張程煜，郭盛，趙福群

(北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京，100044)

具有操作能力的移動(dòng)機(jī)器人能夠在移動(dòng)模式與操作模式間切換，不僅具備優(yōu)異的移動(dòng)能力，而且能夠通過模式切換完成不同類型的操作任務(wù)，更好地適應(yīng)不同地形與復(fù)雜環(huán)境，成為移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)域的一個(gè)發(fā)展新方向，也吸引越來越多學(xué)者的關(guān)注。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者與研究機(jī)構(gòu)提出了多種輪腿式機(jī)器人機(jī)構(gòu)，如：丁希侖等[1-2]等提出了多種輪腿式機(jī)器人方案，并研究其運(yùn)動(dòng)學(xué)及構(gòu)態(tài)變形方式；徐坤等[3]提出了一種圓周對(duì)稱的六輪腿式機(jī)器人，并研究其步行模式與輪行模式下的步態(tài)。但目前已經(jīng)研制出的輪腿式復(fù)合機(jī)器人大多數(shù)僅具備移動(dòng)能力，不具備通過機(jī)器人自協(xié)作完成復(fù)雜操作任務(wù)的能力。為解決移動(dòng)機(jī)器人操作能力不足的問題，ARAI 等[4-5]與DING 等[6-7]先后提出了具移動(dòng)和操作能力多支鏈機(jī)器人的概念，前者對(duì)該類機(jī)器人的設(shè)計(jì)思路與應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行了詳細(xì)介紹，后者運(yùn)用NOROS-III 六足機(jī)器人，利用實(shí)驗(yàn)研究其腿部支鏈進(jìn)行操作的控制方法，證明了腿部支鏈與手部支鏈切換操作與控制實(shí)現(xiàn)的可行性。動(dòng)力學(xué)分析是機(jī)器人設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)中的重要環(huán)節(jié)，建立精確完整的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型是機(jī)器人仿真、實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的控制策略、分析機(jī)器人力學(xué)性能表現(xiàn)的重要保證。ROY 等[8-9]對(duì)六足步行機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，并基于最小二乘法給出了在步行移動(dòng)過程中的支鏈載荷分配的最優(yōu)解。董偉光等[10]運(yùn)用牛頓-歐拉方法對(duì)一種具有閉鏈結(jié)構(gòu)的輪足復(fù)合式機(jī)器人進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析與試驗(yàn)，給出了機(jī)器人姿態(tài)對(duì)力學(xué)特征的影響。SHAH等[11]提出了一種模塊化的足式機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模方法，將整體劃分為多個(gè)含有串聯(lián)支鏈的模塊，對(duì)于僅含有串聯(lián)支鏈足式機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模具有普適性。KOMODA 等[12]對(duì)多種閉環(huán)支鏈構(gòu)型的足式機(jī)器人進(jìn)行了建模分析，并對(duì)比動(dòng)力學(xué)性能與能量消耗，揭示了機(jī)器人設(shè)計(jì)與性能評(píng)價(jià)間存在一定聯(lián)系。DING 等[13]利用拉格朗日方法建立動(dòng)力學(xué)模型，揭示了輪腿式機(jī)器人腿部關(guān)節(jié)力矩與機(jī)器人平臺(tái)高度之間的關(guān)系。KOMSUOGLU 等[14]用實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)一步證明了不同機(jī)器人步態(tài)與能耗之間的關(guān)系。GRAND 等[15]以輪腿式機(jī)器人穩(wěn)定性和牽引力為目標(biāo)，提出了一種適應(yīng)于非平坦地形的機(jī)器人位姿控制方法。鄭建華等[16]以四足機(jī)器人為研究對(duì)象，對(duì)引入的彈簧腿進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化，抑制了行走過程中足底打滑等問題，顯著提高了機(jī)器人的穩(wěn)定性。DING 等[17]研究了足式機(jī)器人足端與地形的接觸力學(xué)問題，給出不同接觸情況下的力學(xué)模型并進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在移動(dòng)操作機(jī)器人方面，張碩生等[18]運(yùn)用牛頓-歐拉方法揭示了輪式移動(dòng)平臺(tái)與機(jī)械手之間的耦合作用力。董超等[19]對(duì)一種鉸接式的車輛進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)分析，為輪腿式機(jī)器人輪式行走模式下的動(dòng)力學(xué)建模提供一定的理論依據(jù)。針對(duì)并聯(lián)足式機(jī)器人，王洪波等[20]解決了四足并聯(lián)機(jī)器人行走過程中的動(dòng)力學(xué)耦合問題。XIN 等[21]利用摩爾-彭若斯廣義逆矩陣，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)求解了六足并聯(lián)機(jī)器人的重載條件下的支鏈力分配問題，使得求解過程更高效。綜上所述，人們對(duì)腿式機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析取得了一定進(jìn)展，并致力于研究機(jī)器人足式支鏈的力學(xué)分配與搭載于移動(dòng)平臺(tái)的操作手動(dòng)力學(xué)問題，但是，基于性能優(yōu)化的輪腿式機(jī)器人操作模式下的動(dòng)力學(xué)問題研究尚顯不足。為此，本文作者針對(duì)提出的具有多種操作模式的新型輪腿復(fù)合式機(jī)器人，利用牛頓-歐拉法建立了機(jī)器人自協(xié)作模式下的完整動(dòng)力學(xué)模型，并依據(jù)可操作度橢球理論，提出一種操作模式下支撐支鏈的位姿調(diào)整方案，以便有效地提高操作過程中的力學(xué)性能。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 構(gòu)型描述與模式介紹

圖1所示為本文提出的一種新型多操作模式輪腿復(fù)合機(jī)器人。由圖1可見：機(jī)器人由6條支鏈與動(dòng)平臺(tái)構(gòu)成，每條支鏈布置有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)與1個(gè)具有動(dòng)力的主動(dòng)輪，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)均為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)；6條支鏈呈對(duì)稱布置，動(dòng)平臺(tái)為正六邊形結(jié)構(gòu)。

支鏈可以作為腿部支撐支鏈，也可以作為手臂操作支鏈，并且每條支鏈上搭載驅(qū)動(dòng)輪，從而通過支鏈的切換，機(jī)器人同時(shí)具備2類模式，即自協(xié)作模式與輪式移動(dòng)模式，如圖2所示。

圖1 輪腿復(fù)合機(jī)器人模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic description of wheel-legged compound robot

圖2 機(jī)器人工作模式Fig.2 Robot wheeled modes

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖3所示為機(jī)器人坐標(biāo)系與支鏈分布示意圖。圖3(a)中，基坐標(biāo)系為Oxyz，車身平臺(tái)坐標(biāo)系為Opxpypzp，其中坐標(biāo)原點(diǎn)Op點(diǎn)與動(dòng)平臺(tái)的中心重合，zp軸垂直于動(dòng)平臺(tái)向上，xp指向六邊形某一邊的重點(diǎn)。車身平臺(tái)為邊長(zhǎng)為2a的正六邊形結(jié)構(gòu)，車身側(cè)板寬度為b。機(jī)器人具有6 條完全相同且對(duì)稱布置的支鏈，支鏈編號(hào)如圖3(b)所示。

對(duì)于第i條支鏈(i=1,2,…,6)，其可以看作三自由度串聯(lián)機(jī)械臂，支鏈連桿的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和L2，建立如圖3(a)所示D-H坐標(biāo)系，各個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的角度為θi(i=1,2,3)。當(dāng)車身側(cè)板角度為90°或135°時(shí)，其連桿坐標(biāo)變換形式相同，因此，具有相同的D-H參數(shù)，如表1所示。

表1 串聯(lián)支鏈D-H參數(shù)表Table 1 D-H parameter table of series branch

支鏈在O0x0y0z0坐標(biāo)系下的位姿變換矩陣可以表示為

當(dāng)車身側(cè)板為90°時(shí)，第i條支鏈O0x0y0z0坐標(biāo)系原點(diǎn)在Opxpypzp坐標(biāo)系的位置可以表示為

第i條支鏈支鏈在Opxpypzp坐標(biāo)系下的位姿為

不同支鏈的對(duì)應(yīng)γi角如表2所示。

利用上述方法計(jì)算得到機(jī)器人的雅克比矩陣維數(shù)為(6×3)，但是其中3 行是線性無關(guān)的，值得考慮的是雅克比矩陣上方的(3×3)階子矩陣：

圖3 機(jī)器人坐標(biāo)系與支鏈分布示意圖Fig.3 Schematic diagram of robot coordinate system and branch distribution

表2 不同支鏈的γi角度Table 2 γiangle values of different branches

式中：

2 動(dòng)力學(xué)建模

2.1 支鏈動(dòng)力學(xué)模型

建立機(jī)器人單個(gè)串聯(lián)支鏈的動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示。支鏈細(xì)分為3個(gè)連桿，其中各連桿長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1，L2和L3，連桿質(zhì)量分別為m1，m2和m3，車輪視為連桿3 的一部分；連桿i的慣性張量在坐標(biāo)系i下表示為iIi。

圖4 串聯(lián)支鏈動(dòng)力學(xué)模型Fig.4 Dynamic model of series branch

給定平臺(tái)的初始角速度和角加速度分別為0ω0和，支鏈末端所受環(huán)境作用力與作用力矩分別為3f4,3=[f1f2f3]T與3n4,3=[n1n2n3]T，根據(jù)牛頓-歐拉公式，連桿i與連桿i-1之間的作用力與作用力矩迭代關(guān)系式為

式中：fi,i-1和ni,i-1分別為i坐標(biāo)系下第i條支鏈對(duì)i-1 支鏈的作用力和作用力矩；為作用在連桿i質(zhì)心的慣性作用力在i坐標(biāo)系中的表示。利用旋轉(zhuǎn)變換矩陣，可以實(shí)現(xiàn)fi,i-1和ni,i-1在i坐標(biāo)系與i-1坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換：

根據(jù)連桿作用力在關(guān)節(jié)軸線上的投影關(guān)系，各關(guān)節(jié)力矩為

2.2 自協(xié)作模式動(dòng)力學(xué)模型

在自協(xié)作模式下，通過支撐支鏈與操作支鏈的協(xié)同，機(jī)器人能夠完成操作物體、自主維修等任務(wù)。將該模式下的動(dòng)力學(xué)模型分為2個(gè)部分，即操作部分與支撐部分，如圖5所示。為簡(jiǎn)化建模，進(jìn)行如下假設(shè)：

1)支鏈末端與地面接觸時(shí)不存在滑動(dòng)；

2)支鏈末端與地面的接觸為存在摩擦的點(diǎn)接觸，即可以分解為1個(gè)垂直于地面和2個(gè)相切于地面的力分量。

圖5 自協(xié)作模式下機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Dynamic model of robot in self-cooperation mode

根據(jù)牛頓-歐拉法計(jì)算得到的單支鏈動(dòng)力學(xué)方程，可以計(jì)算得到第i個(gè)操作支鏈中連桿1 對(duì)動(dòng)平臺(tái)的作用力和作用力矩分別為[0f1,0]i和[0n1,0]i，將其轉(zhuǎn)換到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處的基坐標(biāo)系下，有

機(jī)器人的6 條支鏈中，m條支鏈為操作支鏈，n條支鏈為支撐支鏈，操作支鏈末端所受作用力為Ft i=[ftix,ftiy,ftiz]，支撐支鏈末端所受作用力Fj=[fjx,fjy,fjz]，PFi為第i個(gè)操作支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的作用力，G為動(dòng)平臺(tái)及操作支鏈所受重力，得到整體的力學(xué)平衡方程為

將式(5)和式(6)整理成矩陣形式：

其中：

W為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處所受到的作用力與作用力矩，由于作用在剛體上的力矩不因矩心的變化而改變，因此，PMi可以等效為作用于動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心，從而W可以表示為

3 基于力學(xué)性能優(yōu)化的調(diào)姿算法

力可操作性橢球體[22-23]可以應(yīng)用于分析機(jī)構(gòu)沿操作空間不同方向的力學(xué)可操作性。當(dāng)給定某一任務(wù)方向時(shí)，可操作性橢球體在該方向的變換比率越大，則同等輸出力的條件下所需關(guān)節(jié)力矩越小，從而在該方向的力學(xué)性能越好。

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)承受由操作支鏈加速度帶來的作用反力與自身重力時(shí)，支撐支鏈的布置形式?jīng)Q定了式(7)中矩陣[A]，即決定了各支鏈的位姿，從而對(duì)支撐支鏈的力學(xué)表現(xiàn)性能有重要影響。在給定任務(wù)方向后，可以根據(jù)可操作度橢球在給定任務(wù)方向的變化比率，調(diào)整支撐支鏈的位姿，使得各支撐支鏈在任務(wù)方向上均達(dá)到最優(yōu)力學(xué)性能。

考慮第j條支撐支鏈的力可操作度橢球如圖6所示。

圖6 力可操作度橢球Fig.6 Force manipulability ellipsoid

當(dāng)操作部分支鏈的運(yùn)動(dòng)與外部作用力確定時(shí)，可以得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心所受作用力的方向。設(shè)該方向?yàn)閡，在此方向上第j條支撐支鏈的力可操作度度量為|OA|，其可以表示為

令每條支撐腿末端在滿足期望的位置范圍，如式(8)所示，并且在設(shè)置末端位置時(shí)應(yīng)使得機(jī)器人重心落在支撐足各支撐點(diǎn)組成的多邊形內(nèi)。

各支撐支鏈在同一方向的力可操作度示意圖如圖7所示，在滿足式(8)約束條件下，以支撐支鏈在u方向的力可操作度最大為目標(biāo)，求解使得最大的關(guān)節(jié)變量qj。

根據(jù)式(8)得到各關(guān)節(jié)變量qj，便可得到各支鏈位置與矩陣Rj，根據(jù)式(7)求解支撐支鏈的末端支撐力，當(dāng)[F]具有最小范數(shù)解時(shí)，

從而第i條支撐支鏈的關(guān)節(jié)力矩為

圖7 支撐支鏈力可操作度示意圖Fig.7 Schematic diagram of force manipulability of supporting branches

經(jīng)過優(yōu)化得到的支鏈處于力學(xué)性能最佳位置，各關(guān)節(jié)力矩處于最小值，對(duì)于直流電機(jī)而言，靜止條件下功率與力矩成正比，從而機(jī)器人的能耗也更低。

4 動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果

在自協(xié)作模式下，4 條支鏈用于支撐，2 條支鏈用于操作抓取物體，使物體產(chǎn)生一定的加速度，如圖8所示。對(duì)比在引入調(diào)姿算法前后，各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩的變化與機(jī)器人能耗的差異。

機(jī)器人平臺(tái)長(zhǎng)a=200 mm，寬b=100 mm，連桿質(zhì)量m1=m2=m3=1 kg，操作物體質(zhì)量m0=1 kg，各連桿長(zhǎng)度L1=200 mm，L2=200 mm，L3=400 mm，各連桿在自身坐標(biāo)系下的慣性矩陣為：

操作部分的力平衡方程為：

其中：Ft1和Ft2為2 條操作支鏈對(duì)物體的作用力。令2條操作支鏈輸出力相同，則有

圖8 操作過程示意圖Fig.8 Schematic diagram of operating an object

操作過程持續(xù)10 s，初始位置為(0.270,0.406,0.116)，目標(biāo)位置(0.270,0.304,0.218)，被操作物體在x，y和z方向的加速度分別為-1.5，4.0和10.0 m/s2

4.1 未調(diào)姿狀態(tài)下數(shù)值算例

機(jī)器人通過四足或六足行走模式到達(dá)指定位置后，當(dāng)不引入位姿調(diào)整環(huán)節(jié)時(shí)，支撐支鏈以行走過程中腿部支鏈的末狀態(tài)位姿完成操作任務(wù)，此時(shí)，支撐支鏈的各關(guān)節(jié)角度如表3所示。

根據(jù)單支鏈動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果與式(1)，操作支鏈完成給定任務(wù)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心所受到作用力變化如圖9所示。

表3 未經(jīng)調(diào)姿各關(guān)節(jié)角度Table 3 Angle of each joint before orientation adjustment rad

圖9 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心所受作用力Fig.9 Force of platform’s center of mass

根據(jù)式(9)和式(10)可計(jì)算得到未調(diào)整姿態(tài)時(shí)各支鏈關(guān)節(jié)力矩與末端支撐力，其中，各支鏈關(guān)節(jié)力矩變化如圖10所示。

4.2 調(diào)整姿態(tài)后數(shù)值算例

為獲得在機(jī)器人操作過程中支撐支鏈的最優(yōu)力學(xué)性能，在機(jī)器人到達(dá)指定位置后，引入姿態(tài)調(diào)整環(huán)節(jié)。根據(jù)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心所受作用力的方向，確定支撐支鏈的可操作度優(yōu)化方向u。根據(jù)圖10可知，在操作過程中的方向具有時(shí)變性，而u不隨時(shí)間變化，所以，u要根據(jù)時(shí)變的力變化曲線確定差異最小的非時(shí)變方向，這里采用最小二乘法擬合得到方向u=[U1,U1,U3]，如圖11所示。

考慮機(jī)器人自身的幾何約束并確保機(jī)器人重心落在支撐范圍之內(nèi)，確定各支撐支鏈末端位置的約束范圍，如表4所示。

在滿足表4所示的約束條件下，以u(píng)方向的可操作度最大為目標(biāo)，對(duì)各支撐支鏈進(jìn)行位姿調(diào)整，調(diào)整后的各支鏈關(guān)節(jié)角如表5所示。

根據(jù)式(9)和式(10)可計(jì)算得到引入調(diào)整姿態(tài)環(huán)節(jié)后各支鏈關(guān)節(jié)力矩與末端支撐力。各支鏈關(guān)節(jié)力矩變化如圖12所示，其中，τij表示第i條支鏈的第j個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力矩。

圖10 未調(diào)整姿態(tài)時(shí)各支鏈關(guān)節(jié)力矩變化Fig.10 Joint torque variation of each branch before orientation adjustment

表4 支鏈末端位置約束范圍Table 4 Constraints of the end position of the branch mm

圖11 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心所受作用力與支撐方向選擇Fig.11 Force of platform’s center of mass and support direction

表5 調(diào)姿之后各關(guān)節(jié)角Table 5 Angle of each joint after orientation adjustmentrad

4.3 仿真驗(yàn)證與對(duì)比

在V-rep 軟件中對(duì)機(jī)器人操作過程進(jìn)行仿真，驗(yàn)證調(diào)姿前后力矩范數(shù)與機(jī)器人能耗的變化。未引入調(diào)整姿態(tài)環(huán)節(jié)時(shí)機(jī)器人的操作過程如圖13所示。引入調(diào)整姿態(tài)環(huán)節(jié)后機(jī)器人的操作過程如圖14所示。

對(duì)調(diào)整位姿前后機(jī)器人關(guān)節(jié)力矩范數(shù)與能耗進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖15所示。由圖15可見：在完成同樣載荷任務(wù)的情況下，經(jīng)過位姿調(diào)整環(huán)節(jié)后的關(guān)節(jié)力矩范數(shù)下降，機(jī)器人支撐部分的能耗降低63.8%。

圖12 調(diào)整姿態(tài)后各支鏈關(guān)節(jié)力矩變化Fig.12 Joint torque variation of each branch after orientation adjustment

圖13 未引入調(diào)整姿態(tài)環(huán)節(jié)操作過程Fig.13 Operation processes before orientation adjustment

圖14 引入調(diào)整姿態(tài)環(huán)節(jié)后操作過程Fig.14 Operation proceses after orientation adjustment

圖15 支撐部分能耗與各關(guān)節(jié)力矩范數(shù)對(duì)比Fig.15 Energy consumption and torque norm comparison of support part

5 結(jié)論

1) 基于提出的多操作模式輪腿復(fù)合機(jī)器人，利用牛頓-歐拉方法，將操作部分與支撐部分融合，建立了機(jī)器人自協(xié)作操作模式下的完整力學(xué)模型。

2)考慮操作支鏈的動(dòng)力學(xué)影響，以支撐支鏈的靜力學(xué)可操作度橢球?yàn)槟繕?biāo)，提出了一種支撐部分支鏈構(gòu)型與支撐力分布的最優(yōu)配置方法，能夠使得機(jī)器人在最佳位姿完成操作任務(wù)。

3)根據(jù)具體任務(wù)實(shí)例，計(jì)算操作過程中的各支鏈的力矩變化，并在V-rep中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。將力矩理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比，結(jié)果證明了本文動(dòng)力學(xué)模型建立的正確性與分析方法的有效性。