賈路　阮鑫鑫　劉章軍

摘要：提出一種近斷層脈沖型地震動(dòng)模擬的降維方法，將近斷層脈沖型地震動(dòng)分解為高頻和低頻2個(gè)部分：采用譜表示與隨機(jī)函數(shù)方法生成高頻加速度時(shí)程，并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的速度時(shí)程;采用Gabor小波模擬低頻速度脈沖時(shí)程，將高低頻的速度時(shí)程疊加得到合成的地震動(dòng)速度時(shí)程，并轉(zhuǎn)化得近斷層脈沖型地震動(dòng)的加速度和位移時(shí)程。結(jié)果表明：用3個(gè)基本隨機(jī)變量模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)時(shí)程，可以反映近斷層脈沖型地震動(dòng)的方向性效應(yīng)、速度大脈沖等特征，進(jìn)而可為近斷層區(qū)域工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)和抗震可靠度分析提供合理的輸入。

關(guān)鍵詞：脈沖型地震動(dòng);速度脈沖;高頻加速度;隨機(jī)過(guò)程;降維模擬

中圖分類號(hào)：P315.914?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?文章編號(hào)：1000-0666（2019）04-0516-07

0?引言

近斷層地震動(dòng)的形成機(jī)理較為復(fù)雜，它強(qiáng)烈地依賴于斷層破裂機(jī)制（如斷層破裂過(guò)程以及斷層面位錯(cuò)的發(fā)展過(guò)程、滑動(dòng)方向、滑動(dòng)速度等）。近斷層地震動(dòng)具有明顯的向前方向性效應(yīng)和滑沖效應(yīng)，這2種效應(yīng)極易使得近斷層地震動(dòng)出現(xiàn)明顯的長(zhǎng)周期大脈沖和地面永久位移現(xiàn)象，且一次地震動(dòng)的大部分能量都集中在單個(gè)或少數(shù)幾個(gè)頻率的脈沖上（劉啟方等，2006;賀秋梅等，2006）。Loma?Prieta地震、Landers地震、集集地震等的近場(chǎng)臺(tái)站記錄到了地震動(dòng)中伴有明顯的低頻速度脈沖（Shrivastava?et?al，2015）。Bertero等（1978）的研究表明，低頻速度脈沖對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的影響很大，不容忽視。

雖然在過(guò)去的幾十年中地震臺(tái)站記錄到的地震動(dòng)數(shù)量持續(xù)增加，但記錄中顯示脈沖特性的近斷層地震動(dòng)數(shù)量依然匱乏。由于對(duì)具體地震環(huán)境和場(chǎng)地條件的限制，現(xiàn)有的近場(chǎng)地震動(dòng)記錄難以滿足近場(chǎng)工程結(jié)構(gòu)抗震分析的需求。因此，人工模擬近斷層地震動(dòng)成為了研究熱點(diǎn)（李啟成等，2013;魏勇等，2018）。Menun和Fu（2002）提出用一個(gè)包含2段的分段函數(shù)模型來(lái)模擬速度脈沖，這2段分別表示成強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)與正弦函數(shù)的乘積，限定2個(gè)脈沖周期以外的值取為零。Mavroeidis（2003）提出的分段速度脈沖模型能模擬單半波、兩半波、三個(gè)及以上半波的脈沖形狀。田玉基等（2007）提出了利用單一連續(xù)函數(shù)形式來(lái)表達(dá)速度脈沖時(shí)程。上述模型是確定性方法，操作簡(jiǎn)便，且能較好地反映近斷層脈沖型地震的基本特征，但是其模擬結(jié)果至多具有統(tǒng)計(jì)平均的意義，不具有可靠度評(píng)估的能力。鑒于此，Yang和Zhou（2015）基于近斷層地震動(dòng)形成的物理過(guò)程，推導(dǎo)并建立了一種近斷層地震動(dòng)功率譜模型，通過(guò)擬合42條實(shí)測(cè)近斷層脈沖型地震記錄的平均功率譜確定了功率譜模型參數(shù)，最后用譜表達(dá)方法生成了具有脈沖特征的非平穩(wěn)加速度時(shí)程樣本。由于譜表達(dá)中相位角的隨機(jī)性，相鄰頻率段諧波疊加可能會(huì)導(dǎo)致速度時(shí)程的脈沖特性減弱甚至消失（Luco，Bazzurro，2007;Grigoriu，2010）。以往的對(duì)于近斷層地震動(dòng)的研究大多是用確定性方法來(lái)人工合成的，本文建立一種隨機(jī)模型，分別用含1個(gè)隨機(jī)變量的譜表示與隨機(jī)函數(shù)模擬方法來(lái)對(duì)高頻分量進(jìn)行降維模擬，用含2個(gè)隨機(jī)變量的Gabor小波模型對(duì)低頻脈沖分量進(jìn)行模擬，最后疊加得降維模擬的近斷層地震動(dòng)，這樣做能較好地復(fù)現(xiàn)近場(chǎng)地震的脈沖特性。

1?近斷層脈沖型地震動(dòng)的隨機(jī)建模

近斷層脈沖型地震動(dòng)時(shí)程包含低頻脈沖成分和由地面隨機(jī)振動(dòng)引起的高頻成分。楊慶山和田玉基（2014）對(duì)11次地震動(dòng)28條地震記錄分析后發(fā)現(xiàn)近斷層脈沖成分的頻率一般小于1?Hz，可以分別模擬低頻脈沖成分和高頻成分最后疊加得到近斷層脈沖型地震動(dòng)。Dickinson和Gavin（2010）把近斷層脈沖型地震動(dòng)的高低頻成分的頻率分界值確定為1.5?Hz，實(shí)現(xiàn)了對(duì)近斷層脈沖型地震動(dòng)的模擬。王宇航（2015）對(duì)國(guó)內(nèi)外的17次地震124條地震記錄進(jìn)行脈沖識(shí)別并提取出了速度脈沖，接著計(jì)算得到了速度脈沖和殘余部分的功率譜，研究發(fā)現(xiàn)這124條地震記錄的脈沖功率譜和殘余部分功率譜的界限頻率與脈沖周期負(fù)相關(guān)，統(tǒng)計(jì)得到這一負(fù)相關(guān)關(guān)系為：

式中：fr表示近斷層脈沖型地震動(dòng)的高低頻分量的頻率分界值;TP表示脈沖周期。

并非所有近場(chǎng)脈沖記錄的高低頻率分界值都是1?Hz或者1.5?Hz，原因在于不同脈沖具有不同的周期，具有不同周期的脈沖在頻域上的能量分布會(huì)有所差異。而式（1）從源頭上解釋了為什么近斷層脈沖型地震動(dòng)可以分為高低頻2部分模擬。本文擬采用式（1）來(lái)確定高低頻分量的頻率分界值，并分別模擬高低頻分量疊加合成近斷層脈沖型地震動(dòng)。

1.1?高頻分量的降維建模

長(zhǎng)周期脈沖分量分離后的殘余高頻加速度分量與遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)加速度時(shí)程較為相似，可以用譜表示方法對(duì)其進(jìn)行模擬。劉章軍等（2015）和Liu等（2016，2018）把隨機(jī)函數(shù)引入到源譜表示方法中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高頻加速度分量這一隨機(jī)過(guò)程的降維模擬。

高頻加速度時(shí)程ah可表示為：

式中：S（t，ω）為非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度時(shí)程的雙邊演變功率譜;Δω為頻率離散步長(zhǎng);N為頻域離散點(diǎn)數(shù);ω1和ωu分別是下限截止頻率和上限截止頻率，且有Δω=（ωu-ω1）/N;{Xk，Yk}為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，應(yīng)滿足如下基本條件：

式中：k，l=1，2，…，N;δkl為Kronecker符號(hào);E[·]為數(shù)學(xué)期望。應(yīng)用隨機(jī)函數(shù)的思想，可將標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}表達(dá)為基本隨機(jī)變量Θ1的函數(shù)，即：

式中：k，k=1，2，…?N，Θ1為在（0，2π）上服從均勻分布的隨機(jī)變量。k為k的某種確定性映射，筆者采用Matlab工具箱中自帶的函數(shù)rand（′state′，0）和temp=randperm（N）來(lái)實(shí)現(xiàn)，即k和k之間一一對(duì)應(yīng)的確定性關(guān)系可表示為k=temp（k）。可以證明，式（4）滿足標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的基本條件式（3）。

式（2）中的演變功率譜S（t，ω），可由平穩(wěn)功率譜與強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)得到，即：

式中：S（ω）為平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的功率譜密度函數(shù);A（t）為強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)。

將式（4）帶入式（2）中，即可得到基于譜表示與隨機(jī)函數(shù)法的高頻加速度時(shí)程的模擬公式：

值得指出的是，若用式（2）來(lái)模擬高頻加速度時(shí)程這一隨機(jī)過(guò)程，需要利用Monte?Carlo模擬方法進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣以獲取2×N（N通常大于1?000）個(gè)基本隨機(jī)變量的代表性點(diǎn)集，并且由于Monte?Carlo模擬方法無(wú)法在全概率信息上描述非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程的概率特性，這為復(fù)雜工程的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)和動(dòng)力可靠度的精細(xì)化分析帶來(lái)了困難。而應(yīng)用隨機(jī)函數(shù)法的降維思想，將模擬高頻加速度時(shí)程所需的隨機(jī)變量的數(shù)量降低至1個(gè)，從而可以采用數(shù)論方法對(duì)基本隨機(jī)變量選取概率信息完備的代表性點(diǎn)集，極大地降低了隨機(jī)模擬的計(jì)算量，也為結(jié)合概率密度演化理論對(duì)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)和抗震可靠度分析奠定了基礎(chǔ)。

1.2?低頻脈沖分量的隨機(jī)建模

近斷層脈沖型地震動(dòng)的典型特征主要包含方向性效應(yīng)和滑沖效應(yīng)，本文僅對(duì)其方向性效應(yīng)產(chǎn)生的速度大脈沖進(jìn)行模擬研究。

采用由Dickinson和Gavin（2010）建議的Gabor小波對(duì)低頻脈沖速度時(shí)程vp進(jìn)行模擬：

式中：Vp，Tp，Tpk，Nc和φ分別表示脈沖峰值速度、脈沖周期、脈沖峰值時(shí)刻、脈沖循環(huán)數(shù)和脈沖相位角，其中，Nc和φ為隨機(jī)變量;TPK為高頻分量速度時(shí)程的峰值時(shí)刻的均值;本文擬用地震動(dòng)峰值速度PGV代替脈沖峰值速度Vp，即：

已有研究（Mavroeidis，2003;Bray，Rodriguez，2004;Psycharis?et?al，2013）表明，這樣做可以保證地震響應(yīng)分析和抗震設(shè)計(jì)偏于安全;其余參數(shù)可以通過(guò)以下方法確定。

地震動(dòng)峰值速度PGV可采用Somerville（1997）建議的經(jīng)驗(yàn)公式確定：

式中：MW是斷層處可能發(fā)生的矩震級(jí);R表示斷層距。

速度脈沖周期Tp可采用Somerville（2003）建議的經(jīng)驗(yàn)公式確定：

采用Gabor小波對(duì)低頻脈沖速度時(shí)程進(jìn)行模擬。其中半波數(shù)Nc和相位角φ作為隨機(jī)變量處理，該模型可以模擬不同脈沖數(shù)且脈沖峰值不等的速度脈沖，可以方便地生成特定地震動(dòng)。

通過(guò)式（4）的引入，并采用數(shù)論方法選取基本隨機(jī)變量的代表性點(diǎn)集，模擬高頻加速度時(shí)程所需的隨機(jī)變量數(shù)量由2×N個(gè)降低至1個(gè)，極大地減少了生成代表性樣本的計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)過(guò)程的高效降維。再加上模擬低頻速度時(shí)程所需的2個(gè)隨機(jī)變量，本文方法僅需3個(gè)隨機(jī)變量就可對(duì)近斷層脈沖型地震動(dòng)進(jìn)行降維模擬。

2?近斷層脈沖型地震動(dòng)的合成

2.1?近斷層脈沖型地震動(dòng)的合成方法

前面提及的2個(gè)隨機(jī)模型分別模擬的是近斷層脈沖型地震動(dòng)的高頻加速度時(shí)程和低頻速度時(shí)程，首先需要將降維模擬的高頻加速度時(shí)程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的速度時(shí)程。假定在ti到ti+1的時(shí)間間隔內(nèi)，近斷層地震動(dòng)加速度為[a（ti）+a（ti+1）]/2，對(duì)降維模擬的近斷層地震動(dòng)高頻加速度時(shí)程ah（t）進(jìn)行積分得到高頻速度時(shí)程vh（t）。然后利用殘余速度峰值vres對(duì)vh（t）進(jìn)行調(diào)幅得到標(biāo)準(zhǔn)化的高頻速度時(shí)程（Dickinson，Gavin，2010）：

式中：vres=0.509×PGV（Yang，Zhou，2015）是對(duì)實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄進(jìn)行脈沖識(shí)別并提取后的殘余速度峰值。

由標(biāo)準(zhǔn)化高頻速度時(shí)程vs（t）與低頻速度脈沖時(shí)程vp（t）進(jìn)行疊加得到降維模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)速度時(shí)程：

同理，在Δt的時(shí)間間隔內(nèi)，假定近斷層地震動(dòng)速度線性變化，對(duì)合成的近斷層脈沖型地震動(dòng)速度時(shí)程v（t）進(jìn)行微分得到降維模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)的加速度時(shí)程a（t）;同樣可以對(duì)降維模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)速度時(shí)程v（t）積分得到降維模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)的位移時(shí)程u（t）。

2.2?算法步驟

近斷層脈沖型地震動(dòng)的隨機(jī)模擬可以分解為高頻分量和低頻分量2個(gè)隨機(jī)過(guò)程的模擬，其中高頻分量采用含1個(gè)基本隨機(jī)變量的譜表示與隨機(jī)函數(shù)方法來(lái)模擬，低頻分量采用含2個(gè)基本隨機(jī)變量的Gabor小波來(lái)模擬。

首先，利用數(shù)論方法（Li，Chen，2007）在區(qū)間上均勻分布的三維空間選取一組含有nsel個(gè)點(diǎn)的代表性點(diǎn)集{θ1，m，θ2，m，θ3，m}nselm=1，每一個(gè)代表性點(diǎn)的賦得概率Pm=1/nsel。其次，將第一維度的點(diǎn)集{θ1，m}nselm=1一一映射到區(qū)間（0，2π）上，得到基本隨機(jī)變量Θ的代表性點(diǎn)集。同時(shí)，利用等概率反變換方法將第二維度的點(diǎn)集{θ2，m}nselm=1和第三維度的點(diǎn)集{θ3，m}nselm=1分別映射到指定的對(duì)數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布（Yang，Zhou，2015），得到基本隨機(jī)變量Nc和φ的代表性點(diǎn)集。因此，三維隨機(jī)變量{Θ，Nc，Φ}的代表性點(diǎn)集就可以唯一確定，每個(gè)代表性點(diǎn)的賦得概率仍為Pm。最后，選取基本隨機(jī)變量Θ的代表性點(diǎn)集用于生成近斷層脈沖型地震動(dòng)高頻加速度時(shí)程集合，取基本隨機(jī)變量Nc和φ的代表性點(diǎn)集用于生成近斷層脈沖型地震動(dòng)低頻速度脈沖時(shí)程集合。從而，可生成近斷層脈沖型地震動(dòng)加速度、速度和位移時(shí)程。

需要指出的是，利用數(shù)論方法選出3個(gè)基本隨機(jī)變量的代表性點(diǎn)集，使其具有賦得概率Pm，且所有代表性點(diǎn)構(gòu)成了完備的概率集合，便于在進(jìn)一步的研究中結(jié)合概率密度演化理論（Li，Chen，2006）對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)及抗震可靠度進(jìn)行分析。

3?數(shù)值算例

3.1?模型參數(shù)

假設(shè)斷層所在場(chǎng)地為第II類場(chǎng)地，選用第一組設(shè)計(jì)地震參數(shù)。假設(shè)斷層處可能發(fā)生MW7.0地震，工程場(chǎng)址的斷層距R=40?km;根據(jù)式（9）和式（10）分別計(jì)算得到PGV=49.18?cm/s，Tp=2.52?s。

對(duì)于近斷層地震動(dòng)高頻加速度過(guò)程對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)功率譜密度函數(shù)S（ω），本文采用Clough-Penzien譜，即

式中：ωg和ζg分別是場(chǎng)地土的卓越圓頻率和阻尼比;ωf和ζf分別是基巖的卓越圓頻率和阻尼比;S0表示譜強(qiáng)度因子：

式中：amax是地震動(dòng)峰值加速度的均值，根據(jù)地震動(dòng)的能量衰減關(guān)系（張齊等，2013），本文取為240?cm/s2;r是峰值因子。因?yàn)榻鼣鄬用}沖型地震動(dòng)具有脈沖幅值大、持時(shí)短的特點(diǎn)，本文采用歐進(jìn)萍和王光遠(yuǎn)（1998）提出的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)：

式中：參數(shù)c是控制地震動(dòng)加速度的到達(dá)時(shí)刻，參數(shù)d是控制強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)A（t）形狀的參數(shù)，取Liu等（2018）的建議值。

高頻分量的計(jì)算參數(shù)及其取值見(jiàn)表1，低頻脈沖分量隨機(jī)建模的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表2。

3.2?結(jié)果分析

圖1a為本文方法生成的185條代表性樣本的高頻加速度時(shí)程。由圖可知，生成的代表性樣本時(shí)程曲線具有地震動(dòng)加速度時(shí)程的非平穩(wěn)特性。圖1b為本文方法生成的代表性樣本的低頻速度時(shí)程。從圖中可以看出，本文方法模擬的是單一成分的速度脈沖。

圖2為對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后生成的185條代表性樣本的高頻加速度時(shí)程集合的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和目標(biāo)值。均值相對(duì)誤差為7.6×10-10，標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差為4.2%，均小于誤差限值5%，滿足誤差要求。其中，均值誤差無(wú)限趨近于零，可以將模擬值近似看作是一個(gè)零均值的隨機(jī)過(guò)程。

圖3為185條代表性樣本的低頻速度時(shí)程集合的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和目標(biāo)值?？梢钥闯觯M值與目標(biāo)值擬合較好，這證明了本文降維模擬方法的正確性。

圖4為本文方法降維模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)時(shí)程，圖4a是降維模擬的加速度代表性時(shí)程，體現(xiàn)出了近斷層脈沖型地震動(dòng)明顯的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性和脈沖特性;圖4b是降維模擬的速度代表性時(shí)程，表現(xiàn)為少數(shù)時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的速度跳躍性，更為明顯地體現(xiàn)出了降維模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)的速度大脈沖特性和向前方向性效應(yīng);圖4c是降維模擬的位移代表性時(shí)程，同樣體現(xiàn)出了該類地震動(dòng)的脈沖特性。

4?結(jié)論

本文提出了一種參數(shù)化的近斷層脈沖型地震動(dòng)模擬的降維方法，將地震動(dòng)分成高頻分量和低頻分量2部分模擬。高頻分量的模擬中，采用了譜表示與隨機(jī)函數(shù)方法，極大地降低了隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)度，提高了模擬效率;低頻分量的模擬中，采用了Gabor小波模型對(duì)低頻脈沖速度時(shí)程進(jìn)行模擬，其中半波數(shù)Nc和相位角φ作為隨機(jī)變量處理，該模型可以模擬不同脈沖數(shù)且脈沖峰值不等的速度脈沖。本文方法的高低頻模型中都引入了隨機(jī)參數(shù)，可以方便地模擬生成不同地震環(huán)境和不同場(chǎng)地條件下的近斷層脈沖型地震動(dòng)。

本文方法合成的地震動(dòng)包含了近斷層地震動(dòng)的主要特征，如向前方向性效應(yīng)，速度大脈沖等。通過(guò)分別模擬高頻和低頻時(shí)程然后疊加合成近斷層脈沖型地震動(dòng)時(shí)程，可以方便地為近斷層地區(qū)的工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析和抗震設(shè)防研究提供合理的地震動(dòng)輸入。

本文在撰寫(xiě)過(guò)程中得到三峽大學(xué)張齊博士及大連理工大學(xué)陳國(guó)海博士后的幫助，在此向他們表示感謝。

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Dimension?Reduction?Simulation?for?Near-field?FaultPulse-like?Ground?Motion

JIA?Lu1，RUAN?Xinxin2，LIU?Zhangjun2

（1.College?of?Civil?Engineering?and?Architecture，China?Three?Gorges?University，Yichang?443002，Hubei，China）（2.School?of?Civil?Engineering?and?Architecture，Wuhan?Institute?of?Technology，Wuhan?430074，Hubei，China）

Abstract

A?dimension?reduction?method?for?the?simulation?of?near-field?fault?pulse-like?ground?motions?is?proposed.The?near-field?fault?pulse-like?ground?motions?are?decomposed?into?two?parts，including?high-frequency?component?and?low-frequency?component.The?spectral?representation-random?function?method?is?used?to?generate?the?time-series?of?high-frequency?acceleration，which?is?then?converted?to?the?corresponding?velocity?time-series.The?Gabor?wavelet?is?used?to?simulate?the?time-series?of?low-frequency?velocity?pulse.And?the?time-series?of?high?and?low?frequency?velocity?are?superposed?to?get?the?synthetic?velocity?time-series?of?ground?motion，which?are?then?transformed?to?obtain?the?acceleration，displacement?time-series?of?near-field?fault?pulse-like?ground?motion.The?calculating?example?shows?that?the?time-series?simulated?by?this?method?with?only?three?basic?random?variables?can?reflect?the?characteristics?of?the?near-fault?pulse-like?ground?motion，such?as?directivity?effect?and?large?velocity?pulse，and?thus?can?provide?reasonable?input?for?the?random?seismic?respond?and?aseismic?reliability?analysis?of?engineering?structures?in?the?near-field?fault?region.

Keywords：pulse-like?ground?motion;velocity?pulse;high-frequency?acceleration;random?process;dimension?reduction?simulation