王光光, 許 威

(同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海 200092)

隨著全球金融衍生品市場的快速發(fā)展, 交易對手信用風(fēng)險(counterparty credit risk, CCR)逐漸成為全球金融機構(gòu)面臨的主要風(fēng)險之一, 其定義為交易對手未能履行約定契約中的支付義務(wù)而造成經(jīng)濟(jì)損失的風(fēng)險. 自2008年金融危機之后, 金融衍生品合約的定價考慮CCR逐漸成為全球共識. 2010年出臺的巴塞爾協(xié)議III[1]則首次增添新的資本計提量, 即信用估值調(diào)整(credit valuation adjustment, CVA).

CVA是度量由于交易對手違約而造成的期望潛在損失, 定義為無交易對手違約風(fēng)險的金融衍生品價格與含違約風(fēng)險的價格之差. 因此, 從定價角度來講, CVA的計算即是對CCR的風(fēng)險中性定價[2], 其主要由3部分組成：貼現(xiàn)期望暴露、交易對手違約概率和違約損失率[2-3]. 通常的CVA計算多數(shù)是基于交易對手違約概率與暴露互相獨立的假設(shè), 如巴塞爾協(xié)議III中所給出的CVA計算公式[1]. 然而, 交易對手違約概率與決定金融衍生品價格的市場風(fēng)險因子之間會存在相關(guān)性, 即存在錯向風(fēng)險(wrong way risk, WWR): 暴露越大, 交易對手違約概率越大. 錯向風(fēng)險的存在會增大CVA, 因此對于CCR的定價非常重要.

對于歐式期權(quán), 由于到期日之前無法行權(quán), 若不考慮WWR, CVA在幾何布朗運動[4](geometric Brownian motion, GBM)和Merton跳擴散模型[5]下存在解析公式[2-3]. 但對于百慕大期權(quán), 由于其路徑依賴性, CVA的計算過程將變得非常復(fù)雜. 目前, 多數(shù)文獻(xiàn)中CVA是通過基于模擬的方法來計算. Breton等[6]在GBM和跳擴散模型[5]下提出了一種基于函數(shù)插值的動態(tài)規(guī)劃方法, 對高斯Copula[3]和Hull-White強度模型[7]兩種WWR模型下的百慕大期權(quán)進(jìn)行了定價研究. 但該方法僅適用于低維標(biāo)的模型, 同時對Hull-White模型也無法做到擬合市場上信用違約互換價差數(shù)據(jù). 之后, Bavier等[8]基于Hull-White強度模型, 首先利用二叉樹方法將違約強度通過價差數(shù)據(jù)校準(zhǔn)得到, 然后通過蒙特卡洛模擬研究了GBM下百慕大期權(quán)的提前行權(quán)特性對于CVA的影響. Graaf等[9]在隨機波動率模型[10]下提出了基于蒙特卡洛模擬的SGBM(stochastic grid bundling method)方法用于定價百慕大期權(quán)下無WWR的CVA. Feng等[11]利用同樣方法研究了包含WWR的百慕大期權(quán)下的CVA計算, 但其中WWR是由額外的隨機過程進(jìn)行刻畫, 形式較為復(fù)雜. 近年來, 國內(nèi)學(xué)者對于交易對手違約風(fēng)險也有研究, 如蔣昇[12]基于Copula函數(shù)利用復(fù)雜的嵌套蒙特卡洛模擬對交易對手風(fēng)險進(jìn)行了實證分析; 奚揚陽[13]計算了歐式期權(quán)下的CVA. 更多關(guān)于CVA和WWR模型的內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[3].

本文基于以上現(xiàn)有方法的諸多限制, 首次提出了一種基于柳樹樹狀結(jié)構(gòu)能應(yīng)用于各種標(biāo)的資產(chǎn)模型并且快速有效計算帶有Hull-White-WWR的CVA的數(shù)值算法. 該方法主要包括兩部分. 第一部分, 柳樹法在無WWR時計算CVA. 此時假設(shè)違約概率分布是確定的, 根據(jù)文獻(xiàn)[2-3], 對于歐式期權(quán), 計算CVA等價于計算歐式期權(quán)在零時刻的價格, 則根據(jù)文獻(xiàn)[14]柳樹法可快速求得歐式期權(quán)價格從而直接求得CVA. 而對于百慕大期權(quán), 假設(shè)交易對手在期權(quán)所有可行權(quán)時間節(jié)點均可能發(fā)生違約, 則根據(jù)文獻(xiàn)[9]中關(guān)于百慕大期權(quán)下暴露的定義: 期權(quán)行權(quán), 暴露為零; 期權(quán)持有, 暴露等于該時刻的持有價值. 因此無WWR下CVA的計算是一個路徑依賴的過程, 需要用柳樹法倒向歸納計算期權(quán)在所有可行權(quán)時刻的持有價值, 并判斷是否行權(quán), 以確定當(dāng)前時刻的貼現(xiàn)期望暴露. 第二部分, 柳樹法在Hull-White模型刻畫WWR時計算有錯向風(fēng)險的CVA, 此時與無WWR區(qū)別在于違約概率分布需要用市場上信用違約互換價差數(shù)據(jù)校準(zhǔn)得到. 柳樹法基于Bavier[8]的思想, 通過自身柳樹結(jié)構(gòu)在給定價差數(shù)據(jù)時精確校準(zhǔn)Hull-White模型中的時間依賴函數(shù)a(t), 從而得到新的違約概率分布, 用于最后計算有WWR的CVA.

本文基于柳樹法計算錯向風(fēng)險下歐式和百慕大期權(quán)的CVA, 主要貢獻(xiàn)體現(xiàn)在以下幾方面: 第一, 以樹狀結(jié)構(gòu)計算CVA在現(xiàn)有文獻(xiàn)中尚屬首次; 第二, 所提出的柳樹法計算CVA的算法不依賴于標(biāo)的資產(chǎn)模型, 容易從常見的GBM[4]、Merton跳擴散模型[5]擴展到更復(fù)雜的隨機波動率[10]或Lévy過程[15]等, 適用范圍更廣; 第三, 柳樹法基于Hull-White模型刻畫WWR能擬合市場上信用互換價差數(shù)據(jù), 實用性更強; 第四, 柳樹法在歐式和百慕大期權(quán)的CVA計算中計算效率高, 存儲空間較少, 維護(hù)成本更低.

1 無錯向風(fēng)險的CVA計算

考慮一份權(quán)益類衍生品合約, 如歐式和百慕大期權(quán), 到期日為T, 其CVA定義如下[3]:

CVA=(1-R)E[1{0<τ

(1)

式中:E[·]代表風(fēng)險中性測度下的期望;τ為交易對手違約時間;R為回收率, 1-R即違約損失率;Bt為t時刻的貼現(xiàn)因子, 在無風(fēng)險利率r為常數(shù)假設(shè)下,Bt=e-rt; 1{·}為示性函數(shù);Et代表t時刻的暴露, 非負(fù);PD(dt)代表交易對手在時段[t,t+dt]內(nèi)違約的風(fēng)險中性概率 (假設(shè)時刻t之前沒有違約).

式(1)是CVA一般化的表達(dá)式, 沒有對風(fēng)險暴露和交易對手違約概率之間的相關(guān)性做任何的假設(shè). 事實上, 業(yè)界普遍采用二者是互相獨立的假設(shè), 從而得到以下簡化的CVA表達(dá)式:

(2)

(3)

因此, 巴塞爾協(xié)議要求的CVA可通過計算式(3)間接得到. 假設(shè)交易對手違約時刻的概率分布具有如下形式[6-8]:

PD(t)=1-exp(-λt)

(4)

1.1 柳樹法期權(quán)定價

柳樹法通過構(gòu)造離散的馬爾科夫過程來刻畫布朗運動, 能處理各種標(biāo)的資產(chǎn)模型, 如GBM[4,14]、Merton跳擴散模型[5,16]、隨機波動率模型[10]以及Lévy過程[15-16]等等, 現(xiàn)已經(jīng)被廣泛用于各種期權(quán)的定價[14,16-17]. 圖1展示了一個柳樹結(jié)構(gòu)的簡單示意圖. 該柳樹結(jié)構(gòu)從初始時刻0到T, 有5個離散的時刻, 從第2個時刻起, 每個時刻都有5個可能的資產(chǎn)價格節(jié)點. 因此, 柳樹法的一個優(yōu)點在于每個離散時刻上的資產(chǎn)價格節(jié)點個數(shù)是常數(shù), 從而總的節(jié)點個數(shù)隨時間步長N呈線性增長.

圖1 包含5個時刻、 5個資產(chǎn)價格節(jié)點的柳樹結(jié)構(gòu)圖

Fig.1 Graphical depiction of willow tree lattice with 5 space nodes and 5 time nodes

(5)

1.2 歐式期權(quán)的

(6)

則由式(6)可知, 柳樹法計算無WWR時歐式期權(quán)的CVA等價于定價歐式期權(quán).

1.3 百慕大期權(quán)的

(7)

2 有錯向風(fēng)險的CVA計算

錯向風(fēng)險是描述暴露與交易對手違約概率之間的正相關(guān)性, 即違約概率隨著交易對手暴露的增加而增加. 在柳樹框架下主要考慮Hull-White強度模型對于CVA計算的影響. 此時由于違約概率與暴露的相關(guān)性, CVA無法再通過式(2)和(3)簡化計算.

Hull-White強度模型是指: 假設(shè)式(4)違約強度是一個關(guān)于時間t和t時刻無違約風(fēng)險下期權(quán)價格V的函數(shù), 記為λ(t), 即

λ(t)=exp(a(t)+bVt)

(8)

式中：Vt是t時刻對應(yīng)的期權(quán)價格, 如后續(xù)數(shù)值試驗中歐式或百慕大看跌期權(quán)的價格;b∈R+是WWR參數(shù);a(t)是標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù).

當(dāng)WWR由式(8)刻畫時, 結(jié)合式(2)和式(3), Hull-White模型下的CVA的計算表達(dá)式修正為[7-8]

(9)

(10)

(11)

若令式(11)等號兩端同時除以左端項, 則成立

(12)

基于式(12), 本文有以下定理, 用于迭代校準(zhǔn)a(t).

(13)

證明 首先, 當(dāng)n=1時, 即對于區(qū)間[t0,t1], 由式(12)數(shù)學(xué)期望可知

(14)

對n>1, 成立

(15)

3 CVA數(shù)值實驗

基于不同標(biāo)的資產(chǎn)模型, 以GBM和Merton跳擴散模型為例, 其他資產(chǎn)模型同理， 對Hull-White錯向風(fēng)險模型中不同參數(shù)下的CVA進(jìn)行定價分析, 同時以歐式和百慕大看跌期權(quán)為產(chǎn)品(看漲期權(quán)同理), 比較柳樹法與解析公式或蒙特卡洛模擬方法的數(shù)值結(jié)果. 所有數(shù)值實驗的程序均在操作系統(tǒng)為64位Windows 10家庭版的計算機上運行, 內(nèi)存為8 GB, 處理器為Intel(R) Core(TM) i7-6700U CPU@2.80 GHz, 使用的軟件版本為Matlab R2018a.

實驗中, 對于GBM, 柳樹法中資產(chǎn)價格節(jié)點個數(shù)m=30；對于復(fù)雜的Merto跳擴散模型,m=50. 離散時間步數(shù)N=100, 蒙特卡洛方法的模擬路徑數(shù)為5×104. 回收率R=0.4. 實驗比較了不同的股票價格S0, 不同的信用互換價差θ下柳樹法和蒙特卡洛方法的表現(xiàn). 記號WT代表柳樹法, MC代表蒙特卡洛模擬, 以運行10次求平均值作為參考值, s.d.代表蒙特卡洛的標(biāo)準(zhǔn)差, B-S、M-J分別代表由Gregory[3]列出的在GBM和Merton跳擴散模型下無WWR的歐式期權(quán)的CVA解析公式.

首先, 考慮GBM, 固定歐式和百慕大期權(quán)的敲定價格K=100, 利率r=0.05, 波動率σ=0.1, 到期日T=1. 然后選取了不同的價格S0和不同的信用價差θ, 從表1可以看出, 在無WWR時, 對于歐式期權(quán), 柳樹法的定價結(jié)果與文獻(xiàn)[3]解析公式非常接近; 而對于百慕大期權(quán), 柳樹法數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)常用的最小二乘蒙特卡洛結(jié)果相近, 相對誤差均低于1%, 其中蒙特卡洛的標(biāo)準(zhǔn)差至少為10-3量級. 這充分說明了柳樹法的準(zhǔn)確性. 從計算時間上來看, 在給定資產(chǎn)價格節(jié)點個數(shù)m和時間節(jié)點個數(shù)N時, 其他參數(shù)的變化并沒有影響柳樹法的計算時間, 但是, 柳樹法的計算時間則少于蒙特卡洛方法.

接下來, 討論錯向風(fēng)險對于CVA計算的影響, 其中Hull-White模型參數(shù)b以文獻(xiàn)[6,8]中b=0.01為參考.從表2可以看出, 柳樹法在歐式期權(quán)和百慕大期權(quán)下定價CVA的數(shù)值結(jié)果與蒙特卡洛模擬相比均十分接近, 同樣, 柳樹法在計算時間上均具有明顯優(yōu)勢.

其次, 從GBM拓展到帶跳躍的Merton跳擴散模型. 歐式和百慕大期權(quán)的敲定價格K=100, 利率r=0.05, 波動率σ=0.1, 到期日T=1, 跳躍強度為0.1, 跳躍幅度滿足對數(shù)正態(tài)分布, 均值為-0.05, 標(biāo)準(zhǔn)差為0.05[16]. 從表3可以看出, 選取不同的S0和不同的信用價差θ, 柳樹法在歐式和百慕大期權(quán)下的無WWR的CVA數(shù)值結(jié)果與蒙特卡洛相比十分接近, 其中蒙特卡洛標(biāo)準(zhǔn)差至少為10-3量級, 同時在計算時間上有一定優(yōu)勢. 這說明柳樹法在復(fù)雜的資產(chǎn)模型下同樣表現(xiàn)優(yōu)秀.進(jìn)一步, 將Hull-White錯向風(fēng)險模型應(yīng)用到Merton跳擴散模型. 從表4可以看出, 柳樹法在歐式和百慕大期權(quán)下的CVA計算與蒙特卡洛相比十分接近, 其中蒙特卡洛標(biāo)準(zhǔn)差同樣至少為10-3量級, 但柳樹法在計算時間上有優(yōu)勢.

最后, 考慮CVA在兩種期權(quán)同樣參數(shù)下以及有無WWR下的數(shù)值比較. 一方面, 從表1到表4, 可以看出, 歐式期權(quán)下的CVA與百慕大期權(quán)下的CVA在數(shù)值上明顯不同, 并且歐式期權(quán)下的CVA數(shù)值較大, 這是因為百慕大期權(quán)給與期權(quán)持有者更多主動行使期權(quán)的機會, 從而降低了持有者將來時刻的暴露, 降低了CVA. 另一方面, 考慮WWR的Hull-White模型下的CVA比無WWR下的CVA數(shù)值要大. 通過計算, 其比值介于1.02～1.40之間, 這與巴塞爾協(xié)議III[1]中WWR系數(shù)所在區(qū)間[1.2,1.4]較為吻合, 也證實了錯向風(fēng)險會增大CVA的結(jié)論.

表1 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在GBM下定價歐式和百慕大期權(quán)下無WWR的CVA的結(jié)果

表2 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在GBM下定價歐式和百慕大期權(quán)下有WWR的CVA的結(jié)果

表3 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在跳擴散模型下定價歐式和百慕大期權(quán)下無WWR的CVA的結(jié)果

Tab.3 Results of willow tree method and Monte Carlo method at different values ofS0andθin jump-diffusion model without WWR

S0θ歐式期權(quán)百慕大期權(quán)CVA/元時間/sCVA/元時間/sWTM-JWTM-JWTMC(s.d.)WTMC950.050.187 40.187 20.130.020.045 30.045 2(1.07×10-4)0.893.840.100.359 70.359 50.160.020.089 00.088 7(1.94×10-3)0.873.560.150.518 30.517 90.130.010.131 30.131 0(2.65×10-3)0.733.841000.050.095 00.094 90.080.020.052 90.053 1(4.25×10-4)0.874.270.100.182 30.182 10.130.010.103 30.103 7(1.44×10-3)0.833.520.150.262 70.262 40.060.010.155 00.153 5(1.73×10-3)0.803.561050.050.042 80.042 70.080.020.040 40.040 5(5.57×10-4)0.733.660.100.082 20.082 00.060.020.060 70.060 3(6.31×10-4)0.863.380.150.118 40.118 20.130.020.088 50.087 5(1.05×10-3)0.783.47

表4 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在跳擴散模型下定價歐式和百慕大期權(quán)下有WWR的CVA的結(jié)果

Tab.4 Results of willow tree method and Monte Carlo method at different values ofS0andθin jump-diffusion model with WWR

S0θ歐式期權(quán)百慕大期權(quán)CVA/元時間/sCVA/元時間/sWTMC(s.d.)WTMCWTMC(s.d.)WTMC950.050.198 50.197 8(1.49×10-3)0.020.550.044 90.045 0(8.09×10-4)1.274.560.100.383 90.380 6(2.37×10-3)0.030.500.089 80.089 6(2.39×10-3)1.784.920.150.553 40.550 2(1.19×10-3)0.020.530.134 60.133 5(3.39×10-3)1.314.421000.050.101 40.100 8(3.21×10-4)0.020.470.054 00.053 6(1.09×10-3)1.234.220.100.196 00.194 8(2.15×10-4)0.020.470.108 00.108 4(9.98×10-4)1.224.560.150.282 50.281 4(8.89×10-4)0.020.480.162 00.161 1(9.55×10-4)1.234.331050.050.046 00.045 6(8.02×10-4)0.030.630.032 20.032 5(5.00×10-4)1.584.390.100.088 90.088 3(5.74×10-4)0.020.660.064 50.064 3(1.82×10-4)1.644.060.150.128 10.127 1(8.02×10-4)0.020.500.096 70.095 8(1.80×10-3)1.504.02

4 結(jié)語

本文首次提出了一種基于柳樹樹狀結(jié)構(gòu)快速計算錯向風(fēng)險下CVA的算法. 一方面, 文中指出在無WWR時計算CVA的核心是計算期望暴露, 并詳細(xì)給出了歐式和百慕大期權(quán)下柳樹法計算期望暴露的算法；另一方面, 用Hull-White模型刻畫WWR時, 通過柳樹結(jié)構(gòu)校準(zhǔn)該模型中的時間依賴函數(shù)a(t)從而調(diào)整新的違約概率. 數(shù)值實驗以幾何布朗運動和跳擴散模型下歐式和百慕大看跌期權(quán)的CVA計算為例, 表明柳樹法與現(xiàn)有方法相比有相同的計算精度, 但計算速度更快, 同時柳樹法能擬合市場上信用違約互換價差數(shù)據(jù), 實用性較高. 此外, 該算法較容易擴展到更復(fù)雜的標(biāo)的資產(chǎn)價格模型，適用范圍廣. 下一步將研究更多WWR模型對于CVA計算的影響，以及計算歐式和百慕大互換期權(quán)下的CVA.