安徽

陳曉明

(作者單位：安徽省寧國中學)

本文所討論的試題是筆者所在學校(省級示范高中)高一的一道數(shù)學周考試題，是關于直線方程的解答題，此題得分率很低，于是在試卷講評課上筆者帶領學生對該題的解法一探究竟，以求找到不同解法及諸多錯解產(chǎn)生的原因，并掌握此類問題的解題策略.結果同學們積極參與討論，課堂上精彩紛呈，帶來好多意外收獲！

一、課堂實錄

題目直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線l，若點A,B的坐標分別為A(-4,2)，B(3,1)，求點C的坐標，并判斷△ABC的形狀.

教師：誰來談談自己的看法？

學生1：要想求點C的坐標，只需要求出直線CA或CB的方程即可.因為點C又在直線l：y=2x上，所以聯(lián)立直線l與直線CA或CB的方程，解方程組即可得到點C的坐標.可我無法求出直線CA或CB的方程，因為只知道直線上一個點的坐標.

教師：分析很有道理，做數(shù)學題首先就要像學生1一樣會分析.誰能幫他解決分析過程中遇到的困惑呢？

進一步求出直線CB(即直線CA′)的方程為3x+y-10=0.

教師：太厲害了！充分利用了角平分線的性質(zhì)，求得點A(-4,2)關于直線l的對稱點A′(4,-2)，從而利用兩點坐標求得直線CB的方程，問題迎刃而解.

學生3：我還求出了點B(3,1)關于直線l的對稱點B′(-1,3)，因為點B′(-1,3)在直線CA上，從而求出直線CA的方程，再利用直線CA與l的方程求得點C的坐標，這樣做麻煩一些，我當時沒想到學生2的簡單方法.

教師：兩位同學的解法都非常好！其他同學還有更好的想法嗎？

教師：聰明！真是“條條大路通羅馬”.

教師：很好，真是殊途同歸！我當初還真沒想到求對稱點也有這么多方法.

學生6：我覺得在前面學生3的方法中，求得點C的坐標后，求出直線CA與CB的斜率，由它們的斜率之積為-1，即可得兩直線垂直，從而得到△ABC為直角三角形.

學生7：這只能判斷出∠C為直角，無法判斷是否等腰.

教師：數(shù)學使人周密真是沒錯.

就在這時，平時一直不太愛說話的學生8也發(fā)言了，不過看他樣子好像十分困惑.

教師：大家思考一下這是什么原因呢？是解法1漏解了，還是解法2產(chǎn)生了增解？

學生10(解法3：利用相似三角形)：如圖所示，分別過點A(-4,2)，B(3,1)作x軸垂線，與直線l：y=2x分別交于點A′(-4,-8)，B′(3,6).

教師：看似復雜的方法，運算卻很簡單，看來學習數(shù)學要不畏艱難，敢于挑戰(zhàn)，最后你可能會發(fā)現(xiàn)攔路虎原來是紙老虎！

接下來又有同學提出一些問題，大家一同進行了研究.

教師：大家通過對此題的研究得到了什么啟示？

學生各抒己見，概括起來主要是下面幾點：

①所研究問題與以前的哪些問題相類似，解決此類問題的基本思路是什么？

②解題的關鍵在哪里？是如何化歸的？

③本題是否有別的解法？有無更簡便的解法？

④哪一種方法最基本？哪一種方法最典型？哪一種方法最簡便？哪一種方法最巧妙?

⑤解題結果是否正確、圓滿？有無增解、漏解或錯解等情況？

二、教學思考

“燈不挑不明，理不辯不清”，教師要充分利用學生對試題的錯誤解法，給學生多一些思考，多一些探究，要充分相信學生，不能只按照自己事先想好的思路來教學，否則就會限制學生的思維，強扭學生的思維，題目剛出來就先進行提示或分析，那樣做會扼殺學生的自主思維能力，剝奪學生的自由創(chuàng)造空間.在學生還沒來得及思考的時候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對他們思維能力的形成是個不小的打擊.

離開了學生的“自主活動”“智力參與”“個人體驗”，就失去了學習真正的意義了.把課堂還給學生，引導學生積極思考，讓每位學生在數(shù)學思維的世界里自由地翱翔，體現(xiàn)出習題課教學的作用，通過解決問題，促進學生對數(shù)學知識的理解，讓每位學生主動、積極地參與教學.當然，要做到這點，首先，教師對習題本身要有深入的研究，其次，對學生的課堂參與要給予足夠的激勵和引導，注意傾聽他們的聲音，點燃他們的思維之火.

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》強調(diào)：“數(shù)學教學要使學生通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.”作為一線教師，我們應力求讓探究成為數(shù)學課堂教學的常態(tài)，應善于把握課堂教學中的每一個探究機會和細節(jié)，使數(shù)學探究逐步成為學生學習的自覺行為，乃至形成習慣，促進學生思維的全面發(fā)展.