尚保佑 ，朱 翔，李天勻 ，梁孝天

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2.船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3.高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

充液管道在工程領(lǐng)域中的運(yùn)用非常廣泛。這些結(jié)構(gòu)在服役期間會(huì)出現(xiàn)各類形式的損傷。針對(duì)管道結(jié)構(gòu)開(kāi)展早期的損傷識(shí)別研究具有重大的理論意義和實(shí)際價(jià)值。在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的研究中，基于結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的損傷識(shí)別法成為眾多科研人員關(guān)注的重點(diǎn)。周祥等[1]對(duì)主流的幾種損傷探測(cè)識(shí)別方法進(jìn)行比較，并簡(jiǎn)述了目前機(jī)械結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別領(lǐng)域中一些待解決的問(wèn)題。劉景斌等[2]則在比較各損傷識(shí)別方法優(yōu)劣性的基礎(chǔ)上，展望了未來(lái)?yè)p傷識(shí)別方法的發(fā)展趨勢(shì)。

結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)波傳播和振動(dòng)能量的傳播通常是結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，如剛度、質(zhì)量和阻尼的函數(shù)，所以結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量分布的變化。近年來(lái)基于振動(dòng)能量的損傷識(shí)別方法得到了較多的關(guān)注。

Zhu等[3]對(duì)損傷Timoshenko梁和圓柱殼的振動(dòng)功率進(jìn)行了分析，提出了利用振動(dòng)功率流[4]采用一局部轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧來(lái)模擬梁中的損傷，同時(shí)也利用斷裂力學(xué)的相關(guān)理論得到局部彈簧的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。Santos等[5]認(rèn)為結(jié)構(gòu)中的損傷改變了能量耗散的結(jié)構(gòu)，以能量流作為研究的基礎(chǔ)，用在研究梁結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別和檢測(cè)中。隨后朱翔等[6]采用有限元法對(duì)裂紋損傷結(jié)構(gòu)的功率流進(jìn)行了相關(guān)研究并且引入了結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)的概念,以此實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)表面能量分布、傳播以及在裂紋位置周圍分布的可視化分析。Pang等[7]基于振動(dòng)功率流理論，以呼吸裂紋板作為研究對(duì)象并對(duì)其輸入功率曲線進(jìn)行分析。基于能量有限元法，王迪等[8]求解了損傷薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，并以結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)和能量密度為指標(biāo)識(shí)別板結(jié)構(gòu)中的損傷。能量有限元法(EFEA)是近些年發(fā)展起來(lái)的一種用于解決結(jié)構(gòu)中高頻振動(dòng)分析的方法[9]。它結(jié)合了統(tǒng)計(jì)能量法(SEA)和傳統(tǒng)的有限元法(FEA)的優(yōu)點(diǎn)，是一種混合建模分析技術(shù)[10]。一方面，子系統(tǒng)可以通過(guò)網(wǎng)格的形式表現(xiàn)，另一方面，類似FEA的方法可通過(guò)節(jié)點(diǎn)描述能量的衰減過(guò)程。因此，對(duì)于結(jié)構(gòu)的模態(tài)沒(méi)有過(guò)多要求，可以涵蓋中高頻段。Zhu等[11]利用有限元法和能量有限元法相結(jié)合的混合方法來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在中頻部分的振動(dòng)，通過(guò)算例獲得整個(gè)系統(tǒng)在不同區(qū)域的能量分布，驗(yàn)證了所提出的方法可以用于在中頻范圍內(nèi)的振動(dòng)預(yù)測(cè)。劉知輝等[12]研究了三板耦合情況下的能量傳遞系數(shù)，并使用多種單元類型和混合單元等方法將能量有限元的應(yīng)用拓展至任意復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)[13]，并分析了由耦合板結(jié)構(gòu)組成的封閉箱體。葛月等[14]研究了任意耦合角度下彎曲波、縱波和剪切波入射時(shí)特定入射角度下的能量傳遞系數(shù)，分析了耦合板結(jié)構(gòu)中耦合角度、耦合板厚度、激勵(lì)頻率對(duì)能量傳遞系數(shù)的影響。解妙霞等[15]對(duì)能量有限元在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)中的相關(guān)研究進(jìn)行綜述。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)充液管道的振動(dòng)開(kāi)展了大量的研究。Tijsseling[16]對(duì)充液管道系統(tǒng)的流固耦合研究進(jìn)展進(jìn)行綜述。王琳[17]研究輸流管道的穩(wěn)定性與非線性動(dòng)力學(xué)機(jī)理，對(duì)管道的穩(wěn)定性、分岔、混沌等特性進(jìn)行了分析。包日東等[18]通過(guò)在模態(tài)空間展開(kāi)運(yùn)動(dòng)控制微分方程的方法，分析了輸流管道振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Luo[19]等利用微分求積法計(jì)算彎曲管道的非線性動(dòng)力響應(yīng)，闡述了微動(dòng)磨損對(duì)管道損傷的影響。Zhou等[20]研究軸向功能梯度懸臂輸流管的線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

從查閱文獻(xiàn)來(lái)看，目前尚未有文獻(xiàn)建立充液管道結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的能量有限元方程，也沒(méi)有基于能量有限元法的充液管道結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別研究。本文首先推導(dǎo)建立了充液管道的能量有限元方程，然后基于能量有限元法對(duì)含有損傷的充液管道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析。分別采用傳統(tǒng)有限元法和能量有限元法對(duì)管道中的能量密度進(jìn)行了計(jì)算，驗(yàn)證本文能量有限元法的正確性。通過(guò)分別改變含損傷充液管道中損傷部分的剛度、阻尼。計(jì)算充液管道在損傷前后的能量密度和能量流，并分析損傷參數(shù)與能量流之間的關(guān)系。

1 充液管道的能量有限元方程

1.1 充液管道的能量平衡方程

由文獻(xiàn)[21]可知，輸流管道的運(yùn)動(dòng)控制微分方程為

(1)

當(dāng)不考慮管內(nèi)流體流速帶來(lái)的影響即μ=U=0、P=T=0時(shí)，輸流管道運(yùn)動(dòng)方程退化為充液管道運(yùn)動(dòng)控制微分方程

(2)

式中：Ip是管道的截面慣性矩,Ep是管道材料的楊氏模量，ρp、Sp分別是管道的材料密度和橫截面積，ρf、Sf分別是管內(nèi)流體的材料密度和橫截面積，η代表管道結(jié)構(gòu)阻尼，w(x,t)表示管道的徑向位移，F(xiàn)代表激勵(lì)的幅值，δ代表狄拉克函數(shù)，x代表管道的軸向坐標(biāo)，x0是激勵(lì)作用的位置，ω是圓頻率，t表示時(shí)間。

假設(shè)方程的通解為

w(x,t)=(A1e-ikfx+A2eikfx+A3e-ikfx+A4eikfx)eiωt

(3)

式中：A1、A2、A3、A4為由邊界條件、連續(xù)條件等確定的待定系數(shù)。kf為復(fù)波數(shù)。若有η<<1,可得如下表達(dá)式

(4)

管道的勢(shì)能密度和動(dòng)能密度分別表示為

(5)

(6)

管道的總能量密度為其勢(shì)能密度和動(dòng)能密度之和，因此管道的總能量密度可以表示為

(7)

式中：k1、k2分別表示為復(fù)波數(shù)kf的實(shí)部和虛部，即有關(guān)系式，kf=k1+ik2。

Wohlever等[22]已經(jīng)證明，在高頻計(jì)算時(shí)，含有A3、A4的近場(chǎng)解可以忽略不計(jì)，此時(shí)能量密度的平穩(wěn)遠(yuǎn)場(chǎng)解的表達(dá)式為

(8)

在管道的振動(dòng)模型中，彎曲波功率流通常是由剪力和彎矩?cái)y帶傳遞，剪力所對(duì)應(yīng)的功率為

(9)

彎矩所對(duì)應(yīng)的功率為

(10)

管道中能量流的平穩(wěn)解表達(dá)式

(11)

比較式(8)和式(11)，可得出遠(yuǎn)場(chǎng)能量流與遠(yuǎn)場(chǎng)能量密度的梯度成正比關(guān)系

無(wú)恒產(chǎn)而有恒心者，惟士為能。若民，則無(wú)恒產(chǎn)，因無(wú)恒心。茍無(wú)恒心，放辟邪侈，無(wú)不為已。及陷于罪，然后從而刑之，是罔民也。焉有仁人在位罔民而可為也？是故明君制民之產(chǎn)……然后驅(qū)而之善，故民之從之也輕。今也制民之產(chǎn)……此惟救死而恐不贍，奚暇治禮義哉？[4](P211)

(12)

式中，cgf=2cf代表彎曲波的群速度。

取一個(gè)管道單元進(jìn)行分析，能量密度隨時(shí)間的變化應(yīng)為管道單元的入射功率與耗散功率之差，可以通過(guò)以下表達(dá)式[23]得出

(13)

式中：Πin為管道單元的輸入功率；Πdiss為管道單元的耗散功率。

由于結(jié)構(gòu)內(nèi)的耗散能量與能量密度存在如下的關(guān)系式[24]

(14)

聯(lián)立式(12)、式(13)、式(14)，不考慮外界輸入的管道單元的能量平衡方程為

(15)

考慮外界輸入則

(16)

1.2 充液管道的能量有限元方程

采用Galerkin加權(quán)殘值法對(duì)上述方程進(jìn)行求解，可以得到如下的加權(quán)殘值方程表達(dá)式[25]

(17)

(18)

為了表述方便，可將式(18)寫成矩陣的形式

[Ke]{ee}={Pe}+{Qe}

(19)

式中:[Ke]表示每個(gè)單元含單元?jiǎng)偠群唾|(zhì)量的系數(shù)矩陣;{ee}則是需要求解的能量密度向量;{Pe}是在節(jié)點(diǎn)處輸入的激勵(lì)向量;{Qe}表示每個(gè)單元兩端能量流的進(jìn)出。

通過(guò)求解式(19)，即可計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)的能量密度，進(jìn)一步可得到每個(gè)管道單元的能量流。

1.3 損傷充液管道的能量有限元計(jì)算

當(dāng)結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)損傷后，損傷區(qū)域的動(dòng)力學(xué)參數(shù)如剛度、阻尼等都會(huì)發(fā)生變化，從而引起結(jié)構(gòu)中振動(dòng)能量的變化。因此，基于能量有限元法得到損傷結(jié)構(gòu)的能量流特性和變化特性，從而也可為損傷結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別提供依據(jù)。

兩種損傷指標(biāo)都是基于能量有限元法，在后文中將采用能量有限元法對(duì)含損傷單元的充液管道的能量密度和能量流進(jìn)行計(jì)算。

2 不同工況下?lián)p傷充液管道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量分析

2.1 管道結(jié)構(gòu)能量有限元法準(zhǔn)確性驗(yàn)證

在第1節(jié)中推導(dǎo)得到了充液管道的能量密度方程和能量有限元方程，為驗(yàn)證所建立的充液管道能量有限元方程的正確性，本文將能量有限元法(EFEA)解得到的能量密度和傳統(tǒng)有限元(FEA)解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。選取一段充液管道，管道兩端固支，管長(zhǎng)L為1 m，外徑Ro為10.5 mm，內(nèi)徑Ri為8 mm，管壁材料密度ρp為7 800 kg/m3，管壁楊氏模量E為210 GPa，阻尼系數(shù)η為0.02，管內(nèi)流體單位長(zhǎng)度質(zhì)量mf為0.2 kg/m，管內(nèi)流體密度ρf為980 kg/m3。在管道中心處輸入一激勵(lì)功率為2.7×10-4W，激勵(lì)頻率為8 000 Hz的激勵(lì)力。參考能量密度值取為1×10-13J/m。其中，EFEA模型劃分單元數(shù)為10，形函數(shù)取n=3的Lagrange插值函數(shù)，如圖1所示。

有限元模型在ANSYS Workbench中建立，其中FEA模型中模擬管道的三維體單元共58 798個(gè)，如圖2所示，流體單元18 706單元，如圖3所示。設(shè)置流固耦合屬性，并求解在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

圖1 能量有限元模型示意圖Fig.1 Energy finite element model

圖2 常規(guī)有限元管道單元網(wǎng)格劃分圖Fig.2 FEA grid plot of pipe element

圖3 常規(guī)有限元流體單元網(wǎng)格劃分圖Fig.3 FEA grid plot of fluid element

需要注意能量有限元模型和傳統(tǒng)有限元模型的網(wǎng)格劃分原則不同，傳統(tǒng)有限元由于捕捉頻率較高的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，單元尺寸小，網(wǎng)格規(guī)模大。而能量有限元方法求解得到的能量密度是對(duì)時(shí)間和空間進(jìn)行平均之后得到的相對(duì)平滑的解。因此可將傳統(tǒng)有限元法計(jì)算得到的各節(jié)點(diǎn)處位移解，按照其本身波長(zhǎng)選取合適的長(zhǎng)度進(jìn)行局部平均，得到與能量有限元法計(jì)算對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)處能量密度值。將兩種方法求得的能量密度進(jìn)行對(duì)比，得到充液管道沿著管道長(zhǎng)度方向分布的能量密度圖，如圖4所示。

從圖4中，EFEA得到的各節(jié)點(diǎn)能量密度分布與FEA得到的各節(jié)點(diǎn)能量密度分布吻合較好，從而驗(yàn)證了本文建立的充液管道能量有限元方程的正確性。這為后文分析損傷管道的振動(dòng)特性提供了基礎(chǔ)。

圖4 兩種方法沿管道長(zhǎng)度方向能量密度分布的結(jié)果對(duì)比Fig.4 Energy density distribution along the pipe length

2.2 損傷充液管道的振動(dòng)分析

2.2.1 損傷單元?jiǎng)偠茸兓瘜?duì)振動(dòng)能量的影響

當(dāng)管道等結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)損傷時(shí)，其損傷部位的局部剛度一般會(huì)減小。在本節(jié)中假設(shè)損傷僅引起局部剛度減小。

與前述算例類似，將管道分成10個(gè)單元，并按管道長(zhǎng)度方向進(jìn)行編號(hào)，如圖5所示。其中受損單元編號(hào)為6(標(biāo)深色)，假設(shè)該單元損傷后的彈性模量分別降低1%、5%和10%。按照能量有限元法求解損傷前后管道的能量密度和能量流。

圖5 管道的損傷模型Fig.5 Energy finite element model of damaged pipe

當(dāng)損傷單元的彈性模量降低5%時(shí)，圖6給出了能量密度變化的損傷指標(biāo)Err1沿著長(zhǎng)度方向的分布圖。

圖6 管道的損傷指標(biāo)Err1分布(E=0.95E0)Fig.6 Damage index Err1 distribution (E=0.95E0)

由圖6可知，基于能量密度變化得到的Err1，在受損單元的節(jié)點(diǎn)處變化比較明顯，在損傷一側(cè)的能量密度變化值會(huì)產(chǎn)生突變。這是由于波傳播在經(jīng)過(guò)損傷位置時(shí)由于結(jié)構(gòu)不連續(xù)出現(xiàn)擾動(dòng)和不連續(xù)的結(jié)果，因此可根據(jù)管道結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的能量密度變化情況來(lái)識(shí)別管道的損傷位置。

同時(shí)也計(jì)算出管道中的能量流，從而得到第二種損傷指標(biāo)并進(jìn)行分析，如圖7所示。

圖7 管道的損傷指標(biāo)Err2分布(E=0.95E0)Fig.7 Damage index Err2 distribution (E=0.95E0)

從圖7中看出，Err2在受損6號(hào)單元處表現(xiàn)明顯，可以直觀的反映出受損單元，因此可由管道結(jié)構(gòu)的能量流變化情況來(lái)識(shí)別管道結(jié)構(gòu)的損傷位置。

將損傷單元的彈性模量分別減小1%、5%和10%，結(jié)構(gòu)的損傷采用能量流前后的差值表示，即Δq=|qi-q0|，如圖8所示。

圖8 不同剛度變化情況下管道能量流差值比較Fig.8 Damage index Δq of different stiffness

從圖中可見(jiàn)隨著損傷單元?jiǎng)偠茸兓鹊脑黾?，管道單元能量流差值變化也更加明顯，并且都在損傷單元處達(dá)到峰值。

2.2.2 損傷單元阻尼變化對(duì)振動(dòng)能量的影響

本算例中假設(shè)損傷僅引起局部單元的阻尼增大。假設(shè)算例中損傷單元的阻尼分別增大1%、5%，采用能量有限元法計(jì)算充液管道的能量密度和能量流。圖9給出了損傷單元阻尼增大1%時(shí)，Err2的分布圖。圖10為損傷單元取不同阻尼值時(shí)的能量流差值。

圖9 管道的損傷指標(biāo)Err2 分布(η=1.01η0)Fig.9 Damage index Err2 distribution (η=1.01η0)

從圖9中看出，當(dāng)某個(gè)單元的阻尼發(fā)生變化時(shí)，會(huì)引起周圍能量流明顯的突變，同樣可以清晰地識(shí)別出充液管道的損傷部位，從圖10中看出，隨著損傷單元的阻尼增大，損傷前后管道中能量流差值會(huì)有明顯的上升。表明損傷引起的阻尼變化越明顯，管道能量流的變化也越明顯，從而可以反映損傷的程度變化。

圖10 不同阻尼變化情況下管道能量流差值比較Fig.10 Damage index Δq of different damping

3 結(jié) 論

本文基于能量有限元法對(duì)含有損傷的充液管道的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。推導(dǎo)得到了充液管道的能量有限元方程。將EFEA的方法同傳統(tǒng)的有限元FEA的結(jié)果進(jìn)行了分析和驗(yàn)證，表明本文建立的充液管道的能量有限元模型的準(zhǔn)確性。

在驗(yàn)證管道能量有限元方法合理性的基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用于分析損傷管道結(jié)構(gòu)中，通過(guò)管道單元的彈性模量的減小和阻尼的增大來(lái)模擬結(jié)構(gòu)損傷的程度，利用能量有限元法計(jì)算充液管道中單元的能量密度和能量流。通過(guò)分別建立基于能量密度和能量流的兩個(gè)損傷指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)兩種損傷指標(biāo)都可以表征出損傷位置，其中能量流差值對(duì)管道結(jié)構(gòu)的損傷更為敏感。

與傳統(tǒng)的基于振動(dòng)的損傷識(shí)別方法相比，本文提出的方法避開(kāi)了繁瑣的模態(tài)參數(shù)求解，且對(duì)結(jié)構(gòu)微小的缺陷十分敏感，有一定的優(yōu)勢(shì)。但應(yīng)用到實(shí)際工程中，還需要進(jìn)一步深入研究。