董斌斌

（河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，河南焦作）

1.1 由復(fù)數(shù)起源到初識(shí)復(fù)變函數(shù)

18世紀(jì)以來，隨著實(shí)分析的不斷完善與發(fā)展，分析中的另一理論——復(fù)變函數(shù)論也在不斷地發(fā)展壯大。復(fù)變函數(shù)以復(fù)數(shù)為自變量，與實(shí)分析相對(duì)應(yīng)，因此可稱之為復(fù)分析。復(fù)分析就在此后不久的19世紀(jì)茁壯成長(zhǎng)，其最初的引出只是為了求解一些實(shí)積分，但隨著Cauchy、Riemann和Weierstra的努力，復(fù)分析不斷發(fā)展，成為了現(xiàn)代分析的重要研究領(lǐng)域之一[1]。

1.2 C-R方程的發(fā)現(xiàn)

C-R方程來自于Cauchy于1827年出版的論文《關(guān)于定積分理論的報(bào)告》(Memoires sur la theorie des integrales definies)(下稱《報(bào)告》)。這是本應(yīng)在1814年就應(yīng)發(fā)表的一篇論文，卻由于坡旁王朝正值機(jī)構(gòu)改組而推遲了13年．在1825年9月14日送去印刷的期間，Cauchy為《報(bào)告》增添了兩個(gè)注解，反映了在這一段時(shí)間內(nèi)該領(lǐng)域的發(fā)展和Gauss在這一期間工作的影響．本文在這里將簡(jiǎn)單介紹下《報(bào)告》中C-R方程的發(fā)現(xiàn)．

1.3 復(fù)積分定義及復(fù)變函數(shù)的一些理論

復(fù)積分的定義對(duì)了解復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)具有重要的意義，而復(fù)變函數(shù)主要研究的內(nèi)容就是解析函數(shù)．解析函數(shù)具有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：若函數(shù)解析，則解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微并滿足Cauchy-Riemann方程[8]。

2.1 解析函數(shù)的定義

Cauchy-Riemann方程是研究解析函數(shù)的重要工具之一[9]，是函數(shù)解析的必要條件。而解析函數(shù)又可分為單變量與多變量?jī)纱箢?，單變量解析函?shù)的奇點(diǎn)定義和函數(shù)解析的判定如下：

2.2 求解復(fù)積分的思路與定理

3 積分的計(jì)算

上面介紹了復(fù)積分的一些計(jì)算方法，而具體如何使用這些方法則需要根據(jù)不同的積分采用不同的方法．這里將其分為兩類，一為復(fù)積分的計(jì)算問題，一為利用復(fù)變函數(shù)方法來解決實(shí)積分類型的問題．

3.1 復(fù)積分的計(jì)算

3.2 實(shí)積分的計(jì)算

為解決上述實(shí)積分問題，思路就如同上面復(fù)積分的計(jì)算問題，或可通過變量代換轉(zhuǎn)化為留數(shù)定理適用的情況去解決，或可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)并引入不同的路徑使其適用于留數(shù)定理，或可根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部分離積分值，進(jìn)而得到需要的積分值等等．