李金鳳,何兆益,李修磊,楊 超

(1.重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400074; 2.重慶交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，重慶 400074;3.三峽大學(xué)三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害教育部重點實驗室,湖北 宜昌 443002)

在地質(zhì)活動和人為工程擾動因素的作用下,巖石內(nèi)部會產(chǎn)生大量節(jié)理、裂隙、微裂紋、空洞等缺陷,使得其力學(xué)性能趨于復(fù)雜化。這些缺陷在外部荷載的作用下逐漸擴展、貫通,最終導(dǎo)致地質(zhì)或巖體工程災(zāi)害的發(fā)生。巖石的破壞實際是內(nèi)部微缺陷的萌生、擴展、貫通和相互作用的過程。因此,針對巖石內(nèi)部裂紋尖端的應(yīng)力狀態(tài)、起裂角度、擴展行為的研究具有重要的理論意義和工程價值。

傳統(tǒng)線彈性斷裂力學(xué)中裂紋的起裂、擴展屬于裂紋尖端的局部效應(yīng),大多數(shù)國內(nèi)外學(xué)者[1-2]基本上采用的是Williams[3]展開式中的r1/2奇異項(r為裂紋起裂的徑向半徑)來研究裂紋的起裂和擴展行為。然而,展開式中還存在非奇異項(即常數(shù)項)和高階項O(r1/2)。對于高階項O(r1/2),r趨近于0時可忽略,而非奇異項不受r的影響。一般情況下,將裂紋尖端的非奇異應(yīng)力稱為T應(yīng)力[4]。忽略T應(yīng)力會導(dǎo)致部分理論計算結(jié)果與試驗結(jié)果存在明顯偏差。例如,Ren等[5]采用有機玻璃材料制成半圓盤試件,通過三點豎向加載試驗研究了復(fù)合裂紋斷裂擴展行為;Williams等[6]采用中心含直裂紋的有機玻璃試件進行了三點彎拉試驗;李部等[2]采用砂漿制成的類巖石試件進行了單軸壓縮試驗。然而,上述試驗結(jié)果與Erdogan等[7]未引入T應(yīng)力提出的最大周向應(yīng)力(MTS)準(zhǔn)則的計算結(jié)果相比差別較大。Tvergaard[8]采用修正的MTS準(zhǔn)則,考慮平行于裂紋方向的T應(yīng)力,研究了T應(yīng)力對裂紋起裂和擴展行為的影響,證實在MTS準(zhǔn)則中引入平行于裂紋的T應(yīng)力能夠有效提高理論值與試驗結(jié)果的吻合程度。Andrews等[9]研究了雙向拉伸荷載作用下裂紋的擴展特性。Ayatollahi等[10-11]采用有限元法并引入T應(yīng)力,研究了Ⅰ型裂紋和Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋尖端的應(yīng)力分布,指出T應(yīng)力會明顯影響裂紋尖端最大周向應(yīng)力,導(dǎo)致起裂角發(fā)生變化。劉夢和等[12-13]利用有限元分析探討了空間復(fù)合型裂紋的應(yīng)力強度因子與應(yīng)變釋放率的關(guān)系。何強等[14]基于巖石拉剪斷裂試驗,研究裂紋在載荷作用下起裂、擴展規(guī)律,探索斷裂過程中裂紋的擴展行為。Tang等[15]通過引入平行于裂紋和垂直于裂紋的兩個T應(yīng)力分量,采用修正的MTS準(zhǔn)則研究了拉-壓組合荷載作用下T應(yīng)力對裂紋起裂、擴展的影響。趙艷華等[16]考慮沿裂紋方向的T應(yīng)力,發(fā)現(xiàn)T應(yīng)力對Ⅰ-Ⅱ復(fù)合裂紋擴展的影響不可忽略,尤其是對純Ⅱ型裂紋的影響尤為顯著。

雖然已有大量關(guān)于T應(yīng)力的研究,但主要集中于拉伸荷載作用對裂紋擴展的影響,拉伸荷載作用下裂紋處于張開狀態(tài),T應(yīng)力僅包含與裂紋方向一致的非奇異應(yīng)力項。然而,外部荷載作用下巖石往往處于擠壓狀態(tài),此時微小裂紋大多為閉合形態(tài),若裂紋表面存在滑移或滑移傾向時,裂紋表面必然存在摩擦作用,阻止裂紋面的相對滑移[17-18]。因此,裂紋的起裂和擴展與Ⅰ型張開裂紋的假設(shè)并不相符。針對壓剪狀態(tài)下閉合裂紋,Zhu等[19]和鄭安興等[1]分別采用邊界配點法和偽力法綜合考慮了裂紋表面的摩擦效應(yīng)對裂紋尖端應(yīng)力強度因子的影響,應(yīng)用MTS準(zhǔn)則分析了壓剪狀態(tài)下巖石的破壞特征。McClintock等[20]考慮裂紋表面的摩擦作用,修正了Griffth斷裂破壞理論,但并沒有考慮T應(yīng)力的影響。Tang[21]通過分析壓縮荷載下的應(yīng)力狀態(tài),考慮了裂紋表面的摩擦作用,引入了平行于裂紋和垂直于裂紋的兩個T應(yīng)力分量(Tx和Ty),但忽略了切向分量Txy。趙彥琳等[22]雖然同時考慮了3個T應(yīng)力分量的影響,但認(rèn)為壓縮荷載下只存在Ⅱ型裂紋而沒有Ⅰ型裂紋,一定程度上會影響壓縮荷載作用下計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

本文結(jié)合Williams展開式中的奇異項和非奇異項,考慮裂紋表面的摩擦效應(yīng),同時引入3個T應(yīng)力分量(Tx、Ty和Txy),推導(dǎo)裂紋起裂準(zhǔn)則,分析T應(yīng)力對裂紋尖端應(yīng)力狀態(tài)、最大周向應(yīng)力、最大切向應(yīng)力、裂紋起裂角和擴展行為的影響,并與已有試驗結(jié)果進行比較分析,驗證壓縮狀態(tài)下考慮T應(yīng)力的合理性和有效性。

1 裂紋的應(yīng)力強度因子計算

壓縮荷載作用會引起巖石內(nèi)部裂紋閉合,裂紋界面的摩擦約束作用會阻止裂紋的滑移擴展,從而影響裂紋尖端的應(yīng)力強度因子。如圖1所示,無限大板狀巖石內(nèi)部有一條長度為2a的裂紋,邊緣均布雙向軸壓應(yīng)力σ1和σ3,令σ1=σ和σ3=kσ1=kσ,其中k為側(cè)壓力系數(shù),若k≥ 0則巖石處于壓縮應(yīng)力狀態(tài),若k<0則巖石處于拉-壓組合應(yīng)力狀態(tài)。裂紋與主應(yīng)力σ1方向的夾角為β(稱為初始裂紋傾角)。由偽力法和疊加原理[20],可得到在t-n坐標(biāo)系中,裂紋表面上的應(yīng)力分量為

(1)

式中:σt、σn、τnt分別為t-n坐標(biāo)系下沿t軸、n軸的法向應(yīng)力和剪切應(yīng)力。

圖1 雙軸應(yīng)力下的裂紋形態(tài)

考慮裂紋表面的摩擦作用,定義裂紋表面的摩擦系數(shù)為f,則由于裂紋上、下表面相對滑動或滑動趨勢產(chǎn)生的摩擦力τ和有效剪應(yīng)力τ′分別為

τ=fσn

(2)

τ′=τnt-fσn

(3)

利用Muskhelishvili復(fù)變函數(shù)理論和Riemanm-

Hilbert問題的理論解法,可得到裂紋表面應(yīng)力的基本解[23]為

(4)

式中:Φ(z)為復(fù)變函數(shù);z為自變量。裂紋尖端附近的應(yīng)力強度因子K可由下式進行計算:

(5)

式中:KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂紋尖端的應(yīng)力強度因子,由式(5)并聯(lián)立式(1)～(3)可得KⅠ和KⅡ分別為

(6)

(7)

需要注意的是,雖然壓剪應(yīng)力狀態(tài)下張拉型裂紋應(yīng)力強度因子KⅠ沒有意義,但會導(dǎo)致裂紋尖端應(yīng)力場發(fā)生改變。由式(7)可知,隨著摩擦系數(shù)的增大,裂紋尖端的應(yīng)力強度因子KⅡ逐漸減小。

2 裂紋尖端的應(yīng)力場

如圖2所示,θ為巖板內(nèi)部裂紋的起裂角,裂紋尖端的應(yīng)力場可以表述為[3]

(8)

式中:右端第1項為奇異應(yīng)力項,該項在裂紋尖端起主導(dǎo)作用,A1為應(yīng)力強度因子KⅠ或KⅡ;第2項為非奇異項(即常數(shù)項),又稱T應(yīng)力,其大小與r無關(guān),A2為非奇異應(yīng)力，直接作用于裂紋表面[24];fij為與起裂角無關(guān)的無量綱項;第3項及后續(xù)項為r的高階項,可以忽略?？紤]T應(yīng)力的裂紋尖端應(yīng)力場的方程為

(9)

式中:σx、σy、τxy分別為x-y坐標(biāo)系下裂紋尖端沿x軸、y軸和切向的應(yīng)力。

圖2 裂紋尖端應(yīng)力分布

極坐標(biāo)系下,裂紋尖端應(yīng)力場的方程式為

(10)

式中：σr、σθ、τrθ分別為極坐標(biāo)系下的徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力。若σθ為正值,說明材料處于張拉應(yīng)力狀態(tài);若為負(fù)值,說明材料處于擠壓應(yīng)力狀態(tài)。

在式(1)中, 當(dāng)σn>0時,裂紋處于張開狀態(tài),因而可以認(rèn)為裂紋表面不存在摩擦作用,T應(yīng)力(Tx、Ty、Txy)可定義為

(11)

當(dāng)σn≤0時,裂紋處于閉合狀態(tài),裂紋表面存在摩擦作用,因而T應(yīng)力(Tx、Ty、Txy)可定義為

(12)

Li等[25]討論了T應(yīng)力分量Ty對裂紋擴展的影響,然而并沒有研究初始裂紋傾角β與側(cè)壓力系數(shù)k對裂紋擴展的影響。Tang[21]考慮了Tx和Ty,忽略了Txy的作用,并沒有得到閉合裂紋尖端完備應(yīng)力場的理論解。式(11)(12)給出的T應(yīng)力分量中考慮了β和k兩個變量的作用。

3 考慮T應(yīng)力的斷裂準(zhǔn)則

針對裂紋的起裂和擴展問題,一些學(xué)者提出了幾種常用的斷裂判據(jù),主要包括MTS準(zhǔn)則、最大能量釋放率(MERR)準(zhǔn)則、最小應(yīng)變能密度(SED)準(zhǔn)則、局部對稱性(LS)準(zhǔn)則、臨界距離(CD)準(zhǔn)則等[26]。其中,MTS判據(jù)應(yīng)用最為廣泛,該準(zhǔn)則認(rèn)為裂紋沿著最大周向應(yīng)力σθmax方向起裂擴展,適用于抗拉強度明顯小于抗剪強度和抗壓強度的脆性材料(如巖石)。為此,本文將按照MTS準(zhǔn)則,同時考慮T應(yīng)力對裂紋的起裂、擴展行為的影響,裂紋起裂擴展應(yīng)滿足如下條件:

(13)

將式(10)代入式(13),可得起裂角需滿足下列方程:

(14)

當(dāng)裂紋起裂角θ確定后,通過考慮裂紋尖端臨界半徑rc的情況,由式(10)便可得到裂紋起裂時的臨界周向應(yīng)力σθc為

(15)

Bobet[27]使用最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則(MSSC)對巖石內(nèi)部裂紋的起裂角和應(yīng)力進行了預(yù)測,發(fā)現(xiàn)該準(zhǔn)則能夠很好地描述試驗過程中裂紋的擴展行為。該準(zhǔn)則認(rèn)為,當(dāng)剪切應(yīng)力絕對值|τrθ|達到臨界剪切強度τc,即|τrθ|≥τc時,裂紋開始擴展。

根據(jù)上述的MSSC和MTS準(zhǔn)則,裂紋尖端可能發(fā)生張拉型開裂、剪切型開裂或者是張拉-剪切復(fù)合型開裂,具體情況如下:①如果σθmax<σθc而且|τrθ|max<τc,裂紋尖端將不會出現(xiàn)開裂的跡象;②如果σθmax≥σθc而且|τrθ|max<τc,裂紋尖端將發(fā)生張拉型開裂;③如果σθmax<σθc而且|τrθ|max≥τc,裂紋尖端將發(fā)生剪切型開裂;④如果σθmax≥σθc而且|τrθ|max≥τc,裂紋尖端將發(fā)生張拉-剪切復(fù)合型開裂,其中|τrθ|max為剪切應(yīng)力絕對值的最大值。

4 考慮T應(yīng)力的裂紋起裂理論分析

由式(10)可知,裂紋尖端的應(yīng)力分布依賴于KⅠ、KⅡ、Tx、Ty、Txy和r,其中KⅠ、KⅡ、Tx、Ty和Txy與給定的β、k和f有關(guān),可利用式(6)(7)(12)計算得到。Schmidt[28]和Golos等[29]根據(jù)MTS準(zhǔn)則提出裂紋尖端過渡區(qū)臨界半徑rc的計算公式如下:

(16)

式中:KⅠC為Ⅰ型裂紋的斷裂韌度。當(dāng)考慮T應(yīng)力的影響時,按下式將裂紋尖端臨界半徑rc進行歸一化處理:

(17)

式中:α為歸一化系數(shù)。根據(jù)Williams等[3,15,21,30]的試驗結(jié)果和理論分析,計算過程中取α=0.1較為理想,即rc=0.005a。

4.1 T應(yīng)力對周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力的影響

k不同時T應(yīng)力隨β的變化如圖3所示。由圖3可以看出,Tx隨著β的增大由k值逐漸增大到1.0,而Ty隨著β的增大由1.0逐漸減小到k值;當(dāng)β相同時,k越大對應(yīng)的Tx和Ty越大;當(dāng)β=45°時,Tx=Ty。由于Txy=fTy,可知當(dāng)f為正值時,Txy與Ty有著相同的變化規(guī)律。

圖3 k不同時T應(yīng)力隨β的變化

當(dāng)β=30°,k=0.5,f=0.3時,T應(yīng)力對裂紋尖端周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力的影響如圖4所示。由圖4(a)可知,不考慮T應(yīng)力時的周向應(yīng)力均大于含T應(yīng)力時的值,因而在壓縮荷載作用下,忽略T應(yīng)力的影響將使得裂紋尖端的周向應(yīng)力增大,導(dǎo)致高估起裂荷載,所以T應(yīng)力的存在起到阻止或延緩裂紋起裂和擴展的作用。分析T應(yīng)力的影響時,若考慮Tx和Ty忽略Txy得到的最大周向應(yīng)力偏小;若只考慮Tx得到的最大周向應(yīng)力偏大。而本文同時考慮Tx、Ty和Txy的計算結(jié)果適中。

圖4 T應(yīng)力對周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力的影響

由圖4(b)可以看出,考慮T應(yīng)力與否或只考慮部分T應(yīng)力得到的剪切應(yīng)力存在較大的差異,T應(yīng)力對裂紋尖端應(yīng)力狀態(tài)的影響顯著,因而在分析荷載作用下裂紋起裂和擴展的行為時需全面考慮T應(yīng)力的影響,而不應(yīng)忽略或只考慮部分T應(yīng)力的影響。

圖5 側(cè)向壓力系數(shù)對裂紋尖端應(yīng)力的影響

4.2 側(cè)壓力系數(shù)對周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力的影響

圖5給出根據(jù)式(10)計算得到的不同側(cè)壓力系數(shù)k值下歸一化周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力隨起裂角θ的變化,其中,β=30°,α=0.1,f=0.3。由圖5(a)可以看出,當(dāng)θ介于0～180°時,裂紋尖端周向應(yīng)力極值隨著k值的增大由正值逐漸減小為負(fù)值,也就是說裂紋尖端由拉應(yīng)力狀態(tài)逐漸過渡到壓應(yīng)力狀態(tài);當(dāng)θ介于-180°～0時,裂紋尖端周向應(yīng)力極值隨著k值的增大由負(fù)值逐漸增加到正值,說明裂紋尖端由壓應(yīng)力狀態(tài)逐漸過渡到拉應(yīng)力狀態(tài)。以上表明,裂紋的起裂角隨著k值的增加由正傾開裂逐漸向反傾開裂過渡(正傾是指θ與β的傾向一致;反傾是指θ與β的傾向相反)。

由圖5(b)可以看出,裂紋尖端剪切應(yīng)力τrθ隨著θ的變化近似為“M”或“W”形狀,且隨著k值的增大逐漸由“M”形狀變化到“W”形狀;隨著k值的增大,|τrθ|max呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢。

4.3 初始裂紋傾角對周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力的影響

圖6給出了單軸壓縮條件下(即k=0),初始裂紋傾角β對歸一化周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力隨起裂角θ變化的影響,其中f=0.3。

圖6 初始裂紋傾角對裂紋尖端應(yīng)力的影響

由圖6(a)可以看出,當(dāng)θ介于0～180°之間時,β由5°增大到85°的過程中,周向應(yīng)力的極值由正值逐漸增大到一定程度后再逐漸減小到負(fù)值;當(dāng)θ介于-180°～ 0之間時,β由5°增大到85°過程中,周向應(yīng)力的極值由負(fù)值逐漸減小到某一定值后再逐漸增大到正值。以上分析說明,隨著β的增大,θ由正傾開裂逐漸向反傾開裂過渡。

由圖6(b)可以看出,τrθ與θ之間的關(guān)系曲線表現(xiàn)為不規(guī)則的“M”或“W”形狀,且隨著β的增大由“M”形狀逐漸過渡到“W”形狀;|τrθ|max對應(yīng)的θ分布在0°附近,隨著β的增大,|τrθ|max呈現(xiàn)出先增大后減小再逐漸增大的趨勢。

4.4 裂紋表面摩擦系數(shù)對周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力的影響

圖7給出了單軸壓縮條件下不同裂紋表面摩擦系數(shù)f對應(yīng)的歸一化周向應(yīng)力σθ/σ和剪切應(yīng)力τrθ/σ隨θ的變化,其中β=30°。由圖7(a)可知,σθmax隨著f的增加逐漸減小,對應(yīng)的起裂角θ介于60°～68°,且θ隨f值的增大呈緩慢減小的趨勢。由圖7(b)可知,|τrθ|max隨著f值的增大逐漸減小,且對應(yīng)的θ基本不受f值變化的影響。以上說明,相比k和β,f對裂紋尖端周圍應(yīng)力狀態(tài)的影響要小得多。

圖7 裂紋表面摩擦系數(shù)對裂紋尖端應(yīng)力的影響

圖8 起裂角理論值與試驗結(jié)果的對比

5 計算值與試驗結(jié)果對比分析

圖8給出了單軸壓縮條件下裂紋起裂角θ隨初始裂紋傾角β的變化。由圖8可以看出,理論值與文獻[29]中的試驗值有較高的吻合程度;不考慮裂紋表面摩擦作用時,張拉裂紋的起裂擴展總是先于剪切裂紋,但是隨著f的增大,兩種裂紋的優(yōu)先發(fā)生嚴(yán)重依賴于材料內(nèi)部的初始傾角。一般情況下,β越小越容易發(fā)生張拉開裂,β越大越容易發(fā)生剪切開裂。當(dāng)f=0.3、0.6和0.9時,張拉型裂紋優(yōu)先發(fā)生時對應(yīng)的β范圍分別為0～73.2°、0～59.1°和0～47.3°,其他角度范圍均是剪切斷裂優(yōu)先發(fā)生。這里需要注意的是,隨著f的增大,沿裂紋表面的摩擦作用更傾向于阻止裂紋的滑動開裂。因此,裂紋表面的摩擦作用能夠抑制張拉裂紋的發(fā)生,卻會增加剪切裂紋發(fā)生的概率。由圖8還可以看出,β>15°時,θ對β值變化并不敏感;當(dāng)β較小時,θ隨β的增加而顯著增大,而理論值相對試驗值偏大,其主要原因在于試驗所用試樣尺寸有限,根據(jù)遠(yuǎn)場應(yīng)力推求的裂紋尖端應(yīng)力理論值與實際值存有一定差別。

5 結(jié) 論

a. 考慮T應(yīng)力可有效減小裂紋尖端的周向應(yīng)力,從而能夠阻止或延緩裂紋的起裂和擴展,考慮非奇異項Tx、Ty和Txy所得到的σθmax和|τrθ|max介于只考慮Tx和考慮Tx和Ty所得到的值之間。

b. 裂紋表面的摩擦系數(shù)f越大,裂紋尖端的最大周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力絕對值的最大值越小,考慮裂紋表面的摩擦效應(yīng)一定程度上也能起到阻止或延緩裂紋起裂和擴展的作用。

c. 壓縮荷載作用下,裂紋尖端的起裂角θ隨著側(cè)向壓力系數(shù)k和初始裂紋傾角β的增大由正傾逐漸向反傾過渡;k和β越小,裂紋的起裂和擴展越容易發(fā)生張拉開裂;k和β越大,裂紋發(fā)生剪切開裂的概率越大。