尹 力

很多教師意識到數(shù)學(xué)教學(xué)要“重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系”，能夠在課上充分展開知識抽象、推理、建模的過程。但這種對“過程”的重視是否僅僅停留在課上甚至僅是公開課中？這樣的情況并不少見：課畢，教師和學(xué)生更關(guān)注的是數(shù)學(xué)結(jié)論，因為練習(xí)是需要運用結(jié)論來解決的。至于課上花費很多時間的“過程”，似乎即時效用不大，所以很快被束之高閣。弗萊登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》中清晰地指出：算法是一種完全極端情況，它一旦被掌握，或確信被掌握，人們很可能就不理會它們的來源。但是當(dāng)它們對數(shù)學(xué)本身目標(biāo)構(gòu)成威脅（即把數(shù)學(xué)與操作算法等同起來）時，它們就變成了缺點。

一、產(chǎn)生問題

只是課上重視過程，在問題解決中仍舊只關(guān)注操作算法，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)會帶來很多問題。

1.解決問題水平較低。

有的學(xué)生只能勝任對于結(jié)果性知識簡單運用的問題，比如利用面積公式求基本圖形的面積，根據(jù)運算法則計算分?jǐn)?shù)除法等。這類問題的共同特征是思維含量低，解決問題的途徑簡單、明確，僅需要付出很少的數(shù)學(xué)思考。問題稍微增加難度，比如變換情景或?qū)⒁酝鉀Q過的問題綜合，他們便無從入手。由此反映出，只進(jìn)行結(jié)果性知識或操作算法這類看似具有即時效用的解決問題教學(xué)，并不能在很大程度上提高學(xué)生解決問題的水平。相反，關(guān)注過程、經(jīng)歷過程、體悟過程看似浪費時間，但更能促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，形成解決問題經(jīng)驗，達(dá)到舉一反三的效用。

2.熟悉問題反復(fù)出錯。

有的學(xué)生對于做過的練習(xí)反復(fù)出錯，尤其在復(fù)習(xí)迎考階段，當(dāng)大量練習(xí)襲來時。教師可能也很難理解，明明前兩天剛做過的題目，為什么又不會？當(dāng)時教學(xué)生時已經(jīng)具體到每步該算什么，下次只要按照以上步驟重算一遍就行了。偏偏就有不少同學(xué)對于結(jié)構(gòu)相同的問題反復(fù)出錯。由此說明，試圖通過對算法一遍遍強調(diào)，甚至要求學(xué)生記憶，而不是扎實經(jīng)歷易錯問題的對比剖析，不深入理解每一步操作算法背后的所以然，無益于真正解決問題。

3.學(xué)習(xí)缺少情感投入。

“接近和挖掘事物的本質(zhì)以及之間的因果聯(lián)系，這一過程本身就是興趣的主要來源?！保ㄌK霍姆林斯基語）要讓學(xué)生真正學(xué)好數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)的興趣，使數(shù)學(xué)對學(xué)生具有吸引力才是根本之道。那如何使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)持久而穩(wěn)定的興趣？唯有經(jīng)歷過程、付出思考、理解操作算法背后的實質(zhì)性聯(lián)系，才能收獲成功的喜悅。久而久之，學(xué)生會產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的自我效能感（對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)充滿信心）。學(xué)生自然會喜歡數(shù)學(xué)，愛思考數(shù)學(xué)。

二、解決措施

“關(guān)注過程”不能窄化為公開課中體現(xiàn)先進(jìn)教學(xué)理念的手段，要發(fā)揮“關(guān)注過程”的價值，需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面切實關(guān)注。

1．說過程，暴露必要的思維。

“說過程”就是把解決問題的程序講出來，用語言把思維程序固定下來，使思維更富有條理、更加有序?！罢f過程”的本質(zhì)是讓學(xué)生知其所以然。對那些思維遲緩的學(xué)生，教師可以用“說過程”作為撬動他們主動思維的支點，讓他們自己真正動起來。“說過程”的實質(zhì)是在說思考的程序，做過的題已經(jīng)有了現(xiàn)成的程序，只要把它們從運算中提煉出來即可。

“說過程”要注意程序的完整性和程序之間的邏輯性，對于不完整或錯誤的思維過程要及時指出。而這也是“說過程”的目的之一，暴露學(xué)生有問題的思維過程?！罢f過程”要盡量照顧到班級的每一位學(xué)生，采用不同的形式給予學(xué)生鍛煉的機(jī)會，比如，自說、同桌說、小組說、全班說等?！罢f過程”還應(yīng)滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面，不僅在新授課重視學(xué)生經(jīng)歷過程說過程，在練習(xí)課、復(fù)習(xí)課、個別輔導(dǎo)、作業(yè)訂正等不同形式的學(xué)習(xí)活動中都要重視學(xué)生表達(dá)解決問題的思維過程?？傊瑢τ趯W(xué)生靜態(tài)的答案、算式都要保持警惕，正確的結(jié)果不等于學(xué)生已經(jīng)實實在在經(jīng)歷了分析問題、解決問題的全過程，認(rèn)真地將過程、思路用清晰、精練的語言說出來的價值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于呈現(xiàn)出某個正確的結(jié)果。

2.勤追問，填補思維的斷層。

根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論，小學(xué)階段的學(xué)生總體處于“具體運算階段”，能借助具體內(nèi)容進(jìn)行一定的分析推理，但邏輯推理水平并不高。推理過程不清晰、不明確、不嚴(yán)密，直覺成分較多。整個思維程序中會出現(xiàn)很多的斷層，而對于這些斷層式的障礙點，學(xué)生常常是繞過去，有時學(xué)生甚至沒意識到障礙點的存在，只覺得自己的想法是自然、正確的，殊不知錯誤正在醞釀。追問是監(jiān)控、調(diào)節(jié)學(xué)生過程性知識，有針對性地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思維走向清晰、深入的有效手段。填補思維斷層，完善學(xué)生過程性知識需要教師經(jīng)常追問。

《解決問題的策略——替換》教學(xué)片斷：

對比題：（1）720毫升果汁倒入9個小杯中，每個小杯能裝多少毫升果汁？

（2）720毫升果汁倒入3個大杯中，每個大杯能裝多少毫升果汁？

例題：把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯中，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

先解決對比題，然后找出例題中的數(shù)量關(guān)系。

提問：跟剛才兩道問題比，例題的數(shù)量關(guān)系變得更復(fù)雜，請你們想個辦法把數(shù)量關(guān)系變得簡單。

生：可以假設(shè)全是小杯，把那個大杯替換成小杯。

追問：為什么要假設(shè)全是小杯？

生：因為全是小杯的話，題目就變成對比題中的第一題，數(shù)量關(guān)系更簡單。

追問：那大杯為什么能換成小杯？

生：因為大杯容量是小杯的3倍，所以大杯里的果汁可以用3個小杯全部裝下，一滴也不少。

追問：“一滴也不少”說得很好，也就是說我們在替換時要注意什么？

生：果汁的總量不能變。

“可以假設(shè)全是小杯，把大杯替換成小杯”。雖然學(xué)生的回答直戳要點，正好是教師需要的答案，但教師切不可就此打住，錯失啟發(fā)學(xué)生思維走向清晰、深入機(jī)會。事實情況是，雖然學(xué)生給出了以上回答，但對內(nèi)隱的過程性知識（為什么要替換？替換要注意什么？）并非全然清楚。而通過教師恰當(dāng)、準(zhǔn)確的追問，不斷追本溯源，可使學(xué)生過程性知識不斷完善。

3.改習(xí)題，體現(xiàn)缺失的過程。

練習(xí)是鞏固、提高學(xué)生學(xué)業(yè)水平的重要方式，但平時的習(xí)題大部分側(cè)重結(jié)果性知識的鞏固、提高，變相削弱了過程性知識的重要性。轉(zhuǎn)換觀念，過程性知識為何不能被編制成習(xí)題而作為鞏固學(xué)生內(nèi)部過程性知識的手段。

過程性習(xí)題考察的是結(jié)果性知識背后的“理”，為什么是？表示什么意思？怎么得出的？也考察思考程序背后的目的，為什么這么做？你是怎么想到的？其實數(shù)學(xué)教材中就有這類關(guān)注學(xué)生過程性知識的問題，比如教材中卡通人物玉米的問題。其實還可以進(jìn)一步追問：“你為什么要這么比？”即明晰學(xué)生思考程序背后的目的。像這樣的問題教材中還有很多，用好用實這些問題是幫助學(xué)生積累過程性知識的有效手段。同時，教師也可以編制側(cè)重過程性知識的習(xí)題，如下圖。有關(guān)多邊形的面積，一般考查學(xué)生面積公式的運用。實際上，這一單元里面包含很多過程性知識，比如轉(zhuǎn)化的目的、面積公式推導(dǎo)的過程等，圖中這道習(xí)題考查的就是轉(zhuǎn)化的目的。當(dāng)然，也可以在面積公式方面做文章，比如，已知梯形的面積公式是“（上底+下底）×高÷2”，那“（上底+下底）×高”算得是（ ）。只有關(guān)注梯形面積公式推導(dǎo)過程，才會知道“（上底+下底）×高”是“用兩個一模一樣梯形拼成的平行四邊形的面積”。

“關(guān)注過程”實質(zhì)上是讓學(xué)生經(jīng)歷思考、理解、感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問題解決的過程。但這里也并非“重過程輕結(jié)果”，過程與結(jié)果相互依存、不可偏廢。沒有過程的結(jié)果是沒有體驗、沒有深刻理解的結(jié)果；不追求結(jié)果的過程是缺乏價值和意義的過程。