徐永帥，陳 純，房 舟，王佳偉，徐慧茹

(陜西理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

十字軸式萬向聯(lián)軸器可用來連接兩相交軸，作為機械傳動中的重要部件，自問世以來受到廣大專家、學(xué)者的青睞。由于具有結(jié)構(gòu)簡單、使用壽命長、傳動效率高、維護(hù)方便等優(yōu)點，在汽車等行業(yè)得到廣泛應(yīng)用[1-4]。十字軸式萬向聯(lián)軸器在連接兩相交軸時，由于兩軸間存在夾角，會使得輸出軸的轉(zhuǎn)動存在速度波動，傳遞運動與動力不平穩(wěn)。因此許多專家、學(xué)者先后對其運動特性做了分析，如范景峰等[5]對單十字軸利用平面法線的運動軌跡對聯(lián)軸器的運動規(guī)律做了研究；陳科等[6]利用空間幾何投影的方法建立了雙聯(lián)虎克萬向節(jié)的運動過程，分析了聯(lián)軸器傳動比及轉(zhuǎn)角差的影響因素；王學(xué)鋒等[7]利用數(shù)值方法對三叉滑移型聯(lián)軸器機構(gòu)在單徑向軸承和調(diào)心軸承安裝時進(jìn)行了理論分析，得到其為一種準(zhǔn)等角速萬向聯(lián)軸器的結(jié)論；常德功等[8]利用空間機構(gòu)坐標(biāo)變換方法對三叉桿滑塊式萬向聯(lián)軸器做了運動分析；李寧等[9]定量分析了相位角對傳動比的影響，得出傳動軸相位角與傳動面夾角相等且方向相反時對傳動比影響最小。同時也有其他專家、學(xué)者對不同的萬向聯(lián)軸器做了大量的研究[10-14]。

為了了解十字軸式萬向聯(lián)軸器在不同軸間夾角下輸入、輸出軸間的運動關(guān)系，本文擬通過建立聯(lián)軸器的空間模型，運用向量法對其進(jìn)行研究。最后運用ADAMS仿真，并進(jìn)行數(shù)值分析，驗證所建立的模型及分析結(jié)果的正確性。

1 運動學(xué)建模

十字軸式萬向聯(lián)軸器如圖1所示，輸入軸與輸出軸通過十字軸連接，在聯(lián)軸器上建立坐標(biāo)系，輸出軸的軸線與Y軸重合，十字軸的水平軸線與X軸重合，根據(jù)右手定則確定Z軸，輸入軸軸線與Y軸正向的夾角定義為β(即輸入、輸出軸間的夾角為β)。

根據(jù)所建立的十字軸式萬向聯(lián)軸器的三維模型，將三維摸型轉(zhuǎn)換為空間幾何模型，如圖2所示?！鰽BC和△EFG分別表示十字軸式萬向聯(lián)軸器的輸出軸和輸入軸的平衡位置，其中OA和OG分別表示輸出、輸入軸的軸線，OG與Y軸正向夾角為β。當(dāng)輸入軸(△EFG)繞著其軸線OG以角速度ω1旋轉(zhuǎn)α1角度時，相應(yīng)的輸出軸(△ABC)會繞著其軸線OA以角速度ω2旋轉(zhuǎn)α2角度，此時輸出、輸入軸分別到達(dá)新的位置(△A′B′C′、△E′F′G′)。

圖1 十字軸式萬向聯(lián)軸器模型 圖2 聯(lián)軸器空間幾何模型

從十字軸式萬向聯(lián)軸器的三維模型中可知十字軸的水平軸和豎直軸相互垂直，即BC⊥EF，亦即OB⊥OF，同理可知在新的位置同樣有OB′⊥OF′。

由于直線OG與Y軸正向夾角為β，故直線EF與Z軸的夾角也為β，當(dāng)輸入、輸出軸分別繞著其軸線OG、OA分別以角速度ω1、ω2旋轉(zhuǎn)α1、α2角度時，假設(shè)OB=OF=R，則在新的位置(△E′F′G′、△A′B′C′)易得點B′的坐標(biāo)為(Rcosα2，0，Rsinα2)，故OB′={Rcosα2，0，Rsinα2}。

圖3 輸入軸空間模型

則F′的坐標(biāo)為(-Rcosβsinα1cosβ，Rcosβsinα1sinβ，Rcosβcosα1)，故

OF′={-Rcosβsinα1cosβ，Rcosβsinα1sinβ，Rcosβcosα1}。

又由OB′⊥OF′，即

OB′·OF′=0，

(1)

{Rcosα2，0，Rsinα2}·{-Rcosβsinα1cosβ，Rcosβsinα1sinβ，Rcosβcosα1}=0，

(2)

整理式(2)可得：

(3)

整理式(3)得：

α2=arctan(cosβtanα1)，

(4)

式(4)即為十字軸式萬向聯(lián)軸器的位置方程；

將式(4)對時間求導(dǎo)得聯(lián)軸器的速度方程：

(5)

將式(4)對時間求二階導(dǎo)數(shù)得聯(lián)軸器的加速度方程：

(6)

2 運動學(xué)仿真

為了驗證所建立的十字軸式萬向聯(lián)軸器運動學(xué)模型的正確性，利用ADAMS仿真軟件對聯(lián)軸器進(jìn)行運動學(xué)仿真分析。

分析可知聯(lián)軸器前半個周期的運動與后半個周期完全相同，故這里只做其前半個周期的仿真分析。給輸入軸輸入ω1=10 (°)/s(t∈[0，18 s])的轉(zhuǎn)動速度，分別對輸入、輸出軸軸間夾角β=0°、25°、45°時進(jìn)行仿真分析(β=0°時的輸出軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)可代表不同β值下輸入軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài))，仿真結(jié)果如圖4—圖6所示。

圖4 轉(zhuǎn)動角度曲線 圖5 轉(zhuǎn)動速度曲線

圖6 轉(zhuǎn)動加速度曲線

分析圖4可知，給輸入軸輸入ω1=10 (°)/s的轉(zhuǎn)動速度，當(dāng)輸入、輸出軸軸間夾角β=0°時，輸入、輸出軸的轉(zhuǎn)角是相同的(均為一條傾斜的直線)，轉(zhuǎn)角差為0，當(dāng)β=25°時輸出軸轉(zhuǎn)角曲線與輸入軸產(chǎn)生偏差，當(dāng)β=45°時輸出軸轉(zhuǎn)角曲線與輸入軸有明顯偏差。在β=25°、45°時，輸出軸轉(zhuǎn)角曲線前9 s處于β=0°曲線(輸入軸轉(zhuǎn)角曲線)的下方，后9 s處于上方，且隨著輸入、輸出軸軸間夾角β的增大，輸出軸轉(zhuǎn)角曲線偏離β=0°曲線的程度也在增大。在t=9、18 s時(90°、180°)三條曲線重合。

分析圖5可知，輸入、輸出軸夾角β=0°時其轉(zhuǎn)速完全相等(均為10 (°)/s)，β≠0°時輸出軸的轉(zhuǎn)速隨著夾角β的增大偏離輸入軸的程度越大，且轉(zhuǎn)速均在前9 s逐漸增大，后9 s逐漸減小，并關(guān)于t=9 s處對稱。β=25°時，在t∈[0，4.6 s]與[13.4 s，18 s]上輸出軸轉(zhuǎn)速小于輸入軸，在[4.6 s，13.4 s]上大于輸入軸轉(zhuǎn)速；β=45°時，在t∈[0，5 s]與[13 s，18 s]上輸出軸轉(zhuǎn)速小于輸入軸，在[5 s，13 s]上大于輸入軸轉(zhuǎn)速。t=9 s時速度達(dá)到最大，t=0、18 s時速度最小且相等，β=25°時速度最大為11.033 8(°)/s，最小為9.065 1(°)/s，β=45°時速度最大為14.143 8(°)/s，最小為7.035 7(°)/s。

分析圖5亦可知，β≠0°時輸出軸在前9 s加速大于零，后9 s加速度小于零，在9 s時加速度等于零，速度達(dá)到最大，且加速度曲線關(guān)于t=9 s處成中心對稱，這與速度曲線圖像分析結(jié)果是一致的。β=0°時輸出軸加速度恒為0。β=25°時，在t=5 s處加速度達(dá)到最大為0.347 2(°)/s2，在t=13 s處加速度最小為-0.347 2(°)/s2；β=45°時，在t=6.2 s處加速度達(dá)到最大為1.374 0(°)/s2，在t=11.8 s處加速度最小為-1.374 0(°)/s2。

為了驗證所建立的運動學(xué)模型的正確性，分別取t=3、6、9、12、15 s時不同β值下的理論計算值與仿真值進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 不同β值下的理論計算值與仿真值

分析表1中的數(shù)據(jù)可知，在β=25°時，理論計算值與仿真值的角度最大偏差為0.001°，速度最大偏差為0.000 4 (°)/s，加速度最大偏差為0.000 2(°)/s2；β=45°時，理論計算值與仿真值的角度最大偏差為0.003 6°，速度最大偏差為0.000 5 (°)/s，加速度最大偏差為0.000 2(°)/s2，偏差均很小。輸出軸轉(zhuǎn)速關(guān)于t=9 s(90°)成對稱關(guān)系，加速度關(guān)于t=9 s(90°)成中心對稱關(guān)系。隨著β的增加，各數(shù)據(jù)偏離t=9 s時數(shù)據(jù)的程度也越大，這與仿真曲線的分析結(jié)果一致，再次證明了運動學(xué)模型的正確性。

3 結(jié) 論

根據(jù)所建立的十字軸式萬向聯(lián)軸器的運動學(xué)方程以及對該聯(lián)軸器的運動學(xué)仿真分析，可得出以下結(jié)論：

(1)十字軸式萬向聯(lián)軸器的一個完整的運動周期內(nèi)包含著兩個運動狀態(tài)完全相同的半周期；

(2)在其半個周期內(nèi)，輸出軸的角速度關(guān)于其轉(zhuǎn)角90°處成軸對稱關(guān)系，角加速度成中心對稱關(guān)系；

(3)隨著輸入、輸出軸間夾角β的增大，輸出軸運動狀態(tài)曲線偏離輸入軸的程度越大，但在輸入軸運動狀態(tài)曲線的兩側(cè)周期性的波動。