朱勝強(qiáng)

讀完了上一篇文章，做一道原創(chuàng)題試一試吧！

原創(chuàng)題 如圖1，一張紙片上有兩個(gè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2與一條直線.若以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓C與直線l恰有一個(gè)公共點(diǎn).你能確定C與l的公共點(diǎn)嗎？

提示 首先確定F2關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)再連結(jié)′交直線l于一點(diǎn)P.則點(diǎn)P便是橢圓C與直線l的公共點(diǎn).

詳解 將紙張沿直線l折疊，在l的另一側(cè)得F2關(guān)于l的對稱點(diǎn).連結(jié)交直線l于點(diǎn)M，則過點(diǎn)M且以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓C與直線l中恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且M是C與l的唯一公共點(diǎn).

圖1

依據(jù)上述作圖過程可知，M是C與l的公共點(diǎn).下面說明M是C與l的唯一的共公點(diǎn).

假設(shè)它們存在異于M的另一公共點(diǎn)，記為M′，則M′在直線l上.

所以，點(diǎn)M′不在橢圓C上，這與點(diǎn)M′是C與l的公共點(diǎn)矛盾.

所以，過點(diǎn)M且以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓與直線l恰有一個(gè)公共點(diǎn).

圖2