劉曉明 沈明玉 侯整風

摘 要：針對模糊C均值（FCM）聚類算法易受初始聚類中心影響而陷入局部最優(yōu)問題，提出了一種基于Levy飛行的螢火蟲模糊聚類算法（LFAFCM）。該算法改變螢火蟲算法的隨機移動策略，以平衡算法局部搜索和全局搜索能力;螢火蟲位置更新過程中引入Levy飛行機制，以提高全局尋優(yōu)能力;根據(jù)迭代次數(shù)和螢火蟲位置動態(tài)調整每個螢火蟲的尺度系數(shù)，以限制Levy飛行可搜索范圍，并加快算法收斂速度。利用5個UCI數(shù)據(jù)集對算法進行實驗驗證，實驗結果表明，該算法有效避免了陷入局部最優(yōu)并具有較快的收斂速度。

關鍵詞：Levy飛行;尺度系數(shù);螢火蟲算法;模糊C均值聚類算法;動態(tài)調整

中圖分類號：TP301.6

文獻標志碼：A

Firefly fuzzy clustering algorithm based on Levy flight

LIU Xiaoming*， SHEN Mingyu， HOU Zhengfeng

School of Computer and Information， Hefei University of Technology， Hefei Anhui 230009， China

Abstract：

Fuzzy CMeans （FCM） clustering algorithm is sensitive to the initial clustering center and is easy to fall into local optimum. Therefore， a Firefly Fuzzy CMeans clustering Algorithm based on Levy flight （LFAFCM） was proposed. In LFAFCM， the random movement strategy of firefly algorithm was changed to balance the algorithms local search and global search capabilities， the Levy flight mechanism was introduced during the firefly position update process to improve the global optimization ability， and the scale coefficient of each firefly was dynamically adjusted according to the number of iterations and the firefly position to limit the searchable range of Levy flight and speed up the convergence of the algorithm. The algorithm was validated by using five UCI datasets. The experimental results show that the algorithm avoids the local optimum and has a fast convergence speed.

Key words：

Levy flight; scale factor; Firefly Algorithm （FA）; Fuzzy CMeans （FCM） clustering algorithm; dynamic adjustment

0?引言

聚類是將數(shù)據(jù)集分成多個不同的類別，使得類中數(shù)據(jù)盡量相似，類間數(shù)據(jù)差別較大。聚類作為一種數(shù)據(jù)分析技術，廣泛應用于數(shù)據(jù)挖掘、機器學習等領域[1]。聚類分為硬聚類和模糊聚類，硬聚類中某個對象只能嚴格屬于某一類，各類之間界限分明。而現(xiàn)實世界中大多數(shù)事物并不是非此即彼的關系，事物之間存在不確定性。模糊聚類通過隸屬度描述事物屬于某個類的程度，更適合描述現(xiàn)實世界事物間的不確定性[2]。模糊C均值（Fuzzy CMeans， FCM）[3]聚類是一種經典的模糊聚類算法，該算法簡單，且局部搜索能力強，但對初始值敏感，易陷入局部最優(yōu)。針對這一問題，一些學者采用群智算法對FCM進行優(yōu)化，文獻[4]中提出基于遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）的GAFCM（Fuzzy CMeans clustering algorithm based on GA），利用遺產變異操作對聚類中心進行優(yōu)化;文獻[5]提出基于粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法的PSOFCM（Fuzzy CMeans clustering algorithm based on PSO），利用粒子群優(yōu)化算法的記憶搜索提高全局尋優(yōu)能力;但由于粒子群算法和遺傳算法收斂速度慢，PSOFCM和GAFCM在單極值數(shù)據(jù)集上效果均較差，無法得到精確的全局最優(yōu)解。文獻[6]里利用模糊聚類算法生成PSOFCM的初始解，降低初始解的隨機性，優(yōu)化了粒子群演化的方向;文獻[7]將Agnes層次聚類與GAFCM結合，利用層次聚類優(yōu)化初始聚類中心的選取，克服FCM初始值敏感的缺陷;但這些方法均存在參數(shù)設置復雜、收斂速度較慢的缺點。

2008年Yang等[8]提出了螢火蟲群智優(yōu)化算法（Firefly Algorithm， FA），F(xiàn)A模仿自然界螢火蟲通過發(fā)光來吸引同伴的特性，將搜索和優(yōu)化的過程模擬成螢火蟲吸引和移動的過程。FA比GA和PSO具有更好的尋優(yōu)能力，且思路簡單明了、參數(shù)較少，廣泛應用于路徑規(guī)劃、圖像處理、目標跟蹤等眾多領域[9-11]。文獻[12]中提出基于螢火蟲算法的FAFCM（Fuzzy CMeans clustering algorithm based on FA），利用FA對模糊聚類的目標函數(shù)進行優(yōu)化，提高模糊聚類的全局收斂性; 然而，同其他啟發(fā)式算法一樣，F(xiàn)A后期也存在收斂速度較慢和易陷入局部最優(yōu)等不足。文獻[13]將混沌理論與螢火蟲算法結合，利用混沌運動的隨機性、遍歷性、規(guī)律性增強隨機搜索性能。文獻[14]將螢火蟲種群分為不同參數(shù)的多個子群，各子群螢火蟲構建相互學習機制，實現(xiàn)子群間信息交流。文獻[15]將遺傳算法中的變異操作引入螢火蟲算法中，提高種群的多樣性。上述方法通過改善搜索方式在一定程度上增強了螢火蟲算法的全局收斂性，但增加了算法的復雜程度。

Levy飛行模式是自然界中的生物在未知環(huán)境中尋找食物的常用方式，果蠅的覓食路徑[16]、人類行為中的Ju/hoansi狩獵模式[17]都表現(xiàn)出Levy飛行的特征。Levy飛行具有頻繁短距離搜索和偶爾長距離搜索的特性[8]，能夠避免局部最優(yōu)。然而，Levy飛行的短距離搜索在算法初期收斂速度較慢，后期由于多數(shù)解都集中在最優(yōu)解附近，大范圍搜索易偏離最優(yōu)解，對全局收斂不起作用。

本文提出基于Levy飛行的螢火蟲模糊聚類算法（Firefly Fuzzy CMeans clustering Algorithm based on Levy flight， LFAFCM），通過改變螢火蟲隨機移動策略，在位置更新過程中引入Levy飛行機制，平衡算法的局部和全局搜索能力。頻繁短距離搜索可提高局部搜索性能;偶爾長距離搜索能夠擴大螢火蟲搜索范圍，增強全局搜索能力。此外，本文算法根據(jù)螢火蟲位置和迭代次數(shù)動態(tài)改變每個螢火蟲的尺度系數(shù)，控制算法不同時期Levy飛行的搜索范圍，提高算法初期發(fā)現(xiàn)近似全局最優(yōu)解的效率，同時避免后期長距離搜索導致偏離最優(yōu)解問題，提高算法的收斂速度。

1?相關算法

1.1?模糊C均值聚類算法

對于數(shù)據(jù)集X={x1，x2，…，xn}，其中包含n個對象，每個對象含d個屬性，聚類就是將這n個對象劃分到c個簇中（2≤c≤n），簇的聚類中心為V={v1，v2，…，vc}，F(xiàn)CM的目標函數(shù)定義[2]為：

Jm=∑ni=1umij‖xi-vj‖2 （1）

其中，m為模糊加權指數(shù)，控制模糊矩陣的分類程度，一般取m=2，U=[uij]c×n是隸屬度矩陣，uij∈[0，1]，表示第j對象隸屬于第i個簇的程度，‖xi-vj‖2表示第j對象與第i個聚類中心的歐氏距離。FCM算法就是通過不斷迭代優(yōu)化目標函數(shù)，當目標函數(shù)最小時即得到最優(yōu)的聚類結果。算法的基本步驟如下：

步驟1?設置初始聚類數(shù)目c和模糊加權系數(shù)m，隨機初始化c個聚類中心v（0）i（1≤i≤c），設置閾值ε作為算法的結束條件。

步驟2?計算隸屬度矩陣：

uij=1∑ck=1‖xi-vj‖‖xi-vk‖2m-1; 1≤i≤c，1≤j≤n （2）

步驟3?更新聚類中心V：

vj=∑ni=1umijxi/∑ni=1umij; 1≤j≤c （3）

步驟4?當更新后的聚類中心與原聚類中心的距離小于給定的閾值ε，算法停止，輸出聚類中心和隸屬度矩陣;否則，轉步驟2。

模糊C均值聚類算法通過不斷迭代計算聚類中心和隸屬度矩陣得到最優(yōu)的聚類結果，這是一種基于梯度下降的搜索方法，收斂速度快，局部搜索能力強。但FCM非常依賴初始聚類中心的選取，較差的初始聚類中心易導致算法陷入局部最優(yōu)。

1.2?螢火蟲算法

1.2.1?算法原理

自然界中的螢火蟲通過發(fā)光吸引異性進行信息交流。文獻[8]中根據(jù)螢火蟲的這種發(fā)光特性提出了螢火蟲優(yōu)化算法，該算法的基本思想是每個螢火蟲代表一個目標函數(shù)的解，螢火蟲的亮度表示目標函數(shù)解的好壞程度，亮度小的螢火蟲向亮度大的螢火蟲移動，然后更新自己的亮度，螢火蟲個體不斷移動的過程即為目標函數(shù)的優(yōu)化過程，通過位置和亮度的不斷迭代，最終得到目標函數(shù)的最優(yōu)值。

算法的迭代過程遵循下面3個基本規(guī)則：

1）所有的螢火蟲不以性別區(qū)分，任何一只螢火蟲都會被其他的螢火蟲吸引。

2）螢火蟲會被比自己亮的個體吸引，最亮的個體隨機改變自己的位置。兩只螢火蟲之間距離越近，相互之間的吸引度越高。

3）螢火蟲的亮度根據(jù)所求解問題的目標函數(shù)定義。

1.2.2?算法的數(shù)學描述

算法中的兩個要素是亮度和吸引度，螢火蟲位置越優(yōu)，亮度越大，吸引亮度小的螢火蟲向自己移動;螢火蟲之間距離越近，吸引度越大，移動距離越長。

算法的相關描述如下：

1）螢火蟲亮度：

Ii∝1J（xi）; 1≤i≤n（4）

其中：Ii為第i只螢火蟲的亮度，xi為第i只螢火蟲的位置，J（xi）為第i只螢火蟲對應的目標函數(shù)的值。

2）螢火蟲之間的相對吸引度：

β=β0×e-γrij（5）

其中：β是螢火蟲i和螢火蟲j之間的相對吸引度，β0是最大吸引度，即r=0時的吸引度，γ是光強吸收因子（通常設置常數(shù)）。rij為螢火蟲i和螢火蟲j之間的距離，計算方式為：

rij=‖xi-xj‖=∑dk=1（xik-xjk）2（6）

其中d為所求解問題的維數(shù)。

3）螢火蟲i被比其明亮的螢火蟲j吸引而移動，其位置更新公式為：

xk+1i=xi+β（xj-xi）+αεi（7）

其中：xt+1i是螢火蟲更新后的位置;xi、xj分別表示螢火蟲i和螢火蟲j的位置;αεi是擾動項，目的是增強全局搜索能力，α是尺度系數(shù)，εi是服從高斯分布的隨機數(shù)。

2?基于Levy飛行的螢火蟲模糊聚類

2.1?Levy飛行機制

Levy飛行的隨機步長服從Levy分布，Levy分布比高斯分布和柯西分布的尾翼更為寬大（如圖1所示），具有更強的擾動作用，Levy分布冪次形式的表達式[18]如下：

Levy（λ）～|s|-λ; 1<λ<3 （8）

其中：s是隨機步長，λ是指數(shù)參數(shù)。

Levy飛行的隨機步長一般采用Mantegna[19]提出的計算公式：

s=μ/|v|1/λ; 0<λ<2（9）

其中：s即為Levy飛行的步長，參數(shù)λ一般取值為1.5;參數(shù)μ，v為服從式（10）所示的正態(tài)分布的隨機數(shù)：

μ～N（0，δ2μ）

v～N（0，δ2v）（10）

式中δμ、δv定義為：

δu={Γ（1 + λ）sin（πλ/2）2（λ-1）/2Γ[（（1 + λ）/2）]}1/λ

δv=1（11）

其中Γ是標準Gamma函數(shù)。

2.2?基于Levy飛行的螢火蟲模糊聚類

傳統(tǒng)的螢火蟲算法在螢火蟲位置更新過程中，采用隨機的擾動方式，存在易陷入局部最優(yōu)的問題，本文提出基于Levy飛行的螢火蟲模糊聚類算法（LFAFCM），改變螢火蟲算法的隨機移動策略，平衡局部和全局搜索能力，彌補模糊C均值聚類易陷入局部最優(yōu)的不足，同時減少算法的迭代次數(shù)。

LFAFCM在螢火蟲位置更新過程中引入Levy飛行機制，以提高算法的全局尋優(yōu)能力，并通過動態(tài)尺度系數(shù)限制不同時期Levy飛行的搜索范圍，以加快算法的收斂速度，LFAFCM中螢火蟲的位置更新公式如下：

xk+1i=xi+β·（xj-xi）+

α（t）·sign（rand）·Levy（λ）（12）

其中：Levy（λ）為Levy飛行產生的步長，sign（rand）為Levy飛行的搜索方向，rand是[0，1]上均勻分布的隨機數(shù)：

sign（rand）=

1，rand≥1/2

-1，rand < 1/2;

0≤rand≤1 （13）

與式（7）相比，式（12）具有如下兩個優(yōu)點：

1）避免局部最優(yōu)。

螢火蟲算法位置更新式（6）中的擾動項αεi，εi是服從高斯分布的隨機數(shù)，所以擾動項產生的是近似布朗運動，布朗運動的方差與時間成線性關系：δ2（t）～t;Levy飛行的方差與時間呈指數(shù)關系：δ2（t）～t4-λ（1<λ<3）， 比布朗運動的方差增長得更快，擾動范圍大，搜索空間更廣。

圖2所示為Levy飛行軌跡，Levy飛行表現(xiàn)出頻繁短距離搜索和偶爾長距離搜索的特性，短距離搜索能在當前解附近尋優(yōu)，增強局部搜索能力;長距離搜索能在當前解較遠處尋優(yōu)，從而擴大了搜索范圍。

2）減少迭代次數(shù)。

LFAFC通過式（12）來進行螢火蟲的位置更新，利用Levy飛行的間歇搜索避免陷入局部最優(yōu)，式中的尺度系數(shù)α（t）控制Levy飛行的搜索范圍。算法初期若搜索范圍過小，長距離搜索效果不明顯，易使得搜索過程緩慢;算法后期，螢火蟲亮度接近，一般都在最優(yōu)解附近，此時長距離產生的大范圍搜索易偏離最優(yōu)解，導致迭代次數(shù)增加。因此，LFAFCM按照以下兩個策略動態(tài)調整尺度系數(shù)α（t）：

①每個螢火蟲的尺度系數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加非線性減小，使得前期擁有較大搜索范圍，能夠以較大的步長進行搜索;后期搜索范圍較小，避免長距離的搜索，使得能夠以較小的步長逐步逼近最優(yōu)解。

②螢火蟲移動時計算與當前最亮螢火蟲的亮度差值，若亮度相差較大，則當前解較劣，使用較大的尺度系數(shù)α（t），以擴大搜索范圍;當亮度接近最亮螢火蟲時，則當前解較優(yōu)，使用較小的尺度系數(shù)，使得在當前解附近仔細搜索。

動態(tài)尺度系數(shù)公式為：

α（t）=αinit·exp（-t/（Igbest-Ipresent）（14）

式中：t表示當前迭代次數(shù)，αinit表示初始的尺度系數(shù)，Igbest表示最亮的螢火蟲亮度，Ipresent表示當前螢火蟲的亮度。這樣在算法初期，Levy飛行范圍較大，有利于擴大搜索范圍，找到近似的全局最優(yōu)解，后期種群趨于穩(wěn)定時，減小Levy飛行的搜索范圍，防止算法在最優(yōu)值附近震蕩，以盡快逼近最優(yōu)解。

2.3?LFAFCM算法步驟

步驟1?設置簇的數(shù)目c，最大吸引度β0，光的吸收因子γ，初始尺度系數(shù)αinit，模糊加權指數(shù)m，算法最大迭代次數(shù)maxIter，當前迭代次數(shù)k，閾值limit，螢火蟲的種群規(guī)模N。

步驟2?初始化每個螢火蟲i的位置xi（0

步驟3?根據(jù)式（4）計算每個螢火蟲i的亮度Ii。

步驟4?按照亮度對螢火蟲種群排序，記錄最亮螢火蟲的亮度Ibest和位置xbest。

步驟5?每個螢火蟲根據(jù)式（14）更新尺度系數(shù)，再將尺度系數(shù)代入式（12）中更新自己的位置。

步驟6?更新每個螢火蟲的亮度，更新最亮螢火蟲的亮度Ibest和位置xbest。

步驟7?將最亮螢火蟲的位置xbest作為初始聚類中心，進行如下操作：

1）根據(jù)式（2）得到隸屬度矩陣。

2）根據(jù)式（3）得到新的聚類中心，更新為xbest。

3）根據(jù)式（1）計算目標函數(shù)的值，若與初始聚類中心差值大于給定閾值limit，轉操作1）。

步驟8?若k

LFAFCM算法流程如圖3所示，其中J表示目標函數(shù)值，t表示梯度下降法中的迭代計數(shù)。

2.4?時空復雜度分析

2.4.1?時間復雜度分析

由圖3可知，LFAFCM算法的主要部分在步驟5～7，此部分包括兩個循環(huán)，外循環(huán)最大迭代次數(shù)為maxIter;內循環(huán)設置閾值limit，無準確迭代次數(shù)，設內層的平均迭代次數(shù)為avgIter;步驟5中每個螢火蟲都要向更亮的個體進行移動，由于螢火蟲種群規(guī)模為N，要進行（N2-N）/2次移動。所以經過所有步驟后，算法的時間復雜度近似為O（maxIter×avgIter×N2）。

2.4.2?空間復雜度分析

設LFAFCM算法螢火蟲規(guī)模為N，簇的數(shù)目為c，迭代次數(shù)為maxIter。算法運行過程中，X[C][N]存儲螢火蟲的自身位置，L[N]存儲每個螢火蟲的亮度，隸屬度矩陣大小U[C][N]，每次迭代后的最亮螢火蟲位置保存在B[maxIter]中。因此，LFAFCM算法空間復雜度為2×O（CN）+O（N）+O（maxIter）。

3?實驗

實驗環(huán)境?操作系統(tǒng)Windows 10，語言Python 3.5.5，軟件Visual Studio Code 1.28，Matlab R2016b，CUP Inter Core i5，內存 8GB。

實驗目的?驗證LFAFCM算法的聚類效果和效率。

數(shù)據(jù)集?本文選取了UCI數(shù)據(jù)庫中的Iris、Wine、Ecoli、Glass、D31五個數(shù)據(jù)集進行實驗，5個數(shù)據(jù)集的樣本數(shù)、屬性數(shù)、類別數(shù)如表1所示。

實驗結果與分析：

1）數(shù)據(jù)集的極值。

為了分析LFAFCM算法得到的解是否是全局最優(yōu)解，先進行實驗測試每個數(shù)據(jù)集的極值，通過在每個數(shù)據(jù)集上執(zhí)行1-000次FCM，得到各數(shù)據(jù)集的極值如表2所示。根據(jù)數(shù)據(jù)集的極值數(shù)量，將數(shù)據(jù)集分成單極值數(shù)據(jù)集和多極值數(shù)據(jù)集。

2）LFAFCM聚類效果。

LFAFCM參數(shù)設置為γ=1.0，αinit=1.0，β=1.0，模糊權重系數(shù)m=2，最大迭代次數(shù)maxIter=100，種群規(guī)模N=20;GAFCM的N=20，maxIter=100，交差概率pc=0.9，變異概率pm=0.001;PSOFCM的N=20，maxIter=100，慣性權重ω=1，學習因子c1=c2=2;FAFCM中N=20，maxIter=100，β=1.0，γ=0.9，α=0.1，k=2。

算法在每個數(shù)據(jù)集上重復運行50次，計算目標函數(shù)的平均值和標準差，實驗結果如表3所示（其中GAFCM、PSOFCM部分實驗數(shù)據(jù)源于文獻[20]）。

從表3可以看出，LFAFCM與PSOFCM、GAFCM相比，在各數(shù)據(jù)集上目標函數(shù)都具有更小的平均值和標準差，表明LFAFCM的聚類準確度和穩(wěn)定性均優(yōu)于PSOFCM和GAFCM;LFAFCM與FAFCM相比，在單極值數(shù)據(jù)集Iris、Wine平均值和標準差無明顯差異，

但在多極值數(shù)據(jù)集Ecoli、Glass、D31上，LFAFCM的平均值小于FAFCM，LFAFCM表現(xiàn)出比FAFCM更好的收斂效果，并且LFAFCM的標準差遠小于FAFCM，表明LFAFCM穩(wěn)定性遠高于FAFCM。對比表2中數(shù)據(jù)集的極值，LFAFCM的目標函數(shù)平均值與各數(shù)據(jù)集的最小極值接近，且LFAFCM的目標函數(shù)值的標準差極小，表明LFAFCM無論在單極值數(shù)據(jù)集還是多極值數(shù)據(jù)集都能穩(wěn)定得到較好的聚類效果。

為更直觀地對比算法的聚類結果，選取數(shù)據(jù)集D31上各算法50次實驗中目標函數(shù)值最小的聚類結果，如圖4所示，每個聚簇用不同的顏色表示。可以看出，圖（a）～（c）中均存在聚簇重疊和明顯的分類不合理的地方，而圖（d）中沒有明顯的聚簇錯誤，基本上可以認為達到了全局最優(yōu)解。

4）LFAFCM收斂速度。

GAFCM、PSOFCM、FAFCM、LFAFCM在五個數(shù)據(jù)集上目標函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線，如圖5所示。

由圖5可知，LFAFCM與FAFCM相比，在單極值數(shù)據(jù)集Iris、Wine上，具有相似迭代變化曲線;在多極值數(shù)據(jù)集Ecoli、Glass、D31上，LFAFCM目標函數(shù)值隨迭代次數(shù)下降更快，表明LFAFCM比FAFCM具有更快的收斂速度。而LFAFCM與PSOFCM、GAFCM相比，無論在單極值數(shù)據(jù)集還是多極值數(shù)據(jù)集上，LFAFCM都表現(xiàn)出更快的收斂速度。

在各數(shù)據(jù)集的50次實驗中，GAFCM、PSOFCM、FAFCM、LFAFCM達到收斂時的平均迭代次數(shù)如表4所示。

在數(shù)據(jù)集Iris、Wine、Glass上，LFAFCM的迭代次數(shù)與FAFCM相差不大，但明顯少于PSOFCM、GAFCM。在Ecoli、D31數(shù)據(jù)集上，LFAFCM的迭代次數(shù)均遠小于其他三種算法。

4?結語

本文針對模糊C均值聚類算法全局搜索能力較差、易陷入局部最優(yōu)的問題，提出一種基于Levy飛行的螢火蟲模糊聚類算法，在螢火蟲算法中引入Levy飛行機制，改變螢火蟲算法的擾動方式，利用Levy飛行的長短間歇搜索模式增強算法的全局搜索性能。為避免Levy飛行在算法后期飛行范圍較大導致收斂速度緩慢，提出動態(tài)的尺度系數(shù)策略，根據(jù)螢火蟲的迭代次數(shù)和位置動態(tài)改變尺度系數(shù)，提高算法的收斂速度。通過UCI數(shù)據(jù)庫中五個數(shù)據(jù)集上的測試，并將本文算法與GAFCM、PSOFCM、FAFCM進行對比，實驗結果表明，本文提出的基于Levy飛行的螢火蟲模糊聚類無論是在單極值數(shù)據(jù)集還是多極值數(shù)據(jù)集上都表現(xiàn)了較強的尋優(yōu)能力，有效防止了算法陷入局部最優(yōu)，且運行效率高。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China （61572167）.

LIU Xiaoming， born in 1994， M. S. candidate. His research interests include network communication and security.

SHEN Mingyu， born in 1962， Ph. D.， associate professor. His research interests include network and information security.

HOU Zhengfeng，born in 1958， M. S.， professor. His research interests include threshold secret sharing， network security.