董慶瑞

摘要：為了便于快速地找到適用的曲線擬合方法，以半導(dǎo)體熱敏電阻實(shí)驗(yàn)中溫度曲線的曲線擬合為例，全面地總結(jié)了利用Matlab程序進(jìn)行曲線擬合的基本理論和具體方法，演示了lsqcurvefit、nlinfit和fit三個非線性擬合指令的具體程序格式與操作步驟。這些Matlab指令程序可以有效地應(yīng)對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中各種復(fù)雜的曲線擬合問題。

關(guān)鍵詞：曲線擬合;Matlab;非線性擬合;最小二乘法

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）37-0066-03

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過程中，經(jīng)常需要選擇曲線類型來擬合原始數(shù)據(jù)，并以所得曲線方程來反映變量間的函數(shù)關(guān)系[1]。隨著計(jì)算機(jī)性能的提高和數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，計(jì)算機(jī)軟件在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線擬合工作中發(fā)揮了越來越大的作用。目前利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算進(jìn)行曲線擬合是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線擬合工作的必然選擇。雖然計(jì)算機(jī)語言或曲線擬合軟件在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合過程中得到了廣泛運(yùn)用，但對其具體操作知識的系統(tǒng)總結(jié)卻不全面。本文以半導(dǎo)體熱敏電阻實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合為例，總結(jié)了各種Matlab擬合指令的具體用法。

一、半導(dǎo)體熱敏電阻實(shí)驗(yàn)

半導(dǎo)體材料具有顯著的熱電特性，半導(dǎo)體熱敏電阻的溫度系數(shù)為負(fù)值，近似滿足下式：

二、曲線擬合的理論方法

函數(shù)近似通常采用兩種方法：插值法和擬合法。插值方法要求所求得的近似函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，由于實(shí)驗(yàn)所給出的數(shù)據(jù)本身存在誤差，因此要求插值曲線通過所有的插值點(diǎn)必定會使插值函數(shù)保留這個誤差。擬合方法并不要求擬合曲線必須通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求擬合的近似函數(shù)能夠反映實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的整體趨勢，并使擬合數(shù)據(jù)整體的誤差最小。

2.多項(xiàng)式擬合。曲線擬合中的多項(xiàng)式擬合屬于線性最小二乘問題，關(guān)鍵步驟是求解聯(lián)立線性方程組，具體數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)可參看相關(guān)文獻(xiàn)[2]。在實(shí)際物理問題中，這些方程組是無解的，但可以通過數(shù)值計(jì)算方法獲得其近似解。

3.非線性擬合。因?yàn)閿M合函數(shù)是非線性的，所以無法如線性最小二乘法一樣用求函數(shù)極值法來得到擬合參數(shù)，而需要在最小二乘法的基礎(chǔ)上采用復(fù)雜的優(yōu)化算法來求解，常用的算法是搜索算法和迭代算法[1]。搜索算法是按一定的規(guī)則選擇若干組參數(shù)值，計(jì)算它們的目標(biāo)函數(shù)值并比較大小，選出使目標(biāo)函數(shù)值最小的參數(shù)值。不同的參數(shù)值選擇規(guī)則構(gòu)成不同的搜索算法。迭代算法的原則是從參數(shù)的一個初始猜測值出發(fā)，然后產(chǎn)生一系列的參數(shù)點(diǎn)，若這個參數(shù)序列收斂到使目標(biāo)函數(shù)極小的參數(shù)點(diǎn)，則認(rèn)為參數(shù)的收斂值就是所求參數(shù)點(diǎn)。

4.擬合方式比較。前面部分介紹的方法可以通過計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行編程來實(shí)現(xiàn)。Matlab也內(nèi)置了現(xiàn)成的相關(guān)指令，在使用中無需花費(fèi)時間去編程，只需要按照規(guī)定的格式調(diào)用即可。Matlab曲線擬合工具箱和Origin也集成了進(jìn)行曲線擬合的軟件，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入軟件后，可以通過操作界面對擬合過程進(jìn)行設(shè)置。

程序擬合可以實(shí)現(xiàn)軟件擬合的全部功能，相較而言軟件擬合的功能有所限制。在需要進(jìn)行多次重復(fù)擬合的場合，軟件擬合要求對操作界面進(jìn)行多次重復(fù)操作，而程序擬合卻可避免這種重復(fù)操作，從而提高效率。除了處理單純的曲線擬合工作外，擬合程序還可以嵌入復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理程序中去發(fā)揮作用。

三、用Matlab指令進(jìn)行曲線擬合

常用的Matlab曲線擬合指令有多項(xiàng)式擬合指令polyfit、非線性擬合指令nlinfit、非線性擬合指令lsqcurvefit、曲線擬合指令fit。下面以半導(dǎo)體熱敏電阻溫度曲線的擬合過程為例來說明這些指令的用法。

半導(dǎo)體熱敏電阻溫度曲線是一個指數(shù)函數(shù)，屬于非線性擬合問題，但可以經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)化簡成線性擬合問題，并利用多項(xiàng)式擬合指令polyfit處理。本文的目的是介紹實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線擬合的普遍方法，所以仍將其按非線性擬合問題來處理，下面具體給出lsqcurvefit、nlinfit和fit三個指令的擬合過程。

1.外部數(shù)據(jù)的輸入。首先需要讀取實(shí)驗(yàn)儀器生成的Excel數(shù)據(jù)文件并保存到Matlab的變量中，具體程序如下：

t=xlsread（'data.xls'，1，'A2：A62'）;

V=xlsread（'data.xls'，1，'B2：B62'）;

T=t+273.16;? %調(diào)整溫度單位。

R=V*e-3/（20*e-6）;? ?%由電壓計(jì)算電阻。

2.指令lsqcurvefit擬合。指令lsqcurvefit屬于Matlab的優(yōu)化工具箱，利用最小二乘法，從初始猜測值開始求參數(shù)，將原始數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合到非線性函數(shù)，具體格式為：x=lsqcurvefit（fun，x0，xdata，ydata），其中：xdata、ydata是原始數(shù)據(jù)點(diǎn);fun（x，xdata）是擬合函數(shù)，也就是公式（1）;x是擬合函數(shù)系數(shù);x0是系數(shù)初始猜測值，其初始設(shè)置可能會影響結(jié)果。如擬合結(jié)果不理想，可以改變初始值x0后再重新擬合。具體Matlab程序如下：

x0=[2600，1000];

fun=@（x，T）x（1）*exp（x（2）*（1./T-1/300））;

x=lsqcurvefit（fun，x0，T，R）;

R0=x（1）;B=x（2）;

disp（['R='，num2str（R0），'*exp（'，num2str（B），…

'*（1./T-1/T0））']）;

計(jì)算結(jié)果如下：

R=2230.4327*exp（3407.2165*（1/T-1/T0））

擬合曲線和原始數(shù)據(jù)的對比如圖2所示，結(jié)果顯示擬合曲線與原始數(shù)據(jù)完全一致。如果對擬合效果要求較高，可以通過Matlab幫助系統(tǒng)，查閱表征擬合效果的具體參數(shù)。

3.指令nlinfit擬合。指令nlinfit屬于Matlab的統(tǒng)計(jì)和機(jī)器學(xué)習(xí)工具箱，采用迭代最小二乘法估算擬合系數(shù)。函數(shù)nlinfit是非線性擬合的通用函數(shù)，適用面比函數(shù)lsqcurvefit更廣，例如可以做加權(quán)最小二乘擬合。具體格式如下：

x=nlinfit（xdata，ydata，fun，x0）

與指令lsqcurvefit類似，不同的x0可能會得到不同的結(jié)果。具體Matlab程序如下：

x0=[2000，100];

fun=@（x，T）x（1）*exp（x（2）*（1./T-1/300））;

x=nlinfit（T，R，fun，x0）;

R0=x（1）;B=x（2）;

disp（['R='，num2str（R0），'*exp（'，num2str（B），…

'*（1/T-1/T0））']）;

計(jì)算結(jié)果如下：

R=2230.4327*exp（3407.2165*（1/T-1/T0））

這與指令lsqcurvefit的擬合結(jié)果完全一致。初始值x0設(shè)為[2000，100]，初始值的改變沒有影響擬合結(jié)果。

4.指令fit擬合。指令fit屬于Matlab的曲線擬合工具箱，其功能與曲線擬合工具箱軟件cftool類似。具體格式如下：

fitobject=fit（xdata，ydata，afitType）

aFittype=fittype（expression，Name，Value）

其中參數(shù)具體含義可查看Matlab幫助系統(tǒng)。與指令lsqcurvefit和nlinfit不同，指令fit不必設(shè)置擬合系數(shù)初始值。具體Matlab程序如下：

X=fittype（'R0*exp（B*（1/T-1/300））'，…

'independent'，'T'，'coefficients'，{'R0'，'B'}）;

Y=fit（T，R，X）;

disp（['R='，num2str（Y.R0），…

'*exp（'，num2str（Y.B），'*（1/T-1/T0））']）;

計(jì)算結(jié)果如下：

R=2230.4328*exp（3407.2159*（1/T-1/T0））

擬合結(jié)果與前面兩個指令的擬合結(jié)果幾乎一致。

四、結(jié)論

采用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算方法，可以進(jìn)行高精度、高效率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線擬合工作。本文以半導(dǎo)體熱敏電阻實(shí)驗(yàn)的曲線擬合過程為例，全面總結(jié)了利用Matlab程序進(jìn)行數(shù)據(jù)曲線擬合的基本理論和具體方法。具體介紹三個Matlab指令的使用方法和程序格式。應(yīng)用Matlab程序進(jìn)行曲線擬合，不但可以將數(shù)據(jù)擬合成各種函數(shù)，而且便于將其代碼集成到復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理程序中去，從而有助于完成高效、精確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理工作。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉金遠(yuǎn)，段萍，鄂鵬.計(jì)算物理學(xué)[M].科學(xué)出版社，2012.

[2]彭芳麟.計(jì)算物理基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2010.

Curve Fitting of Temperature Curve of Semiconductor Thermistor Based on Matlab

DONG Qing-rui

（School of Physics and Electronics，Shandong Normal University，Ji'nan，Shandong 250014，China）

Abstract：To find an appropriate curve-fitting method quickly，taking the curve fitting of the temperature curve of a semiconductor thermistor as an example，the basic theory and method of curve fitting using Matlab programs are summarized comprehensively.The program format and operation steps of three non-linear fitting instructions，lsqcurvefit，nlinfit and fit，are demonstrated.These MATLAB instruction programs can effectively deal with various complex curve fitting problems in experimental data processing.

Key words：curve fitting;Matlab;nonlinear fitting;least-square method