多數(shù)通過所給三視圖想象直觀圖的命題方式相比，確實(shí)增添了一些新意，另外也傳播了中國悠久的文明和智慧，同時還能讓考生感受數(shù)學(xué)的神奇與魅力。

2.中國悠久的金石文化

例5（2019·全國卷Ⅱ理16文16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖6），半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，圖7是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有——個面，其棱長為——。

點(diǎn)評本題以《周易》中的“卦”所展示的數(shù)學(xué)文化為問題背景，考查排列組合、古典概型的概率計(jì)算，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，本題考查中華傳統(tǒng)文化，與同卷第4題（以“斷臂維納斯”為背景創(chuàng)設(shè)的求身高問題）國外數(shù)學(xué)文化交相輝映，意在激發(fā)考生的愛國主義思想，增強(qiáng)民族自信心與自豪感。

4.以中國古典小說四大名著為背景設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)題

例12（2019·全國卷Ⅲ理3文4）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)的瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（ ）。

A，0.5B，0.6C，0.7D，0.8

解析用Venn圖表示閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關(guān)系如圖12：

結(jié)合選項(xiàng)可知其身高可能是175cm，故選B，

點(diǎn)評本題以“斷臂維納斯”與黃金分割比例為背景創(chuàng)設(shè)求身高的問題，考查數(shù)學(xué)文化、不等式的解法與性質(zhì)及數(shù)值估算等知識，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，本題與2018年全國卷I理科數(shù)學(xué)第10題（希波克拉底研究的幾何圖形）均取材于古希臘數(shù)學(xué)文化，意在增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的浸潤，吸收世界數(shù)學(xué)文化的精華，引導(dǎo)考生開闊視野，更加熱愛數(shù)學(xué)文化，關(guān)注數(shù)學(xué)之美，

點(diǎn)評本題考查內(nèi)容比較豐富，涉及曲線的方程與幾何性質(zhì)、不等式、距離、面積等知識，對考生的推理能力、綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算求解能力要求較高;重點(diǎn)體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng);同時也展現(xiàn)了對創(chuàng)新思維與審美能力的考查。