江蘇省淮州中學 李錦國

建模能力是學生綜合能力的重要組成，建模能力的培養(yǎng)不僅可以幫助學生內(nèi)化對新知的系統(tǒng)認知，更能促進學生深度領(lǐng)會和理解知識，形成對數(shù)學的深層次認識。為此，我們在平時的數(shù)學教學中，要不斷滲透數(shù)學建模思想的教育，引導(dǎo)學生真正融入數(shù)學的內(nèi)在。在高中數(shù)學教學中，常見的數(shù)學模型有：方程模型、函數(shù)模型和幾何模型等等，建立這三種模型的基礎(chǔ)是對題干條件進行分析，探究其中的等量關(guān)系、變量關(guān)系和位置關(guān)系。下面就結(jié)合具體的例題對如何探究這三種關(guān)系，切實地提高學生的建模能力展開論述。

一、分析等量關(guān)系，建立方程模型

等量及不等關(guān)系是生活中最常見到的數(shù)學關(guān)系，在生活實際中有著廣泛的應(yīng)用場景，如何指導(dǎo)學生提煉出題干中的等量關(guān)系，正確地列出方程是教師的重要任務(wù)。在根據(jù)數(shù)學等量關(guān)系建立方程模型時，最首要的任務(wù)就是先找到題干中給出了幾種變量，然后依次分析每一種變量所對應(yīng)的等量及不等關(guān)系，之后列出多元方程組進行求解。

比如，在講解“不等關(guān)系與不等式”這一小節(jié)的內(nèi)容時，就指導(dǎo)學生分析題干中的不等關(guān)系，列出方程組模型，解決問題。有習題如下：某地需要租車接待旅行團290 名旅客，共有100 件行李，計劃租用甲、乙兩種車共8 輛，甲型車可以載客40 人和10 件行李，乙型車最多載客30 人和行李20 件，求出共有幾種租車方案。在這一題中的不等關(guān)系需要根據(jù)生活常識提煉得出，最后租用的車必須能夠滿足載290 旅客和100 件行李的需求。所以可以設(shè)租用甲車x輛，則乙車為(8-x)輛，可以列出方程，從而得出最終結(jié)果。

由此可見，指導(dǎo)學生分析題干條件，探究等量關(guān)系的能力是提高同學們數(shù)學方程建模本領(lǐng)的重要手段?！笆谌艘贼~不如授人以漁”，教師在講解時更重要的是教給同學們建模的方法，而不是簡單地將結(jié)果展示給學生，因此在課堂中，教師應(yīng)當適當?shù)亟Y(jié)合例題引導(dǎo)學生探究題干中的等量關(guān)系，建立方程模型進行求解。

二、梳理變量關(guān)系，建立函數(shù)模型

當多元方程組難以解決問題時就可以嘗試建立二次函數(shù)模型，梳理題干中的變量關(guān)系，設(shè)出關(guān)鍵未知數(shù)，然后根據(jù)變量關(guān)系列出正確的二次函數(shù)解析式，根據(jù)相應(yīng)函數(shù)的特性，探究某一變量跟隨未知數(shù)的變化關(guān)系，求解其極值或者變化趨勢等一些常見問題。

可見，函數(shù)方程可以深入地利用函數(shù)的原理以及性質(zhì)求解生活中常見的最優(yōu)化問題，教給學生如何樹立變量關(guān)系，搭建函數(shù)模型，不僅可以幫助學生更深入地理解常見數(shù)學函數(shù)的表達和原理，最重要的是給同學們提供一種利用數(shù)學知識解決問題的思路，為學生未來的科研探究或者生活問題求解打下了基礎(chǔ)，更提升了學生的數(shù)學能力。

三、討論位置關(guān)系，建立幾何模型

幾何知識是數(shù)學學科的一個重要板塊，利用幾何原理求解實際應(yīng)用問題也是數(shù)學學科的一個重要應(yīng)用。建立幾何模型的基礎(chǔ)是明確空間中的位置關(guān)系，結(jié)合所學的幾何知識原理對問題進行求解。因此，教師在指導(dǎo)學生搭建幾何模型時，應(yīng)該著重講解常用的位置關(guān)系以及如何利用這些關(guān)系聯(lián)想到所學的知識，從而完成模型的搭建。

比如，在講解了雙曲線的方程表示和基本性質(zhì)之后，就指導(dǎo)學生根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)解決實際問題：在相距為10v的A、B兩地偵測到同一爆炸聲響的時間差為6 秒，并且B點的聲強是A點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，計算爆炸點到A、B中點的距離。這一位置關(guān)系就需要轉(zhuǎn)化為雙曲線的幾何模型求解。以A、B的中點為坐標原點，AB連線作為橫軸，則可以得出爆炸點P滿足式子：||PA|-|PB||=6v，|PA|=2|PB|，并且|AB|=10v，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為已知一個雙曲線上的某一點距離曲線和兩個焦點的距離滿足|PA|=2|PB|，因此可以確定該點的坐標為(v,v)。

由此可見，幾何模型的搭建可以快速地解決一些利用其他模型難以解決的問題，可以利用幾何模型為空間位置問題和其他的數(shù)學模型搭建一個知識橋梁，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組、函數(shù)模型或者解析幾何的知識展開求解。通過幾何模型解決實際問題不僅能夠優(yōu)化解題思路，更可以助力學生幾何空間思維的發(fā)展，提升其數(shù)學核心素養(yǎng)。

綜上所述，數(shù)學模型思維是解決實際問題的重要紐帶，可以實現(xiàn)理論知識到實際問題求解的快速轉(zhuǎn)換，有效地提高學生的數(shù)學應(yīng)用能力，從而提升學生的數(shù)學解題本領(lǐng)。因此，教師應(yīng)該加強指導(dǎo)學生的建模能力，幫助學生學會如何分析題干中的數(shù)學等量關(guān)系、變量之間的函數(shù)關(guān)系以及幾何空間中的位置關(guān)系，提升學生的建模能力，發(fā)展其核心素養(yǎng)。