李胤慷，佘宇琛，李 爽，王淑一，陸棟寧

(1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院·南京·210016；2. 北京控制工程研究所·北京·100190)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展以及航天器任務(wù)的復(fù)雜化，航天器上攜帶的載荷變得越來越復(fù)雜，對(duì)航天器平臺(tái)本身的姿態(tài)控制需求和姿態(tài)指向精度的要求也都在不斷增加。運(yùn)動(dòng)天線作為航天器最重要的外設(shè)附件之一，負(fù)責(zé)整星與地面控制中心或中繼衛(wèi)星之間的數(shù)據(jù)傳輸，是當(dāng)代高分辨率成像衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)大規(guī)模載荷數(shù)據(jù)快速下傳的關(guān)鍵部件。然而，運(yùn)動(dòng)天線在其對(duì)地面站或中繼衛(wèi)星的定向運(yùn)動(dòng)過程中，不可避免地會(huì)對(duì)航天器姿態(tài)產(chǎn)生重要影響，是整星姿態(tài)擾動(dòng)的重要來源之一，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致整星姿態(tài)穩(wěn)定度無法滿足高精度有效載荷的成像要求。不僅如此，星載天線多體系統(tǒng)中的撓性關(guān)節(jié)、天線反射面撓性以及動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性等不利因素，都會(huì)對(duì)天線的指向精度造成不可忽略的影響，使得星載天線動(dòng)態(tài)指向精度難以滿足未來航天任務(wù)需求[1]。針對(duì)這一難題，一些學(xué)者從研究星載天線機(jī)構(gòu)本身的靜態(tài)誤差出發(fā)，對(duì)天線的指向精度進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[2]針對(duì)存在未知結(jié)構(gòu)變形的星載天線系統(tǒng)，提出了一種基于二階擴(kuò)展卡爾曼濾波器的在軌誤差校正方法，提高了星載天線的跟蹤與指向精度。文獻(xiàn)[3]綜合考慮衛(wèi)星姿態(tài)控制誤差、展開機(jī)構(gòu)誤差、雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)誤差和反射面誤差等因素，利用齊次變換矩陣得到天線指向運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差等式，從而得到天線指向精度分析的一般方法。文獻(xiàn)[4]以星載天線雙軸定位機(jī)構(gòu)為對(duì)象, 分析了其指向精度的影響因素, 從傳動(dòng)誤差、測(cè)量誤差、安裝誤差以及熱變形誤差等方面, 研究了各項(xiàng)精度影響因素的分析模型和計(jì)算方法, 建立了指向精度的分析模型。還有一些學(xué)者從天線結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，分析結(jié)構(gòu)變形對(duì)星載天線指向精度的影響。文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)誤差非線性動(dòng)力學(xué)模型，并分析了柔性關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)誤差對(duì)星載天線的擾動(dòng)影響。文獻(xiàn)[6]通過固定界面法和拉格朗日方法，推導(dǎo)出了大范圍運(yùn)動(dòng)的星載天線剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，并分析了柔性天線反射面彈性形變對(duì)星載天線的擾動(dòng)影響。文獻(xiàn)[7]針對(duì)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)含鉸間隙的星載天線，提出了一種考慮徑向和軸向間隙的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的誤差等效模型，并分析了鉸間隙對(duì)星載天線指向精度的擾動(dòng)影響。文獻(xiàn)[8]考慮熱效應(yīng)對(duì)星載天線指向精度的影響，建立了考慮熱效應(yīng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，并在考慮參數(shù)不確定性的影響下設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制律。但上述文章都只是單一考慮了某一種擾動(dòng)因素對(duì)天線系統(tǒng)的影響，而現(xiàn)實(shí)情況中星載天線處于一個(gè)極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)環(huán)境之下，所以需要綜合考慮各個(gè)擾動(dòng)因素的影響。本文將綜合考慮關(guān)節(jié)撓性、天線反射面撓性以及動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性的擾動(dòng)影響，從天線系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模、指向跟蹤控制以及振動(dòng)抑制等方面研究柔性星載運(yùn)動(dòng)部件的指向控制方法。

1 星載天線多體系統(tǒng)動(dòng)力模型

考慮如圖1所示的星載天線多體系統(tǒng)，該系統(tǒng)由基座衛(wèi)星以及一個(gè)二軸自由度的運(yùn)動(dòng)天線組成。為了方便對(duì)問題的數(shù)學(xué)描述，建立如下坐標(biāo)系：

(1)慣性坐標(biāo)系Oi-XiYiZi：該坐標(biāo)系中心定義為航天器質(zhì)心，三軸指向在慣性空間保持不變。這里需要指出，本課題所述的慣性空間采用與空間機(jī)械臂研究方式類似的定義模式，認(rèn)為提供軌道運(yùn)動(dòng)的向心力與萬有引力完全一致，從而將多體系統(tǒng)在質(zhì)心附近的位置姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與軌道運(yùn)動(dòng)完全解耦處理。不考慮航天器系統(tǒng)本身在太空中所受到的軌道運(yùn)動(dòng)和萬有引力。即假設(shè)航天器是一個(gè)自由漂浮狀態(tài)的空間多體系統(tǒng)。

(2)基座衛(wèi)星本體系Ob-XbYbZb：該坐標(biāo)系中心建立在基座衛(wèi)星質(zhì)心位置，其三軸指向與基座衛(wèi)星固連，并指向基座衛(wèi)星最大、最小慣量軸方向。在任務(wù)場(chǎng)景中，航天器姿態(tài)指向的定義為基座衛(wèi)星本體系Ob-XbYbZb與慣性坐標(biāo)系Oi-XiYiZi之間的相對(duì)姿態(tài)。

(3)天線坐標(biāo)系Oa-XaYaZa：該坐標(biāo)系的中心定義在天線質(zhì)心位置，三軸指向與天線系統(tǒng)固連。在任務(wù)場(chǎng)景中，控制系統(tǒng)所測(cè)得的天線指向?yàn)樘炀€坐標(biāo)系Oa-XaYaZa與基座衛(wèi)星本體系Oi-XiYiZi的相對(duì)姿態(tài)。

圖1 帶有運(yùn)動(dòng)天線部件的航天器Fig.1 Spacecraft with movable antenna components

航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)可以描述為繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)角φ、?、φ。由基座衛(wèi)星本體系Ob-XbYbZb到慣性坐標(biāo)系Oi-XiYiZi的坐標(biāo)變換可以被通過繞三軸的三次旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)，衛(wèi)星在慣性系下的坐標(biāo)可以表示為:

vi=Rx(-φ)Ry(-?)Rz(-φ)vb

(1)

其中vi為衛(wèi)星在慣性系下的坐標(biāo)向量，vb為衛(wèi)星在本體系下的坐標(biāo)向量，Rx、Ry、Rz為3個(gè)基本的坐標(biāo)變換矩陣。而對(duì)于天線的指向的表示則更加復(fù)雜，首先需要在慣性系下定義天線指向向量vant_inertial，再通過式(1)將該向量轉(zhuǎn)換到基座衛(wèi)星本體系下：

vant_bd=Rz(φ)Ry(?)Rx(φ)vant_inertial

(2)

再通過單位向量解算得到在基座衛(wèi)星本體系下的二軸天線指向參數(shù)，即天線方位角δ和傾角σ：

(3)

而天線指向機(jī)構(gòu)的工作則是控制天線的實(shí)際指向跟隨控制需求δ和σ。

對(duì)于帶有運(yùn)動(dòng)天線的衛(wèi)星系統(tǒng)這種空間多體系統(tǒng)，一般采用拉格朗日動(dòng)力學(xué)的建模方法：

(4)

上式中，q代表系統(tǒng)廣義自由度狀態(tài)向量，F(xiàn)為系統(tǒng)各自由度所受的廣義力，t為時(shí)間變量，L則為拉格朗日量，其具體定義為：

L=T-V

(5)

對(duì)于自由漂浮的多體系統(tǒng)，我們往往認(rèn)為其總重力勢(shì)能為0，因此有：

(6)

上式中mi、Ji、ωi和vi分別代表第i個(gè)剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、相對(duì)于慣性系的絕對(duì)角速度和線速度，T和V分別代表系統(tǒng)的總動(dòng)能和總勢(shì)能。其中，剛體質(zhì)量和慣量為不隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，而ωi和vi的值可以通過牛頓-歐拉方法求得[9-10]：

(7)

(8)

其中，各個(gè)矩陣的定義分別為：

(9)

具體到本文考慮的星載天線多體系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)q應(yīng)該至少包含衛(wèi)星基座的位置姿態(tài)坐標(biāo)以及天線的方位角，即：

q=(xyzφ?φδσ)T

(10)

式中，x、y、z代表衛(wèi)星基座在慣性系下的位置坐標(biāo)，φ、?、φ為衛(wèi)星基座三軸姿態(tài)角。通過上式可知，在不考慮其他擾動(dòng)的情況下，星載天線多體系統(tǒng)的自由度為8個(gè)。

2 動(dòng)力模型的完善

在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于星載天線多體系統(tǒng)中存在撓性關(guān)節(jié)、天線反射面撓性等擾動(dòng)影響，多剛體模型不再完全適用，所以需要對(duì)動(dòng)力學(xué)模型加以完善。

2.1 考慮關(guān)節(jié)撓性的影響

撓性關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，由圖中結(jié)構(gòu)可以看出，當(dāng)實(shí)際控制電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于電機(jī)與臂桿之間的傳動(dòng)軸具有一定的扭轉(zhuǎn)撓性，會(huì)使得傳動(dòng)軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)形變，從而導(dǎo)致電機(jī)的輸出力矩?zé)o法準(zhǔn)確地傳遞到臂桿上，而是通過一個(gè)類似于彈簧阻尼的系統(tǒng)進(jìn)行傳遞。這就是撓性關(guān)節(jié)的由來[11]。

圖2 撓性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Sketch of flexible joint structure

為了準(zhǔn)確地表達(dá)出臂桿上收到的實(shí)際控制力矩，必須考慮傳動(dòng)軸的彈性勢(shì)能，顯然式(9)已經(jīng)不再適用，而使用式(10)中所示的八個(gè)自由度不足以對(duì)撓性關(guān)節(jié)進(jìn)行建模，所以，在原有星載天線多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上增加兩個(gè)關(guān)節(jié)自由度。對(duì)于撓性關(guān)節(jié)來說，如果將其代入拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行完整的推導(dǎo)，那么推導(dǎo)出來的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式將含有非常復(fù)雜的耦合項(xiàng)，這將使控制器的設(shè)計(jì)變得極其困難?？紤]到撓性關(guān)節(jié)的耦合項(xiàng)的復(fù)雜程度，并且對(duì)于系統(tǒng)來說耦合項(xiàng)是一個(gè)小量，所以實(shí)際建模時(shí)通常會(huì)忽略耦合項(xiàng)[12]，進(jìn)而得到以下考慮撓性關(guān)節(jié)的星載天線多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型：

(11)

其中q7,8為兩臂桿的轉(zhuǎn)角，θ1,2為控制兩臂桿轉(zhuǎn)動(dòng)的兩撓性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角，J為撓性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，K為撓性關(guān)節(jié)的剛度矩陣，F(xiàn)(θ)為作用在撓性關(guān)節(jié)上的控制力矩[13]。在此模型框架下，系統(tǒng)的廣義自由度從8維擴(kuò)展到了10維。由式(11)可知，控制力(矩)無法直接作用在臂桿上，只能通過控制撓性關(guān)節(jié)對(duì)臂桿間接進(jìn)行控制。

2.2 考慮天線撓性的影響

星載天線反射面具有面積大、質(zhì)量小等結(jié)構(gòu)特性，這種結(jié)構(gòu)特性就導(dǎo)致了天線反射面會(huì)具有很強(qiáng)的撓性，在天線指向控制的過程中天線反射面的振動(dòng)會(huì)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)造成相當(dāng)可觀的影響，所以必須對(duì)天線反射面撓性加以考慮。由于撓性天線反射面實(shí)際結(jié)構(gòu)為一個(gè)連續(xù)體，是一個(gè)復(fù)雜的無限自由度系統(tǒng)，無法對(duì)其動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，所以本文運(yùn)用假設(shè)模態(tài)法，將天線反射面離散成有限自由度的多自由度系統(tǒng)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)哪B(tài)縮減，在保證系統(tǒng)實(shí)質(zhì)的同時(shí)大幅縮減天線反射面的模態(tài)，進(jìn)而簡(jiǎn)化建模過程[14]。通過有限單元法求得天線反射面的模態(tài)矩陣，取前兩階振動(dòng)模態(tài)計(jì)算[15]。則天線反射面在發(fā)生振動(dòng)變形后，其質(zhì)心的速度與角速度都會(huì)產(chǎn)生偏離：

(12)

其中，ve、ωe為天線反射面質(zhì)心相對(duì)于慣性系的絕對(duì)速度和角速度。Btran、Brot分別為天線反射面的平動(dòng)撓性耦合矩陣與轉(zhuǎn)動(dòng)撓性耦合矩陣。ξ為天線反射面的模態(tài)坐標(biāo)。相應(yīng)的，系統(tǒng)的總動(dòng)能會(huì)增加含模態(tài)坐標(biāo)的項(xiàng)，而系統(tǒng)的總勢(shì)能變?yōu)閾闲蕴炀€反射面的勢(shì)能：

(13)

其中，V為系統(tǒng)的總勢(shì)能，K為天線反射面的剛度矩陣?？紤]天線撓性之后依然符合拉格朗日動(dòng)力學(xué)的形式，可以使用拉格朗日方程進(jìn)行建模，與原本系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的不同點(diǎn)在于系統(tǒng)的廣義自由度由原來的8維拓展到10維，系統(tǒng)總勢(shì)能由原來的0變?yōu)閂，推導(dǎo)可得以下緊湊形式的動(dòng)力學(xué)模型：

(14)

其中，系統(tǒng)的廣義自由度為

q=(xyzφ?φδσξ1ξ2)T

(15)

2.3 考慮動(dòng)力學(xué)參數(shù)誤差的影響

考慮到實(shí)際工程中往往會(huì)出現(xiàn)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)誤差，所以需要對(duì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)誤差進(jìn)行建模。星載天線動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所具備的參數(shù)主要包括衛(wèi)星基座質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)心位置、天線安裝位置，以及星載運(yùn)動(dòng)天線的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)心位置等。看似非常繁多，但是上述所有動(dòng)力學(xué)參數(shù)在基于拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法的緊湊動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)中都可以寫成矩陣形式：

(16)

上式中，矩陣Me，De，Ce分別為廣義質(zhì)量矩陣、廣義阻尼矩陣和非線性矩陣的誤差值。由于所有動(dòng)力學(xué)參數(shù)均為定值，因此其誤差也是定值。所以上述3個(gè)誤差矩陣實(shí)際上也是定值矩陣。在實(shí)際操作過程中，由于所有動(dòng)力學(xué)模型的解算都是基于傳感器所測(cè)量的速度、加速度來進(jìn)行計(jì)算的，因此傳感器的隨機(jī)誤差同樣會(huì)影響到控制器的設(shè)計(jì)和精度。

3 星載天線轉(zhuǎn)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

星載天線多體系統(tǒng)作為動(dòng)力學(xué)參數(shù)已知的系統(tǒng)，可以使用基于計(jì)算力矩法的滑模控制策略實(shí)現(xiàn)對(duì)星載天線的轉(zhuǎn)動(dòng)控制[16]。利用模型參數(shù)值估計(jì)誤差模型與滑?？刂破飨嘟Y(jié)合的方式，進(jìn)行星載天線轉(zhuǎn)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)。

星載天線多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如下：

(17)

根據(jù)計(jì)算力矩法，設(shè)計(jì)如下控制律：

(18)

將式(18)代入式(17)，得閉環(huán)系統(tǒng)方程為：

(19)

(20)

利用星載天線多體系統(tǒng)的如下動(dòng)力學(xué)特性：

(21)

(22)

(23)

定義

(24)

定義跟蹤控制誤差：

e=qd-q

(25)

其中qd為系統(tǒng)期望的軌跡，取滑模面為：

(26)

其中，Λ為正對(duì)角矩陣。則對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)為：

(27)

對(duì)s求導(dǎo)得：

(28)

若設(shè)

(29)

式中d為待設(shè)計(jì)向量，其作用為切換項(xiàng)，則式(27)變?yōu)椋?/p>

(30)

選取

(31)

則對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)得：

≤-η|s|≤0

(32)

滿足李雅普諾夫穩(wěn)定。

由此得出如下滑?？刂坡桑?/p>

(33)

由于還考慮了關(guān)節(jié)撓性的存在，注意到在動(dòng)力學(xué)模型里，施加在臂桿上的控制量為0，即只能通過控制撓性關(guān)節(jié)來間接實(shí)現(xiàn)對(duì)臂桿的控制，因此需要在上述方法的基礎(chǔ)上對(duì)控制器系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。

由式(11)可知，撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角只與連桿轉(zhuǎn)角是耦合的，而與星載天線系統(tǒng)基體的姿態(tài)無關(guān)。即相當(dāng)于控制力矩只施加在撓性關(guān)節(jié)上，而連桿轉(zhuǎn)角也只與撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角有關(guān)，即控制力矩?zé)o法直接作用于連桿上，而是通過控制撓性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)而間接控制連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，此過程構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的反步法，因此可以使用反步法進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)。

將式(11)變形為：

(34)

然后令

F7,8=K(θ1,2-q7,8)

(35)

即星載天線系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

(36)

由于在上式中撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角僅與連桿轉(zhuǎn)角是耦合的，可通過之前的不含撓性關(guān)節(jié)的模型求解出控制連桿轉(zhuǎn)動(dòng)需要的控制力矩，即式(35)中的F7,8，再將其代入到撓性關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程中，可構(gòu)建一個(gè)只含撓性關(guān)節(jié)的子系統(tǒng)：

(37)

即可通過F7,8求解出控制量F(θ)。

對(duì)式(37)設(shè)計(jì)如下控制律[16]：

(38)

定義Lyapunov函數(shù)

(39)

則對(duì)式(39)求導(dǎo)得

(40)

將式(38)代入式(40)得

(41)

V(t)=V(0)e-ηt

(42)

4 數(shù)值仿真

基于以上所有的動(dòng)力學(xué)模型以及控制算法，分析在不同動(dòng)力學(xué)模型的情況下控制算法的正確性和可靠性。系統(tǒng)的參數(shù)為：

表1 動(dòng)力學(xué)參數(shù)

以表2中所示算例進(jìn)行仿真驗(yàn)證：

表2 仿真參數(shù)

(b)衛(wèi)星基座三軸姿態(tài)角

(c)天線傾角與方位角

(d)撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角

(e)天線振動(dòng)位移

(f)衛(wèi)星基座三軸位置誤差

(g)衛(wèi)星基座三軸姿態(tài)角誤差

(h)天線傾角與方位角誤差

5 結(jié) 論

本文研究了考慮復(fù)雜動(dòng)力學(xué)模型的星載運(yùn)動(dòng)天線跟瞄控制問題，利用拉格朗日方法建立動(dòng)力學(xué)模型，并引入動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性，撓性關(guān)節(jié)以及天線反射面撓性對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了完善。設(shè)計(jì)了基于計(jì)算力矩法的滑模控制器，達(dá)到了比較好的控制效果。