謝生龍 劉維娜 姚馨雨

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 延安 716000）

1 引言

車輛跟馳行駛是最常見的一種交通行為，而車輛追尾又是這種交通行為下易發(fā)的一種交通事故。由于在復(fù)雜的道路環(huán)境因素刺激下駕駛員會做出不同的行為反應(yīng)，從而會使跟馳行駛的車輛車頭間距隨著變化。為了避免跟馳行駛車輛追尾事故的發(fā)生，預(yù)測跟馳模型車輛間的車頭距離有著現(xiàn)實的意義。2017 年郭海鋒等以美國I-80 公路實測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，進(jìn)行了Gipps，IDM 和Newell三個典型跟馳模型的參數(shù)標(biāo)定，研究結(jié)果表明車頭間距作為參數(shù)標(biāo)定跟馳模型效果更好［1］；2007年李松等通過Matlab 工具進(jìn)行Bierley 模型交通流時間序列仿真生成，研究了通流混沌轉(zhuǎn)化機理，為交通的混沌控制提供了參考依據(jù)［2］；2017年P(guān)epe P等研究表明輸入-狀態(tài)的定性的Lyapunov 特性是由離散抽象近似的時間非線性系統(tǒng)的構(gòu)造問題引起的，從而也說明了不僅理論上的跟馳模型中存在復(fù)雜非線性動力學(xué)特性，而現(xiàn)實交通流系統(tǒng)中也存在混沌、自組織等復(fù)雜行為［3］。不僅如此，現(xiàn)有的交通系統(tǒng)動力學(xué)的研究歷程也已表明，通過交通流混沌轉(zhuǎn)化機理的分析，車輛跟馳過程中存在制約性、延遲性及傳遞性等規(guī)律和特性［4］。故文章以交通動力學(xué)混沌特性為依據(jù)，推演跟馳交通流模型中前后車輛的車頭間距變化趨勢，分析最大Lyapunov 指數(shù)的車頭間距預(yù)測方法，為車輛跟馳模型車輛安全行駛提供理論分析依據(jù)。

2 Bierley非線性跟馳模型

現(xiàn)有的GM（Genera Motor）模型是典型的跟馳模型，以刺激反應(yīng)為基礎(chǔ)進(jìn)而表現(xiàn)駕駛壞境中各種刺激對駕駛員行為的影響，其中，引入反應(yīng)的概念并結(jié)合車輛加速度進(jìn)行刻畫。假設(shè)行駛時，當(dāng)前車輛加速度與此車與跟馳車的車頭間距成反比，與兩車之間的速度差成正比［5～6］，則實際行駛過程中與車輛自身的速度就有一定的直接關(guān)系，那么通?？捎萌缦鹿奖硎旧鲜鲴{駛員的刺激反應(yīng)過程：

分析時，式（1）中的刺激通過跟馳車輛的相對速度表示；而靈敏度則根據(jù)模型的實際需要給予不同的表示。故GM模型一般用公式表示如下所示：

式中：αn+1(t+T)表示(t+T)時刻(n+1)輛車的加速度；Dυ(t)表示t 時刻前后跟馳車輛的速度差；Dχ(t)表示t 時刻相鄰跟馳車輛的距離；α0、m、l 、T 均為待定常數(shù)。Bierley 在此模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的改進(jìn)，得到了如式（3）模型［7］。

3 Bierley 非線性跟馳模型車頭間距的可預(yù)測性

Lyapunov 指數(shù)頻譜是系統(tǒng)混亂程度的最直接的體現(xiàn)，最大Lyapunov指數(shù)可以作為跟馳模型的交通流是否具有混沌性的一個重要判斷指標(biāo)［9］。通常稱為可微映射f 在χ0的最大Lyapunov 指數(shù)［10］。下面結(jié)合Bierley 非線性跟馳模型進(jìn)行仿真實驗，然后利用仿真數(shù)據(jù)通過最大Lyapunov 指數(shù)計算給出Bierley 非線性跟馳模型車頭間距能否預(yù)測的遞歸圖判斷及預(yù)測方法［11］。

3.1 交通流數(shù)據(jù)仿真生成

假設(shè)在研究的時段內(nèi)，相同的5 輛款式汽車做Bierley 非線性跟馳運動，首車以某一速特定速度υ0(m/s) 行駛，跟馳與被跟馳車頭間距為固定值l0。為了真實地反映車輛跟馳行駛的過程中某一時刻t 由于受外界環(huán)境的刺激，而引起車輛做出相應(yīng)的加、減速響應(yīng)，這里對跟馳行駛過程中的首車加正弦變化進(jìn)行仿真干擾［12］。具體形式如下：

式（4）中，ω 為角頻率，A 表示干擾信號的振幅。仿真中各個信號量取值情況為υ0=15m/s ，l0=30m ，正弦干擾參數(shù)分別取值為A=1m/s ，ω=0.05rad/s，再假定非線性跟馳隊列中駕駛員具有同等能力的反應(yīng)參數(shù)，不妨取α0=1，Bierley 非線性GM 模型中h=1，κ=0.00001，從而得到模型中頭間距隨時間變化曲線如圖1所示。

圖1 仿真跟馳隊列車頭間距隨時間變化曲線

3.2 可預(yù)測性判斷

現(xiàn)在通過交通流系統(tǒng)中的混沌特性理論分析Bierley 非線性GM 模型系統(tǒng)中車頭間距的可預(yù)測性。以車頭間距l(xiāng)i時間序列為基礎(chǔ)，對li作如下處理：

式（5）中，Nm=N-(m-1) ；τ 為滯后時間；m為嵌入維數(shù)，通過偽鄰域法計算求得30s 序列的最小嵌入位數(shù)為8，1min 序列最小嵌入位數(shù)為6［13］。這一結(jié)果也恰好說明短時交通流的系統(tǒng)行為復(fù)雜性，時間越短混沌特征越明顯。接下來通過相空間重構(gòu)產(chǎn)生遞歸圖，在式（5）中取適當(dāng)小的正數(shù)r0求任意點到（Li，Lj）之間的距離。

判斷并繪制相鄰兩輛車T 分別為30s 和1min時的車頭間距遞歸圖，結(jié)果如圖2。

圖2 相鄰兩輛車T分別為30s和1min時的車頭間距遞歸圖

從上圖中發(fā)現(xiàn)若（i，j）為空白點，則該時刻之前 的 若 干 點（i-1，j-1），（i-2，j-2），…，（i-k，j-k）也同為空白點，反之亦然。四幅兩兩對比的遞歸圖上整體上都有一些由“ ”形成的平行于主對角線的直線段［14］。平行于主對角線的線段長短表示了車頭間距可預(yù)測性的強弱［15］。直線段的存在說明了根據(jù)相思原理可進(jìn)行預(yù)測的科學(xué)性，而且兩幅圖對比發(fā)現(xiàn)，1min 序列比30s 序列可預(yù)測性更強。

4 基于最大Lyapunov 指數(shù)的車頭間距預(yù)測方法

通過3.1遞歸圖的方法檢驗系統(tǒng)是否具有混沌性，是否達(dá)到混沌狀態(tài)。若滿足多數(shù)非主對角線的上的點形成的直線平行于主對角線，則可以通過以下方法求得最大Lyapunov 指數(shù)，并進(jìn)行Bierley 非線性跟馳模型下一時刻車頭間距的預(yù)測［16］，具體的，若設(shè)相點

為預(yù)測中心點，且Lp的最鄰近點為與Lk，Lk∈{X1，X2，…，Xp-1} ，Lp與Lk的距離為d ，則

若給定的是一維動力系統(tǒng)，存在混沌特性，初始距離很小的兩個點，隨著時間的推移，它們之間的距離成指數(shù)增長如式（10）所示。

式中，λ1為最大Lyapunov 指數(shù)，另外Lp+1除ln+1外其他分量都是已知，所以ln+1可求解的，其值即為車頭間距預(yù)測值，通常可預(yù)測的最長周期可用來估計。

5 預(yù)測算例

算例中首先通過3.1中交通流仿真生成基本的分析數(shù)據(jù)；其次，用3.2 運動特性識與判斷方法（重點為混沌特性）進(jìn)行可預(yù)測性判斷；最后，通過判斷的結(jié)果按照4中敘述的方法進(jìn)行預(yù)測。

5.1 仿真交通流生成

根據(jù)2 中Bierley 非線性跟馳模型和3.1 中交通流數(shù)據(jù)仿真生成思路，設(shè)定5 輛同款式車輛進(jìn)行Bierley 非線性跟馳行駛，這里取h=1，司機未受外界刺激前形式速度υ0=15m/s，初始車頭間距假定為l0=30m，為了更真實地體現(xiàn)5 輛車不同駕駛員的差異情況，α，κ 的5組系數(shù)取值情況如表1。

表1 仿真中5組系數(shù)取值

取采樣周期T=1 min ，仿真時長為60min，得到跟馳行駛模型中相鄰兩車之間車頭間距變化情況如圖3 所示。從圖中顯示結(jié)果來看，第2、1 輛車頭間距近似服從正弦變化趨勢，第3、2 輛之間隱約出現(xiàn)高頻震蕩，第4、3 輛之間車頭間距震蕩明顯，第5、4 輛之間車頭間距趨勢相對正弦趨勢平穩(wěn)，有著周期性的變化規(guī)律。

圖3 相鄰跟馳車輛的車頭間距變化情況

5.2 混沌特性識別與判斷

為了判斷上述仿真交通流是否存在混沌特性，下面使用3.2 中的遞歸圖的方法對第4、3 輛車頭間距l(xiāng)34進(jìn)行判斷，為了科學(xué)起見，這里仍選取60個采樣數(shù)據(jù)參與有效運算。時間序列t1，t2，…，tj…， j=1，2，…，60，用Matlab作圖結(jié)果如圖4所示。

圖4 仿真交通流中第4、3輛車頭間距遞歸圖

按照4.1 計算方法發(fā)現(xiàn)預(yù)測步長1min 時，隨著時間序列的生成可求得λ1大于0，且從圖4 中看出主對角線兩側(cè)“ ”點形成的線整體上平行于其，因而具有混沌特性的仿真數(shù)據(jù)具備一定步長的短時間可預(yù)測性。

5.3 Bierley非線性GM模型車頭間距預(yù)測

通過引言分析，現(xiàn)以研究模型的混沌特性為基礎(chǔ)，基于最大Lyapunov 指數(shù)的計算方法進(jìn)行Bierley 非線性跟馳模型車頭間距預(yù)測時可按如下步驟完成：

1）這里采用數(shù)據(jù)移動的方式預(yù)測，則某時刻模型中車頭間距序列l(wèi)i在相空間中的點Li=(li，li+τ，…，li+(m-1)τ)以P（平均周期）≤iα ≤S（數(shù)據(jù)個數(shù)）的最近點為Li=(liα，liα+τ，…，liα+(m-1)τ)［17］。

2）用任意一種方法計算最大Lyapunov 指數(shù)λ1。

3）根據(jù)式（10）求出預(yù)測值ln+1，也可進(jìn)一步表示為［18］

于是liα+(m-1)τ+1的預(yù)測值為

通過算例測試，可能是仿真采樣數(shù)據(jù)偏少、不客觀或參數(shù)未修正等原因造成的預(yù)測誤差有些偏大，但在一定程度上可以接收，具體對比結(jié)果如圖5所示。

圖5 第3、4輛車車頭間距預(yù)測對比

6 結(jié)語

文章首先從交通流系統(tǒng)混沌、非線等基本特性出發(fā)介紹了Bierley非線性跟馳模型，又闡述了通過計算最大Lyapunov 指數(shù)判定Bierley 非線性跟馳模型車頭間距是否具有可預(yù)測性的基本方法，與文獻(xiàn)［2］相比，用該方法判斷車頭間距隨時間生成的序列是否有混沌特更具有操作性和可視性。其次，實驗以仿真交通流為算例基礎(chǔ)，對比了5 輛皮萊特非線性GM 模型中相鄰兩輛車在T 分別為1min 與30s時的車頭間距的可預(yù)測情況，對比發(fā)現(xiàn)其他條件一定的情況下步長較大的相空間重構(gòu)車頭間距遞歸圖體現(xiàn)出了較好的預(yù)測性。再次，給出了最大指數(shù)計算由式（11）的Bierley 非線性跟馳模型車頭間距預(yù)測方法。最后，根據(jù)仿真數(shù)據(jù)預(yù)測了第4、3 輛車兩車頭間距，發(fā)現(xiàn)預(yù)測值誤差有些偏大，這可能是仿真采樣數(shù)據(jù)偏少、不客觀等原因造成的，還需進(jìn)一步探究，但整個預(yù)測方法的分析過程可以為車輛跟馳行駛模型安全預(yù)警提供理論借鑒。