姚 雪 陳學(xué)文 張家偉 都進(jìn)學(xué)

(重慶科技學(xué)院數(shù)理與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 重慶 401331)

當(dāng)質(zhì)點同時參與兩個相互垂直方向的簡諧振動，質(zhì)點的位移是這兩個振動的位移的矢量和。如果兩個振動的頻率具有簡單的整數(shù)比值的關(guān)系，質(zhì)點的軌道是穩(wěn)定的運動軌道，這些軌道曲線即李薩如圖形(Lissajous-Figure)。利用李薩如圖形可以測量兩正弦電壓相位差、交流電的頻率、交流阻抗特性、音叉頻率以及兩個相互垂直的簡諧振動的相位差及頻率等。兩個簡諧振動的合成問題，尤其是兩個相互垂直的不同頻率的簡諧振動之間的合成問題，是機械振動研究的重要內(nèi)容，也是大學(xué)物理教學(xué)的重點和難點部分。在聲速測量實驗教學(xué)中，為幫助學(xué)生理解相互垂直的不同頻率的簡諧振動合成問題，掌握李薩如圖形法的原理及其操作技術(shù)，我們借助Mathematica軟件，模擬不同頻率、不同振幅、不同相位差情況下的合振動的運動情況和軌跡形狀，讓學(xué)生觀察各種情況下的動態(tài)李薩如圖形，取得了較好的教學(xué)效果。

1 對李薩如圖形的動態(tài)模擬

Mathematica計算軟件具有強大的數(shù)值計算、符號運算和圖像處理功能，其圖形界面友好，輸入簡單的語句就可以繪制出精美的二維和三維圖形。我們運用Mathematica 8.0.4來繪制李薩如動態(tài)圖形。

設(shè)兩個相互垂直的簡諧振動分別在x軸和y軸上進(jìn)行，位移分別為：

(1)

式中：A1、A2為振幅；ω1、ω2為角頻率；φ1、φ2為初相位；t為時間。

在Mathematica中，利用Manipulate命令，可得如圖1所示的李薩如圖形。

圖1中，ω1和ω2在1～6 rads的范圍內(nèi)，以0.01 rads的步長改變；A1和A2在0～1 cm的范圍內(nèi)以0.01 cm的步長改變；φ1和φ2在0～2步的范圍內(nèi)以0.01 rad的步長改變。在Mathematica程序中，可以任意設(shè)置A、ω和φ。通過調(diào)節(jié)桿上的按鈕手動調(diào)節(jié)A、ω、φ和t，可以觀察不同的李薩如圖形。點擊?按鈕，可使各變量自動增加，相應(yīng)的李薩如圖形會同時顯示出來。確定ω、φ和A后，點擊run按鈕，合振子便從初始位置(圖中實心原點處)開始運動。

2 聲速測量的李薩如圖形法原理

聲速測量是大學(xué)物理實驗教學(xué)中的十分重要的實驗項目。實驗電路如圖2所示，其中，S1和S2分別為超聲波發(fā)射與接收壓電探頭。S1由信號源供給交流電信號，由逆壓電效應(yīng)發(fā)出超聲波。S2作為聲波接收器，由正壓電效應(yīng)，將接收到的聲壓轉(zhuǎn)換成電信號。

圖1 應(yīng)用Mathematica軟件繪制的李薩如圖形

圖2 聲速測量實驗裝置原理示意圖

需要說明的是：首先，在接收器S2端，相對空氣而言，S2的表面屬于波密媒質(zhì)，應(yīng)始終處于“駐波”節(jié)點。然而，由縱波的性質(zhì)可以證明，振動位移處于波節(jié)時聲壓最大，壓電探頭輸出的電信號最大。因此，示波器顯示的S2處反射波波形是聲壓波，而不是位移波[1]。其次，接收換能器產(chǎn)生共振時，存在一定的阻尼吸收，同時會有部分透射，因而反射波的振幅往往小于正向波的振幅[2-4]，但不影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

在實驗室測量空氣中的聲速，常用的方法有3種：時差法、共振干涉法(駐波法)和相位比較法(李薩如圖形法)。

(1) 時差法。將調(diào)制的脈沖電信號加在發(fā)射換能器上，發(fā)出的脈沖波經(jīng)過時間t后到達(dá)相距L處的接收器，通過測量距離和時間而計算得到聲速(u=Lt)。這種方法主要適用于測量液體中的聲速；在用來測量空氣中的聲速時，較難控制相對誤差。

共振干涉法和李薩如圖形法都是在連續(xù)波的諧振狀態(tài)下，通過測量波長λ和頻率f而計算得到聲速(u=λf)。發(fā)生諧振時，交流電信號的頻率即為超聲波的諧振頻率f。這兩種方法的主要區(qū)別在于測量超聲波波長的方法有所不同。

(2) 共振干涉法。諧振時，將接收器附近的合振動信號輸入示波器，出現(xiàn)正(或余)弦圖像。通過移動S2，記錄連續(xù)出現(xiàn)最大振幅時S2的位置來測量波長。最大振幅的確定是由觀察者主觀判斷，因此往往難以準(zhǔn)確地確定最大振幅。

圖3 李薩如圖形的示波器顯示

3 關(guān)于李薩如圖形的動態(tài)變化

由于在大學(xué)物理的理論教學(xué)中很少講李薩如圖形，當(dāng)聲速測量實驗中直接應(yīng)用李薩如圖形時，學(xué)生往往難以理解李薩如圖形法的原理，不清楚實驗中李薩如圖形對應(yīng)變化的原因。實驗中為什么會出現(xiàn)如圖3的李薩如圖形變化呢？我們不妨結(jié)合數(shù)學(xué)式推導(dǎo)一下。實驗中，發(fā)射波和反射波的頻率之比為1 ∶1，經(jīng)過相應(yīng)的計算可得合振動的軌跡方程：

(2)

都是合振動對應(yīng)的運動軌跡方程的數(shù)學(xué)圖形。

針對ω1∶ω2=1∶1的這種特殊情況，用Mathematica動態(tài)模擬其李薩如圖形，結(jié)果見圖4。

圖4 李薩如圖形的Mathematica模擬(發(fā)射波和反射波頻率之比為1∶1)

在實驗教學(xué)過程中，先讓學(xué)生在預(yù)習(xí)時用Mathematica動態(tài)模擬李薩如圖形，補習(xí)理論知識，理解實驗原理，完成預(yù)習(xí)報告。然后，在精講原理的同時進(jìn)行動態(tài)李薩如圖形演示，讓學(xué)生結(jié)合實驗操作觀察幾個特殊狀態(tài)的對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生在真正理解測量原理的基礎(chǔ)上進(jìn)行實驗，實驗操作就會變得更簡單有效。