徐孫慶，耿俊豹，魏曙寰，韋可佳

（1.解放軍92493 部隊(duì)60 分隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125000；2.海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

Dempster［1-2］于1967 年提出的D-S 證據(jù)組合理論是比較有力的理論工具，它處理不確定信息融合的能力很強(qiáng)，可以處理由不知道所引起的不確定性。目前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于圖像處理、故障診斷、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、技術(shù)狀態(tài)評(píng)估、模式分類等領(lǐng)域。

D-S 證據(jù)理論的核心是證據(jù)合成規(guī)則［3］。但是在某些領(lǐng)域，特別是證據(jù)沖突時(shí)，合成過程的正則化處理會(huì)產(chǎn)生與直覺相反的結(jié)果，合成規(guī)則失效［4］。自從Zadeh［5］發(fā)表文章指出沖突悖論問題后，證據(jù)沖突一直是研究熱點(diǎn)。目前，主要從兩個(gè)方面對(duì)D-S 證據(jù)理論進(jìn)行改進(jìn)。一方面是對(duì)組合規(guī)則進(jìn)行修改，這方面解決的主要是如何分配沖突的問題，包括以什么比例將沖突分配給哪些子集的問題［6］。文獻(xiàn)［7］提出利用統(tǒng)一信度函數(shù)模型將全局沖突進(jìn)行再分配。文獻(xiàn)［8］則是提出基于局部沖突及沖突焦元間分配的方法。這些改進(jìn)方法都是基于識(shí)別框架是封閉、完整的情況；倘若識(shí)別框架不完整時(shí)，便無法有效地處理證據(jù)沖突［9］。文獻(xiàn)［10］認(rèn)為得到一個(gè)有窮而且完備的識(shí)別框架在實(shí)際中不可能，因此，提出了開放識(shí)別框架的概念，利用可傳遞置信模型，將沖突分配給空集。另一方面是對(duì)證據(jù)源進(jìn)行修改。這種改進(jìn)方法的思路也主要有加權(quán)平均和證據(jù)折扣兩種方法［11］。文獻(xiàn)［12］提出將證據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的平均修改模型就是屬于比較經(jīng)典的加權(quán)平均法，但是這種方法沒有考慮到證據(jù)間的相關(guān)性。為了對(duì)證據(jù)相關(guān)性進(jìn)行衡量，文獻(xiàn)［13］提出了證據(jù)間距離函數(shù)的概念。文獻(xiàn)［14］進(jìn)一步闡述了證據(jù)的不確定性，將其在合成過程中加以考慮來確定權(quán)重，但沒有對(duì)Dempster 規(guī)則進(jìn)行進(jìn)一步修正。

沖突證據(jù)的融合是一個(gè)亟待解決的問題，但是迄今為止還沒有一個(gè)能夠被學(xué)術(shù)界廣泛接受的改進(jìn)方法，現(xiàn)有的改進(jìn)方法都或多或少地存在一些不足。針對(duì)目前改進(jìn)方案的不足，為了使其具有更快的收斂性和精確性，本文利用Pignistic 概率距離衡量證據(jù)間的沖突程度；其次，為了更加高效地利用證據(jù)的全局信息，引進(jìn)證據(jù)間相似度、支持度、確定度、決策度以及可信度來共同確定證據(jù)的權(quán)重，合理地分配沖突在各命題的比例；再次，對(duì)存在沖突的證據(jù)進(jìn)行修正處理。最后，再利用統(tǒng)一信度函數(shù)模型對(duì)證據(jù)進(jìn)行合成。

1 D-S 證據(jù)理論及不足

1.1 D-S 證據(jù)合成方法

設(shè)E1，E2是給定識(shí)別框架Θ 上的兩個(gè)證據(jù)，m1，m2分別表示E1，E2的基本可信度分配，焦元分別為A1，…，Ai和B1，…，Bj，設(shè)

則，其合成規(guī)則為：

1.2 合成證據(jù)沖突問題

當(dāng)證據(jù)存在沖突時(shí)，利用D-S 合成規(guī)則將無法很好地對(duì)證據(jù)進(jìn)行融合，甚至?xí)茖?dǎo)出與實(shí)際相矛盾的結(jié)果。

例1 假設(shè)識(shí)別框架Θ={A，B，C}，給定的兩個(gè)證據(jù)為：

根據(jù)合成規(guī)則，組合過程如表1 所示。

表1 D-S 組合規(guī)則運(yùn)算表格

計(jì)算可得K=0.09+0.81+0.09=0.99，證據(jù)m1，m2高度沖突，分別支持A 和B，但合成結(jié)果為m（A）=（0）/（1-K）=0；m（B）=（0）/（1-K）=0；m（C）=（0.001）/（1-K）=1。融合后支持C，與常理不相符合，證據(jù)融合失效。

例2 假設(shè)識(shí)別框架Θ={A，B}，給定的兩個(gè)證據(jù)為：

根據(jù)組合規(guī)則得K=1*1+0*0=1，證據(jù)完全沖突，無法利用經(jīng)典組合規(guī)則進(jìn)行證據(jù)融合。

2 典型的改進(jìn)方法

目前對(duì)D-S 證據(jù)理論的改進(jìn)主要有兩個(gè)思路，一個(gè)是從證據(jù)源模型進(jìn)行改進(jìn)，其代表方法是Yager 法。另一個(gè)是從合成規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，其代表方法是Murphy 法。

2.1 Yager 法

Yager 認(rèn)為證據(jù)融合失效是由于組合規(guī)則的不足引起的，因此，假設(shè)識(shí)別框架是封閉的，將沖突部分全部分配給未知，其組合公式如下：

2.2 Murphy 法

Murphy 提出改進(jìn)原始證據(jù)的方法以彌補(bǔ)D-S證據(jù)組合規(guī)則的不足。首先求出所有證據(jù)的基本概率分配值的算術(shù)平均，然后利用經(jīng)典的D-S 組合規(guī)則進(jìn)行n-1 次融合。該方法的計(jì)算過程如下：

3 一種新的證據(jù)合成方法

3.1 Pignistic 概率距離

目前用來表征證據(jù)沖突大小的主要有Pignistic概率距離、沖突率、Jousselme 距離、相關(guān)系數(shù)、相容系數(shù)等。根據(jù)文獻(xiàn)［15］研究，Pignistic 概率距離在表征沖突方面更加優(yōu)勢(shì)，因此，本文選用Pignistic 概率距離表示證據(jù)沖突。

設(shè)m1，m2是同一識(shí)別框架Θ 下的兩個(gè)基本可信函數(shù)，用BetPm1，BetPm2分別表示它們的Pignistic概率函數(shù)。則它們的Pignistic 概率距離如下：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，采用文獻(xiàn)［16］公式進(jìn)行計(jì)算：

相似度是與距離相反的概念，根據(jù)文獻(xiàn)［13］定義，m1，m2的相似度表示為：

3.2 證據(jù)權(quán)重的確定

1）支持度

第i 個(gè)證據(jù)的支持度SD（i）定義為：

2）確定度

第i 個(gè)證據(jù)的確定度CD（i）定義為：

3）決策度

第i 個(gè)證據(jù)的決策度DD（i）定義為：

4）可信度

第i 個(gè)證據(jù)的可信度CRD（i）定義為：

記第i 個(gè)證據(jù)的權(quán)重為w（i），則第i 個(gè)證據(jù)的權(quán)重可以通過對(duì)可信度CRD（i）的正則化處理得到，為：

3.3 沖突證據(jù)的修正

通常情況下，當(dāng)證據(jù)可靠時(shí)，各證據(jù)的權(quán)重相差不大，因此，可以利用上節(jié)得到的證據(jù)權(quán)重判斷沖突證據(jù)。假設(shè)有l(wèi) 條證據(jù)，則這些證據(jù)的平均權(quán)重為w=1/l。若證據(jù)的權(quán)重w≥1/l，則認(rèn)為該證據(jù)可靠；若證據(jù)的權(quán)重w＜1/l，則認(rèn)為該證據(jù)不可靠，判定為沖突證據(jù)。利用折扣系數(shù)對(duì)沖突證據(jù)進(jìn)行修正。

記第i 個(gè)證據(jù)的折扣系數(shù)為β（i），β（i）值如式（14）：

利用折扣系數(shù)，對(duì)沖突證據(jù)做如下修正：

3.4 證據(jù)合成新公式

根據(jù)文獻(xiàn)［7］提出的統(tǒng)一信度函數(shù)組合模型，有：

4 算例分析

為了驗(yàn)證本文所提的改進(jìn)方法的有效性及優(yōu)越性，采用算例與傳統(tǒng)D-S 方法、Yager 方法、Murphy 方法進(jìn)行對(duì)比計(jì)算。

例3 設(shè)識(shí)別框架為Θ={A，B，C}，給定的5 條證據(jù)如下頁表2 所示。根據(jù)上節(jié)所述求解過程，確定權(quán)重所需的各參數(shù)值如表3 所示。

不難看出，第3 條證據(jù)高度支持B，和其他證據(jù)相沖突。根據(jù)表3 計(jì)算得，第3 證據(jù)的權(quán)重w（3）=0.15 小于平均權(quán)重=1/l=0.2，屬于沖突證據(jù)，需進(jìn)行修正，與實(shí)際情況相符合。修正系數(shù)為β（3）=w（3）/=0.75，修正后的證據(jù)3 為：

?

表2 識(shí)別框架下的5 條證據(jù)

根據(jù)所提出的證據(jù)合成方法進(jìn)行證據(jù)融合對(duì)比計(jì)算，融合結(jié)果如表4 所示。

表3 各參數(shù)值

表4 4 種方法的融合結(jié)果對(duì)比

從表4 可以看出，當(dāng)合成過程包含沖突證據(jù)3時(shí)，經(jīng)典D-S 方法無法有效融合證據(jù)。即使大部分證據(jù)支持A，但是由于沖突證據(jù)3 的存在，導(dǎo)致融合結(jié)果顯示為支持B，與實(shí)際情況不相符合。同樣地，Yager 法在融合沖突證據(jù)3 時(shí)也是支持B，直接判定m（A）=0，不能很好地處理沖突證據(jù)。隨著后續(xù)證據(jù)的加入，m（A）值有所增大，但仍不能夠很好判斷出正確命題，而是將概率值分配給未知，增加了不確定性，未能判定出正確命題，融合結(jié)果過于保守。Murphy 法在處理證據(jù)3 時(shí)也出現(xiàn)了錯(cuò)誤，以較大的概率值支持B，雖然后續(xù)能夠較好地處理證據(jù)沖突，能夠正確地判斷命題，但概率值較低，一直到第5 個(gè)證據(jù)的加入才能較為明確地判定出正確命題。而本文的方法能夠迅速得到正確的結(jié)果，即使在出現(xiàn)沖突證據(jù)3 時(shí)，仍能夠以較大的概率值判定出正確命題。本文方法在有效地利用證據(jù)的支持度、可信度、決策度的基礎(chǔ)上，能夠更好地利用證據(jù)的全局信息，能夠以更大把握選出正確命題。

為了更加直觀地感受各組合方法的融合效果，各方法m（A）的融合結(jié)果如圖1 所示。

圖1 m（A）融合結(jié)果

從圖中能夠直觀地看出，經(jīng)典D-S 法失效，不能正確融合證據(jù)；Yager 法、Murphy 在融合證據(jù)3 時(shí)也均出現(xiàn)了錯(cuò)誤；本文方法在合成證據(jù)3 時(shí)仍能夠正確判斷出正確命題，魯棒性好，且在合成所有證據(jù)后以最高的概率值判斷出正確命題。

5 結(jié)論

為了更好地解決D-S 沖突證據(jù)的融合問題，本文提出了一種改進(jìn)的D-S 沖突證據(jù)組合方法。首先引進(jìn)Pignistic 概率函數(shù)判定證據(jù)的沖突程度，并得到證據(jù)間的相似度；其次，引進(jìn)證據(jù)間的支持度、確定度、決策度和可信度4 個(gè)參量來共同決定各證據(jù)的權(quán)重，以便能夠更好地利用證據(jù)的全局信息。最后，通過算例與經(jīng)典D-S 組合法、Yager 法和Murphy法進(jìn)行對(duì)比分析，證明本文方法的有效性和可行性。

本文的方法對(duì)于多焦元命題的合成效果較好，對(duì)于單子集命題的合成結(jié)果較為保守，且默認(rèn)識(shí)別框架是完整的，這些問題有待進(jìn)一步研究。