彭代淵

(1. 西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 四川 成都 611756； 2. 成都工業(yè)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)空間安全研究所, 四川 成都 611730)

跳頻擴(kuò)頻(FHSS)與跳時(shí)擴(kuò)頻(THSS)是2種重要的擴(kuò)頻通信方式.FHSS與THSS通信系統(tǒng)具有一系列獨(dú)特優(yōu)點(diǎn),例如抗干擾能力強(qiáng)、具有多址組網(wǎng)能力、抗衰落能力、易于與窄帶通信系統(tǒng)兼容和具有很好的保密性能等[1-2],所以,它們?cè)诿裼靡苿?dòng)通信、短距離無(wú)線通信和軍事通信等無(wú)線通信領(lǐng)域獲得了重要應(yīng)用[3-4].在FHSS通信系統(tǒng)中,用跳頻序列進(jìn)行頻移鍵控調(diào)制,使載波不斷地跳變.在THSS通信系統(tǒng)中,用跳時(shí)序列控制信號(hào)發(fā)送時(shí)刻和發(fā)送時(shí)間的長(zhǎng)短.盡管FHSS與THSS是2個(gè)完全不同的無(wú)線通信方式,但跳頻序列和跳時(shí)序列卻具有相同的數(shù)學(xué)形式和性質(zhì).漢明(Hamming)相關(guān)函數(shù)是跳頻(時(shí))序列的一個(gè)重要概念,跳頻序列漢明相關(guān)值的大小是影響跳頻通信系統(tǒng)性能的重要因素之一.設(shè)計(jì)具有優(yōu)異性質(zhì)的跳頻序列集一直是擴(kuò)頻通信領(lǐng)域重要的理論研究方向.

在實(shí)際應(yīng)用中,要求跳頻序列集具有理想的漢明相關(guān)特性,即全部漢明相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)值(零時(shí)延除外)和互相關(guān)值都為零,且要求跳頻序列的數(shù)目盡可能多.但是,跳頻序列集的漢明相關(guān)值與它們的頻隙數(shù)目、序列長(zhǎng)度和序列數(shù)目等參數(shù)有關(guān),這些參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系稱為“跳頻序列的理論界”.跳頻序列理論界是跳頻序列集性能優(yōu)異的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),對(duì)跳頻序列設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義.早期跳頻序列的理論界基本上是在某些特殊條件下建立的.Lempel等[5]在1974年首先建立了“序列數(shù)目為1或2時(shí),周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界”.1982年,Seay[6]給出了“限定漢明相關(guān)條件下序列數(shù)目和序列長(zhǎng)度的理論界”.梅文華[7]在1992年建立了“非重復(fù)跳頻序列集的理論界”,1994年建立了“寬間隔的非重復(fù)跳頻序列集的理論界”[8].2004年,Peng等[9]建立了“一般跳頻序列集的理論界”,該理論界被稱為Peng-Fan界,作為判定一般跳頻序列集性能的標(biāo)準(zhǔn)[10-12].2009年,Ding等[13]利用糾錯(cuò)碼的理論界得到了幾個(gè)新的跳頻序列集的理論界.2011年,利用糾錯(cuò)碼中的Singleton界,得出了跳頻序列集的1個(gè)最大非平凡漢明相關(guān)的新理論界[14].

這些理論界幾乎都是針對(duì)周期漢明相關(guān)函數(shù)的.但是,在實(shí)際應(yīng)用中,跳頻序列的部分漢明相關(guān)函數(shù)能更好地描述跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能[15].由于研究跳頻序列的部分漢明相關(guān)函數(shù)很難,所以相關(guān)研究成果較少.在2004年,Eun等[15]導(dǎo)出了1個(gè)序列的部分漢明自相關(guān)函數(shù)的理論界(Eun-Jin-Hong-Song界).近年來(lái),我們開始致力于研究跳頻序列的部分漢明相關(guān)函數(shù)特性及其理論界,已獲得一些新的結(jié)果.2010年,我們建立了任意跳頻序列集的部分漢明相關(guān)函數(shù)的理論界,Eun-Jin-Hong-Song界是這個(gè)結(jié)果的特殊情況[16].

在上述理論界中,討論的是跳頻序列集漢明相關(guān)函數(shù)的最大值滿足的不等式,這類理論界被稱之為“最大漢明相關(guān)的理論界”.近年來(lái),我們開始研究跳頻序列平均漢明相關(guān)的性質(zhì)及其理論界.在2010年,首次建立了滿足跳頻序列集的頻隙數(shù)目、序列長(zhǎng)度、序列數(shù)目、平均漢明自相關(guān)值和平均漢明互相關(guān)值等參數(shù)的理論界[17],同時(shí)建立平均周期部分漢明相關(guān)的理論界,得到了滿足跳頻序列集的頻隙數(shù)目、相關(guān)窗長(zhǎng)度、序列數(shù)目、平均周期部分漢明自相關(guān)值和平均周期部分漢明互相關(guān)值等參數(shù)的不等式[18].

本文全面系統(tǒng)地闡述跳頻擴(kuò)頻序列集的理論界.

1 跳頻序列周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界

跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)是刻劃跳頻通信系統(tǒng)性能的重要參數(shù).首先給出一些符號(hào)和跳頻序列及其漢明相關(guān)函數(shù)的定義.

用F={f1,f2,…,fq}表示頻隙集,q=|F| 表示頻隙數(shù)目,x=(x0,x1,…,xN-1) (xi∈F,i=0,1,…,N-1)稱為F上的1個(gè)跳頻序列,N稱為跳頻序列x的長(zhǎng)度或周期,S是M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合.

對(duì)于任給2個(gè)頻隙f1,f2∈F,令

定義 1.1任給2個(gè)跳頻序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,l為整數(shù),0≤l

l=0,1,…,N-1

(1)

稱為跳頻序列x和y關(guān)于時(shí)延l的周期漢明相關(guān)函數(shù),其中下標(biāo)加法i+l按模N運(yùn)算,這里只考慮正時(shí)延l.對(duì)于已知的跳頻序列集S,其最大周期漢明自相關(guān)邊峰值Ha(S) 及最大周期漢明互相關(guān)值Hc(S)分別定義為：

Ha(S)=man{H(x,x;l)|x∈S,

l=1,2,…,N-1};

Hc(S)=max{H(x,y;l)|x,y∈S,

x≠y,l=0,1,…,N-1}.

令Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}.在不引起混淆的時(shí)候,令Ha=Ha(S),Hc=Hc(S),Hm=Hm(S).

1個(gè)跳頻序列集S包含以下參數(shù)：頻隙數(shù)目q、序列長(zhǎng)度N、序列數(shù)目M、最大漢明自相關(guān)邊峰值Ha與最大漢明互相關(guān)值Hc.根據(jù)跳頻通信設(shè)計(jì)的要求,應(yīng)該使跳頻序列集的參數(shù)具有如下特性[19-20]：

1) 最大漢明自相關(guān)邊峰值Ha盡可能??；

2) 最大漢明互相關(guān)值Hc盡可能??；

3) 當(dāng)參數(shù)Ha、Hc、q及N給定時(shí),序列數(shù)目M盡可能大.

但是,上述參數(shù)受到一些約束條件的限制.為了評(píng)估跳頻序列的性能,必須找出這些參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式,這就是跳頻序列理論界的研究?jī)?nèi)容.早在1974年,對(duì)于由1個(gè)或2個(gè)序列組成的特殊序列集,Lempel等[5]給出了周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界.

設(shè)u≥0,v>0是2個(gè)整數(shù),用q(u,v)表示u除以v的商,用r(u,v)表示u除以v所得的余數(shù).

定理 1.1[5](Lempel-Greenberger界) 設(shè)S是由F上的1個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,r=r(N,q),那么

H

(2)

推論 1.2[5](Lempel-Greenberger界) 設(shè)S是由F上的1個(gè)長(zhǎng)度為N的序列組成的集合,如果N=pn-1,q=pk,其中p是1個(gè)給定的素?cái)?shù),k和n是任意2個(gè)整數(shù),滿足1≤k

Ha≥pn-k-1.

(3)

定理 1.3[5](Lempel-Greenberger界) 設(shè)S是由F上的2個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,如果N=pn-1≥2,q=pk,其中p是1個(gè)給定的素?cái)?shù),k和n是任意2個(gè)整數(shù),滿足1≤k

Hm≥pn-k.

(4)

如果跳頻序列集S中的任意2個(gè)不同序列的參數(shù)使得(4)式的等號(hào)成立,則稱S是1個(gè)Lempel-Greenberger最優(yōu)跳頻序列集.

1982年,Seay[6]給出了如下跳頻序列集周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界.

定理1.4[6](Seay界) 設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,如果M=qk+1,其中k是S內(nèi)任意2個(gè)序列間的最大漢明相關(guān)值,那么

(5)

Lempel-Greenberger界和Seay界存在如下局限性：

1) 只考慮了周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界,沒(méi)有研究非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界；

2) 即使對(duì)于周期漢明相關(guān)函數(shù),也只考慮了M的一些特殊值,例如M=1,2或qk+1,而不是對(duì)任意的M；

3) 沒(méi)有區(qū)分最大漢明自相關(guān)邊峰值Ha和最大漢明互相關(guān)值Hc,而僅討論了最大非平凡漢明相關(guān)值Hm的下界.

由于實(shí)際跳頻通信系統(tǒng)使用序列的數(shù)目都大于2,并且跳頻序列集的漢明自相關(guān)值和漢明互相關(guān)值是相互聯(lián)系的,即如果最大漢明自相關(guān)邊峰值小,則它的最大漢明互相關(guān)值往往就大,反之亦然.所以根據(jù)Lempel-Greenberger 界與Seay界判定跳頻通信系統(tǒng)的性能具有極大的局限性.研究跳頻序列集一般參數(shù)滿足的理論界具有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值.

2004年,文獻(xiàn)[9]找到了跳頻序列集任意參數(shù)滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式,建立了跳頻序列集最大周期漢明自相關(guān)邊峰值和最大周期漢明互相關(guān)值的下界定理.

對(duì)于實(shí)數(shù)x,用x表示小于或等于x的最大整數(shù),用x表示大于或等于x的最小整數(shù).

定理 1.5[9](Peng-Fan界) 設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,q=|F|,令I(lǐng)=MN/q,則有

(N-1)qHa+(M-1)NqHc≥

(MN-q)N,

(6)

(N-1)MHa+(M-1)MNHc≥

2IMN-(I+1)Iq.

(7)

如果跳頻序列集S的參數(shù)(Ha,Hc)是不等式(6)(或(7))的最小整數(shù)解,則稱(Ha,Hc)是S的1個(gè)最優(yōu)周期漢明相關(guān)對(duì),同時(shí)稱S是1個(gè)最優(yōu)周期跳頻序列集.

注意到Hm=max{Ha,Hc},可得如下推論.

推論 1.6設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,q=|F|,令I(lǐng)=MN/q,則有

H

(8)

H

(9)

2016年,Chen等[21]證明了理論界(8)與(9)式是等價(jià)的.

如果M=1,那么N=Iq+r,0≤r

推論 1.7設(shè)S是由F上1個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,q=|F|,則有

H

(10)

(10)式即是Lempel-Greenberger界(2).

推論 1.8設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,q=|F|.如果存在素?cái)?shù)p和正整數(shù)k、n滿足0≤k

(pn-2)Ha+(M-1)(pn-1)Hc≥

Mp2n-k-2Mpn-k-pn+2,

(11)

H

(12)

容易看到,Lempel-Greenberger界(3)是界(12)在M=1時(shí)的特殊情況,Lempel-Greenberger界(4)是界(12)當(dāng)M=2時(shí)的特殊情況.

推論 1.9設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,q=|F|,令k=Hc,如果M=qk+1,那么

(13)

推論 1.10設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,q=|F|,令k=Hm,如果M=qk+1,那么

(14)

因?yàn)椴坏仁?/p>

對(duì)任意正整數(shù)k成立,所以在推論1.10的條件下,界(14)比Seay界(5)更緊.

定理 1.5被學(xué)術(shù)界稱為Peng-Fan界.Peng-Fan界打破了跳頻序列理論界研究多年停滯不前的狀況,引起了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)跳頻序列理論界的研究興趣,從此以后,一批新的理論界不斷被發(fā)表出來(lái).

2009年,Ding等[13]利用循環(huán)碼的Singleton界,給出了跳頻序列集的1個(gè)新的理論上界.

定理 1.11[13](Ding界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S是1個(gè)在頻隙集F上的M個(gè)具有序列長(zhǎng)度N的跳頻序列組成的集合,Hm是序列集S的最大周期漢明相關(guān)值,則有

(15)

2011年,Yang等[14]利用循環(huán)碼的Singleton界,給出了跳頻序列集最大周期漢明相關(guān)值的1個(gè)新下界.

定理 1.12[14](Yang界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S是1個(gè)在頻隙集F上的M個(gè)具有序列長(zhǎng)度N的跳頻序列組成的集合,Hm是序列集S的最大漢明相關(guān)值,則有

Hm≥logqMN-1.

(16)

在2013年,Liu和Peng[ 22]改進(jìn)了跳頻序列集的Singleton界.

定理1.13[22](Liu-Peng界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S是1個(gè)在頻隙集F上的M個(gè)具有序列長(zhǎng)度N的跳頻序列組成的集合,則有

在2014年,Liu等[ 23]通過(guò)引入M?bius函數(shù),進(jìn)一步改進(jìn)了跳頻序列集的Singleton界.

定理 1.14[23](Liu-Peng-Han界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S是1個(gè)在頻隙集F上的M個(gè)具有序列長(zhǎng)度N的跳頻序列組成的集合,則有

(18)

其中μ(d)是M?bius函數(shù),定義為

2 跳頻序列非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界

跳頻序列的非周期漢明相關(guān)函數(shù)是刻劃跳頻通信系統(tǒng)頻率重合的又一個(gè)重要指標(biāo).首先給出跳頻序列非周期漢明相關(guān)函數(shù)的定義.

定義 2.1對(duì)于任意2個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,l為整數(shù),且0≤l

l=0,1,…,N-1.

(19)

l=1,2,…,N-1};

(20)

x≠y,l=0,1,…,N-1}.

(21)

研究跳頻序列非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界較難,因此很長(zhǎng)時(shí)間未見有關(guān)研究結(jié)果.在2004年,我們首次給出了跳頻序列集最大非周期漢明自相關(guān)邊峰值和最大非周期漢明互相關(guān)值的理論界[ 9].

定理 2.1[9](Peng-Fan界) 設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,q=|F|,J=2MN/(M+q),則有

(3MN-qN-M-q)N,

(22)

(4J-N-1)MN-J(J+1)(M+q).

(23)

推論 2.2設(shè)S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,那么

(24)

(25)

2013年,Liu等[ 24]改進(jìn)了跳頻序列集非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界.

定理 2.3[24](Liu-Peng-Niu界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S是1個(gè)在頻隙集F上的M個(gè)具有序列長(zhǎng)度N的跳頻序列組成的集合,則有

MN2-qN,

(26)

2IMN-(I+1)Iq,

(27)

其中I為MN/q的整數(shù)部分.

2014年,Liu和Peng[ 25]建立了一個(gè)新的關(guān)于非周期漢明相關(guān)的跳頻序列集序列數(shù)目的理論上界.

(28)

3 跳頻序列部分漢明相關(guān)函數(shù)的理論界

從理論上講,跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)使用的跳頻序列集應(yīng)具有“理想”的相關(guān)特性,即全部自相關(guān)值(零時(shí)延除外)和全部互相關(guān)值都為零.可是,從跳頻序列理論界可知,這樣的跳頻序列集必須滿足

MN=q,

其中,N為序列周期(長(zhǎng)度),M為序列個(gè)數(shù),q為頻隙數(shù)目.對(duì)于實(shí)際跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng),由于序列長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于頻隙數(shù)目,所以關(guān)系MN=q不可能成立.這就是說(shuō)：“理想”跳頻序列集是不存在的！因此,在實(shí)際跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中,總是存在用戶間的多址干擾.

跳頻序列理論界同時(shí)說(shuō)明,跳頻序列集的序列個(gè)數(shù)隨著漢明相關(guān)值的降低而減少.可見,實(shí)際跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)需要“跳頻序列多、漢明相關(guān)值小”的跳頻序列集,是不能實(shí)現(xiàn)的.

出現(xiàn)以上問(wèn)題的主要原因是：為了便于進(jìn)行理論研究,人們往往在序列的全周期內(nèi)考慮漢明相關(guān)函數(shù).為了克服以上困難,應(yīng)該在“較小”的時(shí)延范圍內(nèi)考慮序列的漢明相關(guān)性.跳頻序列的部分漢明相關(guān)就是在1個(gè)小于序列周期的相關(guān)窗內(nèi)定義序列的漢明相關(guān)函數(shù).由于跳頻系統(tǒng)中的同步時(shí)間有限以及硬件的復(fù)雜性,通常跳頻序列的相關(guān)窗的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于所選序列的周期,而且相關(guān)窗的長(zhǎng)度會(huì)隨著信道條件的變化而改變,所以部分漢明相關(guān)比全周期漢明相關(guān)能更好地衡量系統(tǒng)的性能.盡管對(duì)跳頻序列部分漢明相關(guān)的研究較早,但遺憾的是,由于研究的困難性,公開的研究結(jié)果并不多.

近年我們對(duì)跳頻序列部分漢明相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了持續(xù)研究,獲得了一系列成果.首先給出跳頻序列部分漢明相關(guān)函數(shù)的定義.

定義 3.1對(duì)于任意2個(gè)跳頻序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,序列x和y在相對(duì)時(shí)延為,相關(guān)窗起點(diǎn)為j,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)的周期部分漢明相關(guān)函數(shù)定義為：

0

(29)

其中,下標(biāo)i+按模N運(yùn)算.當(dāng)x=y時(shí),H(x,y;j|L;τ)稱為周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)；當(dāng)x≠y時(shí)稱為周期部分漢明互相關(guān)函數(shù).如果j=0 并且L=N,周期部分漢明相關(guān)函數(shù)與周期漢明相關(guān)函數(shù)一致.

跳頻序列集S的最大周期部分漢明自相關(guān)Pa(L)、最大周期部分漢明互相關(guān)Pc(L)和最大周期部分漢明相關(guān)Pm(L)分別定義為：

Pa(L)=

0<τ

(30)

Pc(L)=

x≠y,0≤τ,j

(31)

Pm(L)=max{Pa(L),Pc(L)}.

(32)

類似地,可以定義跳頻序列的非周期部分漢明相關(guān)函數(shù).

定義 3.2對(duì)于任意2個(gè)跳頻序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,序列x和y在相對(duì)時(shí)延為,相關(guān)窗起點(diǎn)為j,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)的非周期部分漢明相關(guān)函數(shù)定義為：

其中,下標(biāo)i+按模N運(yùn)算.當(dāng)x=y時(shí),稱為非周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)；當(dāng)x≠y時(shí)稱為非周期部分漢明互相關(guān)函數(shù).如果j=0 并且L=N,(33)式即表示(19)式中定義的非周期漢明相關(guān)函數(shù).

0<τ

(34)

x≠y,0≤τ

(35)

(36)

由于跳頻序列的部分漢明相關(guān)函數(shù)比較復(fù)雜,相關(guān)理論界的研究結(jié)果較少.在2004年,Eun 等[15]推導(dǎo)了1個(gè)跳頻序列的周期部分漢明自相關(guān)的理論界.

定理 3.1[15](Eun界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,對(duì)于F上序列長(zhǎng)度為N,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)的跳頻序列,有

P

(37)

其中,r是N模q的最小非負(fù)剩余.

由于實(shí)際跳頻通信系統(tǒng)使用序列的數(shù)目都大于1,根據(jù)Eun等理論界來(lái)判定跳頻通信系統(tǒng)的性能具有如下局限性：

1) 只考慮了周期部分漢明相關(guān)函數(shù)的理論界,沒(méi)有研究非周期部分漢明相關(guān)函數(shù)的理論界；

2) 即使對(duì)于最大周期部分漢明相關(guān)函數(shù),也只考慮了1個(gè)序列最大周期部分漢明自相關(guān)值；

3) 沒(méi)有區(qū)分最大部分漢明自相關(guān)和最大部分漢明互相關(guān).

2010年,Niu等[16]建立了跳頻序列集周期部分漢明相關(guān)函數(shù)一般形式的理論界.

定理 3.2[16](Niu-Peng界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N),則有:

q(N-1)Pa+q(M-1)NPc≥

LMN-Lq;

(38)

MN(N-1)Pa+M(M-1)N2Pc≥

[2MN-(I+1)q]LI,

(39)

其中I=NM/q.

因?yàn)镻m=max{Pa,Pc},由定理3.2直接導(dǎo)出以下結(jié)果.

定理 3.3[16](Niu-Peng界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N),則有

P

(40)

P

(41)

由于Pm是正整數(shù),所以,不等式(40)與(41)可以分別寫成:

P

(42)

P

(43)

2014年,Cai等[26]改進(jìn)了該理論界.

定理 3.4[26](Cai界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N),則有

P

(44)

P

(45)

2016年,我們找到了上述幾個(gè)理論界之間的等價(jià)性[27].

定理 3.5[27](Wang-Peng界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N),則有:

1) 理論界(44)與理論界(45)是等價(jià)的,即

P

2) 關(guān)于理論界(42)與理論界(43)的等價(jià)性,有以下結(jié)論:設(shè)MN>q,L=sq+r,s≥0,0≤r≤q-1.

① 如果L>q,q不整除MN,且

那么

P

② 否則,理論界(42)與理論界(43)是等價(jià)的,亦即

P

在定理3.2或定理3.3中令序列個(gè)數(shù)M=1,得到如下結(jié)果.

定理 3.6(Niu-Peng界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上的1個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N),則有：

P

(46)

P

(47)

其中I=N/q.

注意到,N=qI+r,容易把(47)式化成(37)式,所以,Eun界是定理3.4的直接推論.

4 跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)平均值的理論界

在早期跳頻序列理論界研究中,幾乎都是討論跳頻序列集漢明相關(guān)函數(shù)的最大值,使用最大漢明自相關(guān)邊峰值和最大漢明互相關(guān)值來(lái)評(píng)價(jià)跳頻序列集的性能,這是從“最壞”的角度來(lái)評(píng)價(jià)跳頻通信系統(tǒng)性能,主要原因是數(shù)學(xué)處理的容易性.這類理論界被稱之為“最大漢明相關(guān)理論界”.而對(duì)于跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)性能評(píng)估,漢明相關(guān)函數(shù)的平均值更符合實(shí)際.由于研究漢明相關(guān)平均值很難,所以,關(guān)于平均漢明相關(guān)理論界的研究結(jié)果不多.近年來(lái),我們深入討論了漢明相關(guān)平均值的性質(zhì),開始研究平均漢明相關(guān)的理論界,建立了一批理論界.

首先給出跳頻序列集平均周期漢明自相關(guān)和平均周期漢明互相關(guān)的定義.

定義 4.1令S是F上的由M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合,那么

S

(48)

S

(49)

分別稱為跳頻序列集S的周期漢明自相關(guān)碰撞總數(shù)和周期漢明互相關(guān)碰撞總數(shù).將

A

(50)

A

(51)

分別稱為序列集S的平均周期漢明自相關(guān)和平均周期漢明互相關(guān).

在不引起混淆的時(shí)候,令Sa=Sa(S),Sc=Sc(S),Aa=Aa(S),Ac=Ac(S).

很明顯,跳頻序列集的平均碰撞數(shù)能夠度量跳時(shí)通信系統(tǒng)的平均錯(cuò)誤性能.希望Aa(S)和Ac(S)越小越好.

2010年,首次建立了跳頻序列集的頻隙數(shù)目、序列長(zhǎng)度、序列數(shù)目、平均漢明自相關(guān)值和平均漢明互相關(guān)值等參數(shù)滿足的理論界[17-18].

定理 4.1[17](Peng-Niu-Tang界) 令S是頻隙大小為q的集合F上的由M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合.設(shè)Aa和Ac分別表示序列集S的平均周期漢明自相關(guān)和平均周期漢明互相關(guān),則有

(52)

如果1個(gè)跳頻序列集S的參數(shù)使得(52)式的等號(hào)成立,則稱S是關(guān)于平均周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集.

以下定理找到了最大周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集與平均周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集之間的1個(gè)關(guān)系.

定理 4.2[17](Peng-Niu-Tang界) 令S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合.如果S是關(guān)于最大周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集,那么S同時(shí)也是關(guān)于平均周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集.

一般地說(shuō),定理4.2的逆不成立,即“關(guān)于平均周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集”不一定是“關(guān)于最大周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集”.現(xiàn)在用一個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明.

例 4.1設(shè)頻隙集F={0,1,2,3,4,5,6},構(gòu)造3次跳頻序列集S[17]如下：

即

S={s(1)=(0,1,1,6,1,6,6),

s(2)=(0,2,2,5,2,5,5),

s(3)=(0,3,3,4,3,4,4),

s(4)=(0,4,4,3,4,3,3),

s(5)=(0,5,5,2,5,2,2),

s(6)=(0,6,6,1,6,1,1) }.

可見,跳頻序列集S具有以下參數(shù)：頻隙數(shù)目q=7,序列長(zhǎng)度N=7,序列數(shù)目M=6.S的周期漢明相關(guān)值為

H(s(i),s(j);τ)=

可以驗(yàn)證,這些參數(shù)使(52)式的左右兩邊相等,所以S是“關(guān)于平均周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集”.將這些參數(shù)代入(6)式,得到819>245,所以S不是“關(guān)于最大周期漢明相關(guān)最優(yōu)的跳頻序列集”.

現(xiàn)在討論跳頻序列集部分漢明相關(guān)函數(shù)平均值的理論界.首先給出部分漢明相關(guān)函數(shù)平均值的定義.

定義 4.2[18]令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N).跳頻序列集S在相關(guān)窗L內(nèi)的周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)總值與周期部分漢明互相關(guān)總值分別定義為：

T

(53)

Tc(L):=

(54)

跳頻序列集S在相關(guān)窗L內(nèi)的周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)平均值與周期部分漢明互相關(guān)平均值分別定義為：

A

(55)

A

(56)

2010年,我們建立平均周期部分漢明相關(guān)的理論界,得到了跳頻序列集的頻隙數(shù)目、相關(guān)窗長(zhǎng)度、序列數(shù)目、平均周期部分漢明自相關(guān)值和平均周期部分漢明互相關(guān)值等參數(shù)滿足的不等式[18].

定理 4.3[18](Niu-Peng-Liu界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N),則有

(57)

(58)

其中I=NM/q.

在(57)式中,令L=N,則(57)式成為(52)式.所以,Peng-Niu-Tang界(52)是Niu-Peng-Liu界(57)的特殊情況.

2015年,我們通過(guò)分析每個(gè)頻隙在整個(gè)序列集中的分布特性,改進(jìn)了跳頻序列集平均部分漢明相關(guān)函數(shù)理論界.

定理 4.4[28](Zhou-Peng界) 令F是1個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≤N),則有

(59)

其中r是NM模q的最小非負(fù)剩余.

由于(58)式中的I與(59)式中的r具有關(guān)系NM=Iq+r(0≤r

(2MN-Iq-q)LI=

(MN+r-q)(MN-r)L/q=

(M2N2+qr-r2-qMN)L/q,

所以,理論界(58)與(59)式是等價(jià)的.

5 結(jié)論

跳頻序列漢明相關(guān)值的大小是決定跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)性能的重要因素之一,跳頻序列理論界是跳頻序列性能優(yōu)異的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),一直是擴(kuò)頻通信理論的核心研究課題.有關(guān)跳頻序列理論界的研究成果最早于1974年公開發(fā)表,之后很少報(bào)道.直到2004年,我們找到了跳頻序列集任意參數(shù)滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式,分別建立了跳頻序列集周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界與非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界.從此開始,在國(guó)內(nèi)外掀起了跳頻序列理論界的研究熱潮,許多學(xué)者開始從事跳頻序列理論界的研究.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),國(guó)家自然科學(xué)基金資助的有關(guān)跳頻序列的研究項(xiàng)目不低于10項(xiàng).研究成果非常豐富,研究范圍不斷擴(kuò)大.從研究跳頻序列周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界開始,逐步擴(kuò)展到研究跳頻序列非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界和跳頻序列部分漢明相關(guān)函數(shù)的理論界,不但研究跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)最大值的理論界,而且研究跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)平均值的理論界.并且提出了“低碰撞區(qū)跳頻序列”的概念,為跳頻序列的研究開創(chuàng)了一個(gè)新方向.本文完整地系統(tǒng)地闡述了跳頻序列理論界的研究成果.關(guān)于低碰撞區(qū)跳頻序列的理論界,將另外撰文論述.