邢博文， 丁徐鍇， 李宏生

(1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096；2.東南大學(xué) 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，江蘇 南京 210096)

0 引 言

硅微陀螺儀是一種非常重要的慣性傳感器件，具有體積小、功耗低、成本低、易于批量生產(chǎn)等突出優(yōu)點[1]。隨著微機(jī)械加工工藝的發(fā)展，微機(jī)電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system,MEMS)陀螺儀在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，例如工業(yè)自動化、慣性導(dǎo)航和汽車電子等[2]。MEMS振動陀螺儀的一種常見的控制方法是自動增益控制(automatic gain control,AGC)。文獻(xiàn)[3]采用自激振蕩結(jié)合AGC的方式實現(xiàn)了陀螺數(shù)字化閉環(huán)驅(qū)動電路。文獻(xiàn)[4]建立了非線性AGC系統(tǒng)模型，并通過相平面法和Routh-Hurwitz準(zhǔn)則對整個回路的穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[5]對自振蕩驅(qū)動方法AGC環(huán)路進(jìn)行了分析。大多數(shù)模型都能夠預(yù)測AGC環(huán)路的穩(wěn)定性，但很少能夠直接指導(dǎo)閉環(huán)回路的設(shè)計。

本文提出了一種基于傳遞函數(shù)包絡(luò)的AGC模型，并通過諧波分析方法對該模型進(jìn)行了進(jìn)一步的線性化。利用該線性化模型以及經(jīng)典頻域分析的方法可以很方便地進(jìn)行控制器的設(shè)計。該線性模型使得控制器設(shè)計過程有了直接的指導(dǎo)并且使得仿真過程更加高效。

1 基于AGC的自激振蕩驅(qū)動模型

MEMS振動陀螺儀驅(qū)動回路主要由硅敏感結(jié)構(gòu)以及驅(qū)動和驅(qū)動檢測電路組成。本文采用的陀螺結(jié)構(gòu)為梳齒驅(qū)動結(jié)構(gòu)，驅(qū)動電容器將加載到電容器極板的電壓轉(zhuǎn)換成靜電力；驅(qū)動檢測電容器將質(zhì)量塊的位移轉(zhuǎn)變成電容的變化。忽略非理想因素，整個系統(tǒng)可以由圖1和式(1)～式(5)進(jìn)行描述[6]

圖1 自激振蕩驅(qū)動回路框圖

(1)

(2)

(3)

e=R-y

(4)

(5)

式中x為質(zhì)量塊沿驅(qū)動軸的位移，ωnx為驅(qū)動模態(tài)的固有頻率，Qx為品質(zhì)因數(shù)，f為驅(qū)動力，mx為驅(qū)動模態(tài)的有效質(zhì)量，Kvf為電壓轉(zhuǎn)化為靜電力的系數(shù)，Kpre，Kd，Ki以及T分別是前置放大器的放大倍數(shù)、移相器的增益、積分器的增益和低通濾波器的時間常數(shù)。

2 模型簡化和線性化

2.1 模型簡化

為了分析在一定驅(qū)動電壓下位移包絡(luò)的瞬態(tài)行為，假設(shè)

f(t)=p(t)·sinωdt

(6)

式中p(t)=P·u(t)，P為一個常數(shù)，u(t)為一個單位階躍函數(shù)，移相器保證ωd=ωnx。將式(6)代入式(1)，考慮到Qx的值很大，所以，位移的包絡(luò)可以近似化簡為

(7)

則在驅(qū)動力的頻率與諧振頻率相同的前提下，驅(qū)動力振幅到驅(qū)動位移振幅的傳遞函數(shù)可以寫為

(8)

在包絡(luò)變化頻率比信號頻率慢得多的情況下，移相器輸入輸出信號包絡(luò)之間的傳遞函數(shù)為KpsKdωnx。全波整流環(huán)節(jié)將信號的幅值以2/π的增益提取為一個與之相關(guān)的直流量。于是由一個純積分器控制的AGC環(huán)路的自激振蕩回路可以表示為方程(9)～式(11)，如圖2所示。

圖2 簡化的自激振蕩驅(qū)動回路框圖

(9)

(10)

(11)

式中K3為Kvf·Kpre·Kps,a(t)為位移x的包絡(luò)。

2.2 模型線性化

簡化后非線性系統(tǒng)的唯一平衡點可以通過令式(9)～式(11)右邊全為零得到

在非線性系統(tǒng)平衡點附近的一個小鄰域內(nèi)，考慮非線性部分是在一個小周期信號驅(qū)動下的，則c(t)和a(t)可以表示為

c(t)=c0+Δc(t)

(12)

Δc(t)=Acos(ωt)

(13)

a(t)=a0+Δa(t)

(14)

(15)

將式(14)和式(15)兩邊對時間求導(dǎo)并代入式(9)可得

(16)

其中第一個式子反映幅頻關(guān)系，第二個式子反映相頻關(guān)系。

忽略高次諧波，可以得到

(17)

則從Δc(t)到Δa(t)的傳遞函數(shù)G(s)可以由式(17)和式(13)相比得到

(18)

通過將非線性的部分線性化，圖2所示的模型簡化為如圖3所示。

圖3 驅(qū)動回路平衡點附近線性化框圖

3 控制器設(shè)計

仿真中使用到的MEMS振動陀螺儀的物理參數(shù)：Kvf·Kpre/mx為27 140.6 N/V·m·kg，ωnx為20 664.2 rad/s，Qx為5 641，Kd為1.17×10-4，T為3×10-3s。

圖3中描述的線性系統(tǒng)除了控制器之外的開環(huán)波特圖如圖4所示。由圖可知，即使在非常低的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)的開環(huán)增益也很小，這意味著如果沒有合適的控制器，穩(wěn)態(tài)誤差將會很大。因為穩(wěn)態(tài)誤差總是存在的，故引入一個積分器來提高系統(tǒng)的跟蹤性能和抗干擾能力。但是純粹的積分器會因其90°的相位延遲而使環(huán)路不穩(wěn)定，故還需一個相位超前補(bǔ)償環(huán)節(jié)以在增益穿越頻率處獲得足夠的相位裕度。

圖4 不包含控制器的線性系統(tǒng)開環(huán)波特圖

最簡單的相位超前補(bǔ)償?shù)姆e分控制器的傳遞函數(shù)為

(19)

式中z為一個零點，p為一個極點，z

φc=arctan(ω/z)-arctan(ω/p)

(20)

對ω求導(dǎo)并令其為零，得最大超前角頻率

(21)

將式(21)代入式(20)可以得到最大超前角

φcm=arctanλ-arctan(1/λ)

(22)

考慮到Kvf的有限性，增益穿越頻率ωc可以根據(jù)經(jīng)驗設(shè)定在40 rad/s左右。較大的穿越頻率通常意味著需要補(bǔ)償更多的相位，這也是不切實際的。假設(shè)相位裕度不少于60°，且在該條件下閉環(huán)階躍響應(yīng)的超調(diào)是可以接受的，此時零極點對至少應(yīng)該提供66.9°的相位超前，即λ=4.9。結(jié)合式(19)和式(21)，可以獲得控制器的參數(shù)

Ki=4 945;z=8.2;p=195.2

(23)

圖5是以式(23)為控制器參數(shù)的系統(tǒng)開環(huán)波特圖。增益穿越頻率、相位裕度和幅值裕度分別約為40 rad/s，60°和21.9 dB。

4 仿真與實驗

4.1 仿 真

在MATLAB的SIMULINK仿真系統(tǒng)中分別建立圖1所示的非線性控制系統(tǒng)模型以及圖3所示線性化的控制系統(tǒng)模型，模型相關(guān)參數(shù)同第3章所述，控制器參數(shù)如式(23)所示。設(shè)定參考值R為0.5，系統(tǒng)運行穩(wěn)定后將一個幅值為1的階躍信號加載到參考信號處，線性化前后系統(tǒng)響應(yīng)曲線分別在圖6中示出。

從圖6中可以看出，原始的非線性模階躍響應(yīng)的包絡(luò)與線性化模型的階躍響應(yīng)曲線非常相近，盡管存在一些差異，但是線性化模型足以預(yù)測原系統(tǒng)的動態(tài)行為，即利用該線性模型進(jìn)行控制器設(shè)計的方法是可行的。

4.2 實 驗

為了進(jìn)一步驗證該線性化過程以及控制器設(shè)計方法的正確性，在平衡點處進(jìn)行了階躍響應(yīng)實驗。

實驗用的陀螺儀是本課題組自主研制的全解耦雙質(zhì)量線振動硅微陀螺儀[8]，陀螺儀及其PCB電路如圖7所示。

圖7 真空封裝陀螺儀及其驅(qū)動電路實物

控制電路的原理圖在圖1中示出，其中補(bǔ)償控制器部分的電路如圖8所示。

圖8 補(bǔ)償控制器電路

該部分電路的傳遞函數(shù)為

(24)

取

R=100 kΩ;C=2 nF;R1=600 kΩ;

R2=30 kΩ;C1=0.2 μF

(25)

則Ki=5 000;z=8.3;p=175，該組參數(shù)和式(23)給出的參數(shù)非常接近。

使陀螺在參考值R為0.5，控制器參數(shù)如式(25)所示的狀態(tài)下工作，穩(wěn)定后加載一個幅值為1的階躍信號，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖9，可見AGC回路經(jīng)過890 ms達(dá)到穩(wěn)定，與圖6中的仿真結(jié)果相一致。

圖9 實際陀螺系統(tǒng)AGC回路平衡點處階躍響應(yīng)處階躍響應(yīng)

為了驗證在該控制器控制下系統(tǒng)的環(huán)境適應(yīng)性，分別進(jìn)行了常溫和全溫測試。

將陀螺控制系統(tǒng)置于常溫下，對位移信號振動幅度的穩(wěn)定性進(jìn)行測試，圖10(a)，截掉前20 min，計算得振幅的標(biāo)準(zhǔn)差為8.5×10-3mV。振幅在前20 min內(nèi)迅速上升了約0.2 mV，之后在1.115 32 V上下輕微波動。這里0.2 mV的下降主要是由非理想整流器的溫度特性引入的。

在-40～60 ℃的全溫范圍內(nèi)，對陀螺儀驅(qū)動回路的性能進(jìn)行了測試[9]，結(jié)果如圖10(b)所示。

圖10 常溫和全文下測試結(jié)果

由圖10可以看到位移信號的振幅始終保持在一個相對穩(wěn)定的范圍內(nèi)，在100℃的溫度范圍內(nèi)變化約1 mV，計算可得全溫范圍內(nèi)振幅的相對穩(wěn)定性為9×10-6/℃。

5 結(jié) 論

本文針對MEMS振動陀螺儀驅(qū)動回路的AGC環(huán)路建立了其線性化的模型并利用該線性化模型進(jìn)行了控制器的設(shè)計。在SIMULINK環(huán)境下進(jìn)行了AGC環(huán)路的仿真，并設(shè)計了實際電路進(jìn)行實驗驗證。實驗結(jié)果表明:AGC環(huán)路平衡點出階躍響應(yīng)建立時間為890 ms，與仿真的860 ms基本一致；室溫下截掉前20 min后振幅的標(biāo)準(zhǔn)差為8.5×10-3mV；全溫度范圍內(nèi)，振幅相對穩(wěn)定性為9×10-6/℃。因此，所提出的MEMS振動陀螺儀AGC回路線性化過程以及控制器的設(shè)計方法是有效的，且該控制器具備一定的環(huán)境適應(yīng)性。