張 陽

（太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西太原 030024）

0 引言

磨粉機(jī)的工作穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，其中磨輥輥軸沿軸線方向的彎曲變形運(yùn)動(dòng)特性直接影響磨粉機(jī)的性能和生產(chǎn)質(zhì)量[1]。輥軸在工作過程中發(fā)生彎曲變形運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，也會(huì)受到輥間壓力的影響。因此，綜合考慮輥軸橫向彎曲變形運(yùn)動(dòng)、剛性振動(dòng)與輥間壓力之間的耦合效應(yīng)，是進(jìn)行輥軸彎曲變形振動(dòng)特性研究的基礎(chǔ)，為建立輥軸彎曲動(dòng)力學(xué)模型、預(yù)測磨輥運(yùn)動(dòng)規(guī)律、提高磨粉機(jī)生產(chǎn)質(zhì)量提供了理論依據(jù)。

Kane T R等人[2]通過對作高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的彈性梁進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)彈性梁彎曲變形運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)隨著轉(zhuǎn)速的提高無限增大，首次提出“動(dòng)力剛化”的概念；Boutagou Z E等人[3]從有限元的角度對彈性梁的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了研究；Banerjee A K等人[4]認(rèn)為動(dòng)力剛化現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于剛性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力作用在彈性體上而引起的；而Ider S K等人[5]認(rèn)為動(dòng)力剛化現(xiàn)象是由彈性體彎曲變形產(chǎn)生的應(yīng)變量與剛性位移之間的非線性幾何關(guān)系引起的。

以上研究表明彈性體的剛性振動(dòng)與其自身的彎曲變形之間存在耦合關(guān)系。試驗(yàn)在上述研究基礎(chǔ)上，將磨輥輥軸視為連續(xù)彈性體，對輥軸彎曲變形與剛性運(yùn)動(dòng)之間的耦合機(jī)理進(jìn)行研究。通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立磨輥輥軸彎曲變形動(dòng)力學(xué)模型。

1 磨輥輥軸彎曲變形動(dòng)力學(xué)模型

為了研究輥間壓力對磨輥彎曲變形運(yùn)動(dòng)的影響，需要準(zhǔn)確描述輥軸空間運(yùn)動(dòng)特征。

輥軸空間運(yùn)動(dòng)的等效分解見圖1。

定義e0為慣性坐標(biāo)系，在輥軸未變形時(shí)固結(jié)在中線的非慣性系定義為浮動(dòng)坐標(biāo)系e1?？紤]輥軸兩側(cè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的不同，分別引入繞X軸、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω1、ω3，將輥軸空間運(yùn)動(dòng)等效為輥軸的平面運(yùn)動(dòng)與輥軸繞X軸和Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。同時(shí)考慮輥軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，引入繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω2。故可定義ω為系統(tǒng)的角速度列陣，且有

以半輥身長度的輥軸為研究對象，取輥軸軸身上的任意一點(diǎn)P進(jìn)行研究。

輥軸運(yùn)動(dòng)學(xué)描述見圖2。

圖1 輥軸空間運(yùn)動(dòng)的等效分解

圖2 輥軸運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

將P點(diǎn)對應(yīng)的位移矢量記為u；輥軸發(fā)生彎曲變形前后，點(diǎn)P和P'在相對坐標(biāo)系中的矢徑分別為ρ0，ρ；點(diǎn)P在絕對坐標(biāo)系中的矢徑為r。則由平面運(yùn)動(dòng)的合成原理，矢徑r可以表示為

由公式（2） 可得點(diǎn)P的加速度表達(dá)式

由公式（3） 可知，u可用來表征輥軸上任意一點(diǎn)的彈性變形運(yùn)動(dòng)，且有

由歐拉-伯努利梁模型可知，輥軸的應(yīng)變能可表示為

由圖2可知，公式（9）中σy、εy分別為輥軸沿Y方向的正應(yīng)力、正應(yīng)變，考慮應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并將公式（7）代入公式（9）得

式中：δW——輥間壓力增量Δf所作的虛功。

將公式（8）、公式（10）代入公式（11）中，則磨輥輥軸剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

其中，r01、r02、r03分別為輥軸剛性振動(dòng)位移r0沿X、Y、Z軸的位移分量。考慮磨輥輥軸的受力狀態(tài)，利用公式（12）來分析輥軸變形運(yùn)動(dòng)的動(dòng)特性。基于彈性基礎(chǔ)梁模型，磨輥間增量Δf應(yīng)與輥軸彈性變形量w成正比，即

式中：K——輥間彈性系數(shù)。

將公式（13） 帶入式（12），為了研究方便，模型忽略輥軸的剛性振動(dòng)位移，且考慮輥軸繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，則可得到磨輥輥軸的變形運(yùn)動(dòng)微分方程

2 輥軸彎曲變形運(yùn)動(dòng)求解

為了求解輥軸的模態(tài)函數(shù)，需對式(14)進(jìn)行求解。考慮半輥身長度為懸臂梁的情形，則輥軸兩端的邊界條件可寫為

令：

其中，w(y)為輥軸彎曲變形振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)，將公式（16） 帶入公式（15） 中，分離變量可得

求解式(17)，設(shè)方程的四個(gè)線性無關(guān)解為

將公式（18）代入公式（17），可得ark的遞推表達(dá)式為

注意到，當(dāng)k

則公式（17） 通解可設(shè)為

將邊界條件（15）代入式（24），可得輥軸橫向彎曲變形振動(dòng)模態(tài)振型的解析解

將式（16）、（25）代入式（14）中，可得輥軸彎曲變形動(dòng)力學(xué)方程

試驗(yàn)以某廠發(fā)生振動(dòng)的磨粉機(jī)為研究對象，進(jìn)行仿真分析。

計(jì)算參數(shù)見表1。輥軸一階彎曲變形振動(dòng)動(dòng)特性曲線見圖3，輥軸二階彎曲變形振動(dòng)動(dòng)特性曲線見圖4。

表1 計(jì)算參數(shù)

圖3 輥軸一階彎曲變形振動(dòng)動(dòng)特性曲線

圖4 輥軸二階彎曲變形振動(dòng)動(dòng)特性曲線

3 結(jié)論

研究考慮了磨粉機(jī)工作過程中磨輥輥間壓力對輥軸彎曲變形動(dòng)力學(xué)特性的影響，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，實(shí)現(xiàn)柔性多體機(jī)械系統(tǒng)中可變形體的位移場描述，基于彈性梁變形理論和Hamilton變分原理，建立了磨輥輥軸彎曲變形動(dòng)力學(xué)模型。模型的建立為準(zhǔn)確預(yù)測磨輥彎曲動(dòng)特性、提高磨粉機(jī)生產(chǎn)質(zhì)量奠定了理論基礎(chǔ)。