祝強　李少康　王建華

摘要：多頭、大螺旋升角漸開線造型（ZI）滾刀進行刃口齒形測量時存在干涉，從ZI造型滾刀刃口齒形測量特點出發(fā)，分析軸截面截形和基圓切平面截形之間的位置關系，給出干涉產生的原因，推導干涉判定條件。針對原測量算法缺陷，提出刃口齒形T向測量算法，通過變換測量截面，算法限定測頭的測量深度，有效解決大升角ZI造型滾刀刃口齒形測量的干涉問題。經算法整合，滾刀測量軟件可實現刃口齒形測量干涉的預判，實現測量策略自適應選擇。實際測試證明：刃口齒形T向測量算法能夠順利完成大升角漸開線造型滾刀刃口齒形的測量，與原測量算法比較，測量結果正確。

關鍵詞：滾刀;漸開線;刃口齒形;大升角

中圖分類號：TN274.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）08-0008-06

收稿日期：2018-09-23;收到修改稿日期：2018-10-13

基金項目：國家自然科學基金（51475351）;陜西省教育廳重點實驗室研究計劃（17JS057）;西安工業(yè)大學校長基金項目（XAGDXJJ1006）

作者簡介：祝強（1972-），男，湖北襄陽市人，副教授，博士，主要研究方向為精密測量與控制技術。

0 引言

滾刀是一種應用廣泛的齒輪或蝸輪切削刀具，加工效率高。按加工對象不同，一般可分為齒輪滾刀和蝸輪滾刀兩大類。為了獲得理想的漸開線齒形，消除造型誤差，高精度滾刀一般采用漸開線蝸桿作為其基本蝸桿[1-2]，稱為漸開線（ZI）造型滾刀。

齒形是滾刀制造精度的一項重要指標，含刃口齒形和側鏟面齒形[3]兩種，國家標準GB/T 6084-2016規(guī)范了滾刀齒形的精度等級[4]。側鏟面齒形是指滾刀鏟背面上平行于刃口的齒側形貌，體現了滾刀的重磨性能。刃口齒形是指滾刀前刃面與側鏟面的交線，是滾刀的實際切削刃，理論上滾刀刃口齒形位于其基本蝸桿上。刃口齒形誤差反映了滾刀實際切削刃偏離其基本蝸桿的程度，直接影響滾刀切削對象，如齒輪或蝸輪的齒面形貌[5-7]。

從切削效率考慮，滾刀頭數越多，其切削效率越高，但加工難度也越大。隨著近年來國內制造能力的提升，滾刀設計頭數不斷增加，可達到6頭、8頭甚至更多。在其他基本參數不變時，滾刀頭數增加勢必帶來螺旋升角和導程的增大。由于ZI造型滾刀刃口齒形的測量截面位于其基圓柱切平面內，刃口齒形測量時大螺旋升角會造成測頭與被測齒面或其對應齒面之間發(fā)生干涉，導致刃口齒形測量無法完成。

本文論述了ZI造型滾刀刃口齒形的測量原理，分析了多頭、大升角ZI造型滾刀刃口齒形測量干涉產生的原因，給出干涉判斷公式，并提出了ZI造型滾刀刃口齒形T向測量算法，有效規(guī)避干涉的產生。

1 ZI造型滾刀刃口齒形R向測量算法

漸開線蝸桿和阿基米德蝸桿均屬于線性蝸桿，區(qū)別在于兩者螺旋面的發(fā)生線（直母線）不一樣。阿基米德螺旋面的直母線穿過其回轉軸線，直母線即為軸截形。因此，阿基米德造型滾刀的齒形測量均在其軸截面內進行。漸開螺旋面的端截形為漸開線，軸截形為空間曲線，其直母線為基圓柱切平面與漸開螺旋面的交線[8-10]。從測量精度、測量可行性考慮，ZI造型滾刀的刃口齒形測量都是在漸開螺旋面的基圓柱切平面內進行。

圖1為刃口齒形測量原理示意圖，以右旋ZI造型滾刀為例，從滾刀端平面俯視，稱橫軸稱為T軸，縱軸為R軸。圖中r_b為基圓半徑，r_s為齒形測量起始圓半徑，r_u為齒頂圓半徑，P_f為刃口齒形的起測點，P_u為刃口齒形的終測點。目前，國內外的CNC齒輪測量中心均采用3個直線軸與回轉軸實現空間運動[11-12]，測頭機構平行于R軸放置。刃口齒形測量過程如下：

1）根據ZI造型滾刀基本參數，計算基圓半徑、導程L、起測點P_f坐標、基圓螺旋升角Y等測量參數;

2）驅動測頭運動至基圓偏置位置，即T=±r_b，符號由被測齒面及滾刀旋向決定;

3）根據被測刃口坐標，調整Z軸和回轉軸，驅動測頭沿R軸進入齒槽被測齒面起測點;

4）驅動測頭觸壓齒面，保證接觸良好;

5）Z軸和回轉軸聯動，使得測頭按鏟背面導程運動，直至測頭脫離齒面，采樣、計算刃口點坐標值;

6）根據下一個刃口測量點坐標，調整測頭位置，重復上述步驟，直至所有刃口被測點測量結束;

7）計算刃口齒形誤差，評價、繪圖。

上述刃口齒形測量方法適用于螺旋升角較小的ZI造型滾刀，而進行多頭、大升角ZI造型滾刀刃口齒形測量時，會發(fā)生測頭無法沿基圓切平面P_uP_f進入起測點的情況，測頭機構與同齒槽另一齒面發(fā)生干涉。

2 干涉產生原因及判定條件

直觀上，ZI造型滾刀刃口齒形測量時發(fā)生的干涉問題是由于滾刀升角過大引起的。如圖1所示，被測刃口齒形為P_fP_u段，P_afP_au段為軸截形。軸截形與刃口齒形的位置關系可以表述為，起測點P_f是由軸截形P_af點旋轉θ₁獲得，終測點P_u是由P_au點旋轉θ₂獲得。即使該滾刀在軸截面處不存在干涉情況，但無法確認在基圓切平面位置測量刃口齒形是否會發(fā)生干涉。因此，需要給出明確的干涉判定條件，在測量前對干涉情況進行預判。

為了推導干涉判定公式，圖2以右旋ZI造型滾刀下（左）齒面刃口齒形測量為例，給出刃口齒形測量干涉分析示意圖。圖中，點d₁為該齒槽下齒面分度圓與軸截面的交點，點“偽同齒槽上齒面分度圓與軸截面的交點。從滾刀端面俯視，d₁點u₁點重合。點P_df為該齒槽下齒面測量起始圓柱與軸截面的交點，點P_uu為同齒槽上齒面齒頂圓柱與軸截面的交點。主軸逆時針旋轉為正。在滾刀分度圓圓柱上，其齒槽與齒紋寬度相等。令滾刀頭數為Z₀，分度圓上的齒槽寬度為d_cc，d_cc即為點d₁與點u₁之間的軸向距離，可按下式計算：式中，m_a為滾刀軸向模數。如前所述，ZI造型滾刀的軸截形為空間曲線，無法給出軸截形的具體解析表達形式。因此，通過軸截面上d₁點u₁點不能直接計算點P_df與齒頂圓點P_uu之間的軸向距離dis_a。圖2給出了軸向距離dis_a的計算方法，步驟如下：

1）下齒面點d₁與點P_df間的軸向距離dis_a1

下齒面分度圓點d₁順時針旋轉θ_d1角度至基圓切平面點d₂，令軸向變化量為dis₁，按下式計算：

在基圓切平面上，ZI造型滾刀的截形為直線。按基圓螺旋升角γ計算點d₂與點P_f之間的軸向變化量，令該值為dis₂，按下式計算：

dis₂=d_f·tan（γ）

最后，再將基圓切平面上起測點P_f逆時針旋轉θ_d2角度，至軸截面對應起測點P_df。令該過程中的軸向變化量為dis₃，按下式計算：

θ₂=asin（r_b/r_s）

因此，在軸截面上，分度圓點d₁與起測圓點P_df之間軸向距離為

dis_a1=dis₁+dis₂+dis₃（5）

2）同齒槽上齒面點u₁與點P_uu間的軸向距離dis_a2

軸向距離dis_a2的計算過程同dis_a1相似，首先將上齒面點u₁逆時針旋轉θ_u2角度至基圓切平面點u₂，令兩點間的軸向變化量為dis₄，按下式計算：

右旋漸開螺旋面上齒面的發(fā)生線在u₂P_u1位置，令點u₂與點P_u1之間的軸向變化量為dis₅，按下式計算：

再將齒頂點P_u1順時針旋轉θ_u1角度至軸截面對應齒頂點P_uu。令這兩點的軸向變化量為dis₆，按下式計算：

在軸截形上，上齒面分度圓點u₁與點P_uu之間的軸向距離dis_a2為

dis_a2=dis₄+dis₅+dis₆（9）

由上述兩步計算過程，以及分度圓上的齒槽寬度d_cc，可以求得軸截形下齒面起測點P_df與同齒槽上齒面齒頂點P_uu之間的軸向距離dis_a為

dis_a=d_cc+dis_a1+dis_a2（10）

3）基圓切平面處點Pf與點Put之間的軸向距離d_L

上述計算獲得了軸截形下齒面起測點與同齒槽上齒面齒頂點之間的軸向距離，將這兩點按導程分別旋轉到基圓切平面處，并計算兩者的軸向變化，即可獲得基圓切平面處點P_f與點P_u2之間的軸向距離d_R。

d_R=dis_a+（θ_d1-θ_d2）·L（11）

表1給出了5種右旋zi造型滾刀的基本參數，β為螺旋升角，5種滾刀的法向壓力角均為20°，Z₀為滾刀頭數。按式（10）、式（11）分別計算得到該滾刀軸截面處與基圓切平面上的左齒面起測點與同齒槽右齒面齒頂點之間的軸向距離，根據軸向距離與測球直徑、測桿直徑可以直接判定干涉是否存在。實際測量時，為了避免誤判測針與齒面之間的接觸狀態(tài)，測針中進入齒槽測量起點的過程中不能與齒面發(fā)生觸碰，通常會根據滾刀模數或測球直徑大小留出一定的余量。因此，表1給出的軸向距離d_R為極限值，進行干涉判斷時應在d_R上加上一個測球直徑，如果此時測球直徑或測桿直徑（進入齒槽部分）大于該值，則刃口齒形測量將無法完成，干涉發(fā)生。從表1數據來看，如果采用2mm直徑的測球進行測量，1號、2號滾刀的刃口齒形可以正常測量，而3、4、5號滾刀則測量刃口齒形時將會發(fā)生干涉，這3種滾刀均具有頭數多、升角大的特點。

3 刃口齒形T向測量算法

為解決多頭、大升角ZI造型滾刀刃口齒形測量干涉問題，本文提出一種刃口齒形的T向測量算法。該算法根據漸開螺旋面發(fā)生線的性質，切換刃口齒形的測量位置，改進測量路徑，解決大升角ZI造型滾刀刃口齒形測量的難題。

分析ZI造型滾刀刃口齒形干涉發(fā)生原因可知，由于頭數較多，該類滾刀刃口齒形的起測圓半徑r_s與其基圓半徑相差不大。當采用R向測量時，升角越大，起測點R坐標越小，這意味著測頭要進入起測點需要沿R軸運動較長的距離。如表1中的4號滾刀，其起測點的R向坐標值為

而齒頂處的R向坐標值為

起測點的R向坐標值已經遠小于其基圓半徑值。以右旋滾刀左（下）齒面為例，由于齒面壓力角的存在，起測點越遠離齒頂，其Z值越低，與同齒槽另一齒面齒頂間的軸向距離越小，干涉發(fā)生的可能性越大。

T向測量算法的設計思路就是限制刃口齒形測量時測頭在進入齒槽的深度，將R軸的測頭運動轉換到T軸上。如圖3所示，T向測量算法的基圓切平面刃口齒形轉換到P_f1P_u1位置，此時測量截面平行于T軸，故稱為刃口齒形T向測量算法。T向測量算法保證了所有測量點R軸等于基圓半徑r_b，測頭進入起測點P_f1時沿R軸的運動距離為DP_f1，有效消除了大升角ZI造型滾刀刃口齒形測量時干涉的發(fā)生。由圖3可知，干涉由起測點P_f1與同齒槽另一齒面的齒頂點D之間的軸向距離d_T進行判斷。在軸截形位置起測點E與同齒槽上齒面齒頂點C之間的軸向距離dis_a可由式（10）計算，在此基礎上，將起測點逆時針旋轉θ₄角度至點P_f1，同齒槽上齒面齒頂點C旋轉θ₃角度至點D。T向測量算法起測位置的軸向距離d_T可按下式計算：

按式（12）計算表1中5種滾刀采用T向測量算法時的軸向距離d_T，如表2所示，表中各符號含義如前所述。

從表2數據可知，對于螺旋升角較小的ZI造型滾刀，R向測量的起測點軸向距離d_R要大于T向測量的起測點軸向距離d_T，該情況宜采用R向測量算法。而對于具有大螺旋升角的ZI造型滾刀，R向測量起測點的軸向距離d_R小于T向測量起測點軸向距離d_T，此時采用T向測量算法更優(yōu)。

從算法自適性考慮，在測量之前，根據滾刀基本參數，以R向或T向基圓切平面處起測點的R向或T向坐標h與基圓半徑的關系來自動選取適合的測量算法。

算法選擇按下式進行，規(guī)避干涉的發(fā)生：

h≤r_bT向測量算法

h>r_bR向測量算法（14）

4 實例驗證

從刃口齒形T向測量算法可以得出，該測量算法可以有效的規(guī)避干涉現象的發(fā)生。從表2可知，2號ZI造型滾刀在R向測量截面和T向測量截面均不存在干涉，可以對該滾刀同一頭的左、右側齒面分別采用刃口齒形R向測量和T向測量對進行刃口齒形測量，比對兩種算法的測量結果，以此來驗證新算法測量結果的正確性。2號滾刀的工件參數與測量參數見表1，測量設備采用GD260型齒輪測量中心，測量不確定度1μm，測針選用直徑為2mm的紅寶石測球。

圖4與圖5為采用兩種測量方法進行的刃口齒形測量結果對比，其中圖4給出了刃口齒形測量點數為10點的誤差曲線，圖5給出了刃口齒形測量點數為30點的誤差曲線，測量長度和范圍相同，測量起始圓半徑為33.997mm，測量終止圓半徑為43.497mm。表3為兩種測量算法的測量誤差值，表中符號δ_ff為刃口齒形綜合誤差，δ_ffa為形狀誤差，δ_fha為斜率誤差，L表示測量齒面為左齒面，R為右齒面。從測得的誤差曲線以及誤差值可以看出，刃口齒形R向測量算法的測量結果與T向算法一致，綜合誤差δ_ff相差最大1.6μm。除測量設備不確定的影響外，兩種測量方式的測量截面位置不同會帶來測球與齒面接觸狀態(tài)存在微小差異，造成實際測量刃口位置不同，即兩種測量誤差曲線都體現了滾刀的實際加工質量，但測量點并不完全一致。從刃口齒形30點測量結果的對比可以看出，兩種算法的測量結果更為接近，說明刃口齒形測量點越多，反映的齒形形貌越完整，相鄰測量點間的差異越小。分析測量結果誤差曲線可知，該滾刀左齒面刃口齒形的加工一致性較好，測量結果受測量位置的影響較小，而右齒面刃口的一致性則較差，測量位置的微小變化雖然不影響該滾刀的評定精度等級，但對其刃口齒形的形狀誤差有一定的影響。

5 結束語

本文從多頭、大螺旋升角ZI造型滾刀刃口齒形的特點出發(fā)，分析了刃口齒形測量存在干涉的原因，推導了干涉判定方法。針對通用的R向基圓切平面刃口齒形測量算法存在的缺陷，提出了T向基圓切平面刃口齒形測量算法，該算法可以有效規(guī)避大升角ZI造型滾刀刃口齒形測量干涉的發(fā)生。通過算法整合，滾刀測量軟件可以在刃口齒形測量前完成干涉判斷，并自動選擇合理的測量策略。經現場實際測試，證明了刃口齒形T向測量算法在測量準確性上與原測量方法一致，算法具有較強的實用性。

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（編輯：劉楊）