俞凱君 許子非 李春

摘? 要： 分形維是一種可以量化表征事物非線(xiàn)性特性的參數(shù)。本文首先介紹了單分形維數(shù)和多重分形維數(shù)。然后對(duì)采集到的高速軸承正常狀態(tài)、內(nèi)環(huán)及外環(huán)故障時(shí)振動(dòng)信號(hào)作小波去噪處理;最后，利用編寫(xiě)的盒維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)及多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)法算法，對(duì)去噪后的信號(hào)進(jìn)行單一分形與多重分形軸承故障識(shí)別分析。結(jié)果表明：振動(dòng)信號(hào)具有強(qiáng)多重分形特征，采用多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)算法能良好識(shí)別軸承故障;對(duì)比分析可知，單一分形維在描繪非線(xiàn)性特征方面有局限性，多重分形在刻畫(huà)動(dòng)力學(xué)非線(xiàn)性特征方面具有一定的優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞： 分形維;多重分形;去趨勢(shì)波動(dòng)分析;Hurst指數(shù);軸承故障識(shí)別

中圖分類(lèi)號(hào)： TH133? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.10.003

本文著錄格式：俞凱君，許子非，李春. 單一分形與多重分形軸承故障識(shí)別算法的研究[J]. 軟件，2019，40（10）：1115

Study on Bearing Fault Identification Algorithm Using Single Fractal and Multifractal

YU Kai-jun， XU Zi-fei， LI Chun*

（School of Energy and Power Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

【Abstract】： Fractal dimension is a parameter that can quantify the nonlinear characteristics of things. This paper first introduces the single fractal dimension and the multifractal dimension. Then， the wavelet denoising processing was applied to the collected signals， which include the high-speed bearing under normal state， the vibration signal of the inner ring and the outer ring under fault state; finally， the signal were analyzed for single fractal and multi-fractal bearing fault identification using? box dimension， correlation dimension and multifractal detrended fluctuation analysis （DFA）. The results show that the vibration signal has strong multi-fractal characteristics， and the multi- fractal DFA can identify the bearing fault well. The comparison analysis shows that the single fractal dimension has limitations in depicting the dynamic nonlinear characteristics. Multifractal has certain advantages in characterizing dynamic nonlinear characteristics.

【Key words】： Fractal dimension; Multifractal; Detrended fluctuation analysis; Hurst exponent; Bearing fault identification

0? 引言

近年來(lái)，非線(xiàn)性問(wèn)題得到廣泛關(guān)注，分形學(xué)也滲透到各個(gè)領(lǐng)域，因其具有完備的數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用價(jià)值得到迅速發(fā)展。分形維數(shù)作為非線(xiàn)性特征的一種表征手段，可有效描述事物的非線(xiàn)性特性，同時(shí)，它也可作為一種事物非線(xiàn)性量化度量參數(shù)[1]。

分形是指不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的物體，可以認(rèn)為局部和整體存在一定意義上的相似[2]，且具有自相似性與無(wú)標(biāo)度性的特性[3]。分形維數(shù)以數(shù)值形式的出現(xiàn)，其量化具有直接、簡(jiǎn)單、直觀等特點(diǎn)。目前，分形分為單重分形與多重分形兩類(lèi)。單分形中有許多關(guān)于分形維數(shù)的定義，包括自相似維數(shù)、Hausdorff維數(shù)、盒維數(shù)、信息維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)等。相對(duì)于單分形，多重分形定義在在分形上由多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的奇異測(cè)度所組成的無(wú)限集合，可反映信號(hào)整體分形結(jié)構(gòu)上概率測(cè)度分布的比例不均勻性，可提升對(duì)信號(hào)幾何特性及局部尺度的刻畫(huà)精度[4]。

分形維數(shù)是軸承故障診斷領(lǐng)域中主要的故障特征量[5]。本研究利用編寫(xiě)的盒維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)及多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)法算法，對(duì)去噪后的信號(hào)進(jìn)行單一分形與多重分形軸承故障識(shí)別分析。

1? 單分形維數(shù)

1.1? 盒維數(shù)

基于集合覆蓋思想所提出的盒維數(shù)計(jì)算因計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單而被應(yīng)用廣泛。設(shè)是的非空有界子集，記表示最大直徑為且能覆蓋集合的最少個(gè)數(shù)，則的盒維數(shù)定義為[6]：

（1）

設(shè)離散信號(hào)，是維歐式空間上的閉集。用盡可能細(xì)的網(wǎng)格劃分，是集合的網(wǎng)格數(shù)。由于式（1）無(wú)法直接按定義求出，因此計(jì)算時(shí)采用近似的方法。以網(wǎng)格為基準(zhǔn)，逐步放大到網(wǎng)格，其中。

（2）

（3）

式中：;為采樣點(diǎn)數(shù); ;為離散空間上的集合的網(wǎng)格計(jì)數(shù)。

在圖中確定選取線(xiàn)性較好的一段為無(wú)標(biāo)度區(qū)，設(shè)無(wú)標(biāo)度區(qū)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為、，則：

（4）

最后，用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合求得該直線(xiàn)的斜率：

（5）

盒維數(shù)為：

（6）

1.2? 關(guān)聯(lián)維數(shù)

關(guān)聯(lián)維數(shù)從點(diǎn)與點(diǎn)之間相關(guān)性出發(fā)，可反映集合各數(shù)據(jù)點(diǎn)的相關(guān)性。1983年，最早由Grassberger和Procaccia根據(jù)嵌入理論和重構(gòu)相空間思想，提出了一種由時(shí)間序列直接計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)D的算法，即G-P算法[7-8]。

長(zhǎng)度為N的時(shí)延法可以構(gòu)成長(zhǎng)度為、維數(shù)為m的相空間。重構(gòu)相空間的維數(shù)m稱(chēng)為嵌入維數(shù)。設(shè)原始信號(hào)時(shí)間序列為，重構(gòu)相空間矩陣可表示為

（7）

式中，為延遲時(shí)間;，為重構(gòu)相空間中向量的個(gè)數(shù)，。關(guān)聯(lián)維數(shù)可由式（2）導(dǎo)出，即：

（8）

式中，;H為Heaviside函數(shù)， ;r為相空間中超球半徑;為兩矢量間距離。是信號(hào)的相關(guān)積分，與r存在以下關(guān)系：

（9）

式中，當(dāng)時(shí)，為關(guān)聯(lián)維數(shù)，為：

（10）

2? 多重分形

多重分形對(duì)于單分形，從多尺度角度刻畫(huà)非線(xiàn)性程度[9]。

2.1? 廣義Hurst指數(shù)

針對(duì)振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列，MF-DFA[10]計(jì)算步驟如下：

（1）求振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列對(duì)于均值的累積離差：

（11）

式中：為時(shí)間序列的均值。

（2）將劃分為長(zhǎng)度為s的m個(gè)等長(zhǎng)子區(qū)間，m=int（N/s）。由于N不一定整除s，因此再?gòu)牡姆捶较蛑貜?fù)這一過(guò)程，即得到2m個(gè)等長(zhǎng)子區(qū)間。

（3）采用最小二乘法擬合每一子區(qū)間的均方誤差。當(dāng)時(shí)，

（12）

當(dāng)時(shí)，

（13）

式中：是第v個(gè)子區(qū)間的r階擬合多項(xiàng)式，擬合階數(shù)r反映了“趨勢(shì)”被消除的程度，階數(shù)越高，“趨勢(shì)”消除效果越好，但會(huì)增加計(jì)算時(shí)間。

（4） 對(duì)2m個(gè)子區(qū)間，定義q階波動(dòng)函數(shù)為：

（14）

當(dāng)q=2時(shí)，MF-DFA即為標(biāo)準(zhǔn)DFA方法。

（5）改變子區(qū)間長(zhǎng)度s的大小，重復(fù)步驟（1）～（4）。若時(shí)間序列存在長(zhǎng)程相關(guān)性，則q階波動(dòng)函數(shù)與s之間存在如下冪律關(guān)系：

（15）

若時(shí)間序列只具有單重分形特性時(shí)，廣義Hurst指數(shù)為常數(shù)，且當(dāng)時(shí)間序列不相關(guān)或短程相關(guān)時(shí)，=1/2;當(dāng)時(shí)間序列存在多重分形特性時(shí)，與q呈非線(xiàn)性關(guān)系。

2.2? 多重分形譜

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)配分函數(shù)可得標(biāo)度指數(shù)，其與廣義Hurst指數(shù)之間的關(guān)系為：

（16）

根據(jù)統(tǒng)計(jì)物理中的Legendre變換式，可得奇異指數(shù)和譜函數(shù)分別為：

（17）

（18）

將式（16）代入式（17）和式（18），可得多重分形譜奇異指數(shù)和譜函數(shù)與廣義Hurst指數(shù)之間的關(guān)系如下：

（19）

（20）

根據(jù)譜函數(shù)可判斷時(shí)間序列分形特征。當(dāng)為常數(shù)時(shí)，時(shí)間序列具有單重分形特征;若變化規(guī)律為單峰值曲線(xiàn)，則該時(shí)間序列具有多重分形特征，將的區(qū)間記為。

3? 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

3.1? 數(shù)據(jù)來(lái)源及處理方法

通過(guò)對(duì)風(fēng)力機(jī)增速箱中加裝傳感器，分別采集高速軸軸承正常狀態(tài)、內(nèi)環(huán)及外環(huán)故障時(shí)振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為1000 kHz。通過(guò)MATLAB2018b編程實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的小波去噪，自編寫(xiě)盒維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)及多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)法算法，處理去噪后的信號(hào)并進(jìn)行結(jié)果比對(duì)。

3.2? 數(shù)據(jù)降噪處理

采用小波降噪方法，對(duì)軸承三種狀態(tài)進(jìn)行降噪處理，處理前后的正常狀態(tài)，發(fā)生內(nèi)環(huán)及外環(huán)故障時(shí)振動(dòng)信號(hào)如圖1與圖2所示。

由圖1與圖2可知，未經(jīng)處理的正常、內(nèi)圈及外圈軸承振動(dòng)信號(hào)的最大值分別為6.75 m·s–1、7.85 m·s–1及7.83 m·s–1;經(jīng)小波降噪處理后的最值分別為6.6 m·s–1、7.15 m·s–1及7.38 m·s–1，使得正常與故障間區(qū)分度變大。

3.3? 盒維數(shù)分析

由表可知，三種狀態(tài)的分形維數(shù)各不相同，其中內(nèi)環(huán)故障分形盒維數(shù)最小，外環(huán)故障的分形盒維數(shù)最大，但是僅單分形盒維數(shù)難以區(qū)分正常及外環(huán)故障的狀態(tài)。

3.4? 關(guān)聯(lián)維數(shù)分析

對(duì)不同狀態(tài)的軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行關(guān)聯(lián)維數(shù)分析，不同嵌入維數(shù)m下的變化關(guān)系曲線(xiàn)如圖3所示，軸承不同工作狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)變化關(guān)系如圖4所示。

如圖3可知，較大尺度導(dǎo)致關(guān)聯(lián)積分保持不變，雙對(duì)數(shù)曲線(xiàn)平行與坐標(biāo)軸，并稱(chēng)其為無(wú)標(biāo)度區(qū)間，采用最小二乘擬合法得到關(guān)聯(lián)位數(shù)。

由圖4可知，當(dāng)嵌入維數(shù)大于24時(shí)，關(guān)聯(lián)維數(shù)趨于穩(wěn)定。軸承處于不同狀態(tài)時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)亦有所不同。軸承處于正常狀態(tài)時(shí)，取兩位有效數(shù)字，其振動(dòng)信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)為4.0;而當(dāng)軸承分別發(fā)生內(nèi)環(huán)或外環(huán)故障時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)分別為3.0與4.7。因此，關(guān)聯(lián)維數(shù)較分形盒維數(shù)可較好區(qū)分故障狀態(tài)。

3.5? 廣義Hurst指數(shù)分析

采用多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)法分析三種軸承狀態(tài)，其廣義Hurst指數(shù)隨標(biāo)度變化如圖5所示。

由圖5可知，廣義Hurst指數(shù)隨q非線(xiàn)性變化，表明振動(dòng)信號(hào)具備多重分形特征，且可良好區(qū)分三種狀態(tài)。

3.6? 多重分形譜分析

在分析振動(dòng)信號(hào)的標(biāo)度指數(shù)與廣義Hurst指數(shù)后，可明顯判定風(fēng)力機(jī)齒輪箱軸承振動(dòng)信號(hào)具有典型的多重分形特性。計(jì)算振動(dòng)信號(hào)多重分形譜，其結(jié)果如圖6所示。

風(fēng)力機(jī)齒輪箱軸承振動(dòng)信號(hào)的多重分形譜均呈單峰鐘形，此特點(diǎn)充分說(shuō)明振動(dòng)信號(hào)具有明顯的多重分形特性，且不同波形相差明顯，可區(qū)分不同的軸承狀態(tài)。

4? 結(jié)論

本文采用兩種單重分形算法（盒維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)）對(duì)不同工作狀態(tài)軸承信號(hào)進(jìn)行分析，同為描述非線(xiàn)性特征的盒維數(shù)僅能區(qū)別內(nèi)圈故障信號(hào)與其余狀態(tài)，但關(guān)聯(lián)維數(shù)在區(qū)分三種故障狀態(tài)時(shí)表現(xiàn)較好。又采用多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)方法刻畫(huà)振動(dòng)信號(hào)在不同標(biāo)度下廣義Hurst指數(shù)變化與多重分形譜，結(jié)果表明：振動(dòng)信號(hào)具有強(qiáng)多重分形特征，且能良好區(qū)分軸承三種工作狀態(tài);對(duì)比分析可知，單一分形維在一定程度上難以準(zhǔn)確描繪出非線(xiàn)性特征，多重分形在刻畫(huà)動(dòng)力學(xué)非線(xiàn)性特征方面具有一定的優(yōu)點(diǎn)。

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