陳瑞華 曹柏楊

摘要：作為風(fēng)險管理和財富管理的重要衍生工具，上證50ETF期權(quán)合約自2015年上市以來，已經(jīng)成為全球流動性最好的期權(quán)品種之一，學(xué)術(shù)界對于其定價理論及其波動率的研究也在日益深入。本文主要研究上證50ETF期權(quán)隱含波動率的擬合問題，從SABR隨機波動率模型出發(fā)，在剔除BorrowRate對于期權(quán)隱含波動率的影響后，對上證50ETF期權(quán)波動率進行實證分析。同時，為提升SABR模型在參數(shù)優(yōu)化方面的效率與穩(wěn)定性，本文引入了遺傳算法對參數(shù)進行優(yōu)化。實證結(jié)果表明，SABR模型可以對當(dāng)前上證50ETF期權(quán)隱含波動率進行有效的擬合與估計，但對于深度實值期權(quán)與深度虛值期權(quán)而言，SABR模型的誤差仍有待進一步優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：上證50ETF期權(quán) 隱含波動率 SABR模型 遺傳算法

一、研究背景

2015年2月9日，我國首只場內(nèi)期權(quán)品種——上證50ETF期權(quán)在上海證券交易所上市交易，開啟了我國資本市場的“期權(quán)”之門，也為我國資本市場的穩(wěn)健發(fā)展奠定了堅實基礎(chǔ)。目前，上證50ETF期權(quán)已發(fā)展成為全球流動性最好的期權(quán)品種之一。圖1顯示了自上市日起至2019年6月30日上證50ETF期權(quán)合約日成交量的變化情況。從交易統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，2015年上證50ETF期權(quán)合約日均成交量為10. 63萬張，2019年日均成交量達到246.80萬張，日均成交量增長了23.21倍。

上證50ETF期權(quán)交易的日漸活躍帶來了期權(quán)市場的全面繁榮發(fā)展。2017年以來，我國先后上市了豆粕、白糖、銅、天然橡膠、棉花和玉米期權(quán)，迎來了商品期權(quán)的百花齊放時代，股指期權(quán)、利率期權(quán)和更多的商品期權(quán)也在醞釀推出。隨著我國衍生品工具運用和市場運行的日益完善，期權(quán)在規(guī)避市場風(fēng)險，促進市場穩(wěn)定方面的作用日益重要，已成為不可或缺的風(fēng)險管理和財富管理工具。因此，深化對期權(quán)理論和應(yīng)用的研究十分必要。

期權(quán)的定價與對沖一直以來都是期權(quán)研究的核心問題。目前，市場上主流的期權(quán)定價模型是基于偏微分方程的Black - Scholes - Merton模型（1973）和動態(tài)規(guī)劃的二叉樹模型（1979）。B-S-M模型假設(shè)價格是服從幾何布朗運動的，但在現(xiàn)實的期權(quán)市場交易中，B-S-M模型所假設(shè)的標(biāo)的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布及波動率為常數(shù)的這一條件與經(jīng)驗事實并不相符，模型不能解釋“波動率微笑”和“杠桿效應(yīng)”，導(dǎo)致期權(quán)理論定價與真實市場交易價格存在一定的偏差。相對B-S-M模型而言，二叉樹模型可以針對不同類型的期權(quán)定價，尤其適用于特殊期權(quán)的定價，但該模型的預(yù)測值與期權(quán)市場的真實價格相比誤差也很大，并且模型的擬合速度隨模型預(yù)測期數(shù)增加而下降。

針對B-S-M模型和二叉樹模型的缺陷，為了提高模型預(yù)測的精確性和擬合速度，理論界對B-S-M模型波動率為常數(shù)這一假設(shè)進行了擴展，并用控制變量的方法，增加時間變量，將期權(quán)價格看作是時間的函數(shù)，提出了隨機波動率（SV）模型和隨機波動跳躍（SVJ）模型，得以估計預(yù)測隱含波動率。定價參數(shù)的改進提高了假設(shè)條件與期權(quán)市場實際定價的吻合程度，進而提高了模型預(yù)測結(jié)果的可靠性。

值得指出的是，理論界對期權(quán)定價模型的深入研究是與期權(quán)市場的不斷發(fā)展完善同步的，尤其是關(guān)于期權(quán)定價的實證研究。Hull和White（1987，1988）、Heston（1993）首先提出了隨機波動率期權(quán)定價模型。隨后出現(xiàn)了許多在不同分布假設(shè)下對歐式期權(quán)定價的研究。Corrado和Su（1998）通過對SP500指數(shù)期權(quán)的實證研究，對隨機波動率期權(quán)定價模型的參數(shù)進行了估算和預(yù)測，揭示了隨機波動率期權(quán)定價模型的實際應(yīng)用價值。Saurabha和Tiwari（2007）則引入偏度和峰度兩個統(tǒng)計變量，使用波動率估計深度貨幣期權(quán)和深度價外期權(quán)的價格，得出了更接近期權(quán)市場價格的預(yù)測結(jié)果。

SABR模型（2002）是由Hagan提出的一種隨機波動率期權(quán)定價模型，其假設(shè)隱含波動率符合幾何布朗運動，并將隱含波動率設(shè)定為標(biāo)的資產(chǎn)價格和合約行權(quán)價格的函數(shù)，同時將隨機波動率模型與局部波動率模型相結(jié)合，可以更加準(zhǔn)確地動態(tài)刻畫市場隱含波動率曲線。SABR模型由于結(jié)構(gòu)相對簡單，具有解析解形式，并且對于波動率風(fēng)險能夠進行一致度量，因此成為被廣泛應(yīng)用的隨機波動率模型。

本文從SABR模型出發(fā)，在剔除Borrow Rate對于期權(quán)隱含波動率的影響后，對上證50ETF期權(quán)波動率進行實證分析，探討上證50ETF期權(quán)隱含波動率的擬合問題。同時，為提升SABR模型在參數(shù)優(yōu)化方面的效率與穩(wěn)定性，還引入了遺傳算法對參數(shù)進行優(yōu)化。

二、SABR模型及其參數(shù)估計

（一）SABR模型

SABR模型擴展了原始的B-S-M模型中關(guān)于波動率為恒定常數(shù)的假設(shè)條件，假設(shè)期權(quán)的隱含波動率同樣服從幾何布朗運動，假設(shè)隱含波動率是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格和期權(quán)合約行權(quán)價格的函數(shù)，同時假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)遠期價格F及其波動率α均為隨機過程，且兩個隨機過程之間具有相關(guān)系數(shù)ρ。

其中，因子F與Aα是隨機的，參數(shù)β，ν，ρ為常數(shù)。參數(shù)ν表示波動率的聚集狀態(tài)，可以看作是波動率的波動率;參數(shù)β∈[0，1]決定標(biāo)的資產(chǎn)遠期價格與平值期權(quán)隱含波動率之間的關(guān)系：如果β≈1，就表明在市場價格正常波動情況下，平值期權(quán)的隱含波動率影響不顯著;如果β《1，則說明平值期權(quán)隱含波動率和市場價格運動方向相反，尤其在β趨近于0時，這種現(xiàn)象就更加明顯。此外，對于該模型而言，當(dāng)β趨近于1時，該隨機模型接近對數(shù)正態(tài)分布，當(dāng)趨近于0時，該隨機模型接近正態(tài)分布。

需要注意的是，對上述目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化的過程中，不同的優(yōu)化方法對于優(yōu)化結(jié)果均有一定的影響。本文通過使用遺傳算法對參數(shù)ν，ρ進行優(yōu)化。

（三）遺傳算法

遺傳算法借鑒了生物界自然選擇和自然遺傳的機制，是一種高效、并行、全局搜索的隨機搜索算法。遺傳算法與傳統(tǒng)算法之間的區(qū)別在于，大多數(shù)經(jīng)典優(yōu)化算法都是基于單一的度量函數(shù)的梯度或高階統(tǒng)計來生成確定性的試驗解序列;遺傳算法則是通過模擬自然演化過程來搜索最優(yōu)解，而不需要依賴梯度信息。遺傳算法能在搜索過程中自動獲取和積累有關(guān)搜索空間的知識，并能自適應(yīng)地控制搜索過程以求得最優(yōu)解。借助遺傳算法對SABR模型中的目標(biāo)函數(shù)進行參數(shù)優(yōu)化，是一種具有更高優(yōu)化效率的參數(shù)估計方法。