馬春波 黃 可 敖 珺

（桂林電子科技大學(xué) 桂林 541004）

1 引言

激光在大氣中傳輸時(shí)，湍流引起的折射率起伏會(huì)使得光束的振幅和相位失真，嚴(yán)重影響激光通信系統(tǒng)的通信質(zhì)量。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)光束的相位失真可以由模擬相位屏代替，目前常用的模擬方法有功率譜法［1～6］、隨機(jī)中點(diǎn)位移算法［7～10］、線性插值法［11］和統(tǒng)計(jì)插值法［12］，上述方法均用于模擬Kolmogorov（K）湍流模型下的隨機(jī)相位屏。隨著研究的深入，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明大氣中的湍流在大多數(shù)情況下違背了K湍流局地均勻且各向同性的統(tǒng)計(jì)特征，主要表現(xiàn)為：慣性區(qū)內(nèi)的標(biāo)度指數(shù)不再是K湍流時(shí)的-5/3而是在-5/3附近隨機(jī)起伏［13］。將偏離K湍流統(tǒng)計(jì)特征的湍流稱為Non-Kolmogorov（N-K）湍流。因此，研究光束在大氣中的傳播時(shí)不僅要考慮湍流的各向異性還要考慮傳播路徑上湍流譜的變化問(wèn)題，李玉杰于2016年研究了功率譜法、Zernike多項(xiàng)式法和隨機(jī)中點(diǎn)位移算法在N-K湍流模型下仿真相位屏的適用性，發(fā)現(xiàn)功率譜法和Zernike多項(xiàng)式法仿真的N-K相位屏分別具有低頻和高頻信息不足的缺陷。Zernike多項(xiàng)式法隨著項(xiàng)數(shù)的增加，計(jì)算量巨大，本文不考慮此方法。研究常用方法在產(chǎn)生N-K湍流模型下的相位屏?xí)r的適用性也是非常重要的。

本文針對(duì)K和N-K湍流模型，用功率譜法、隨機(jī)中點(diǎn)位移算法、線性插值法和統(tǒng)計(jì)插值法對(duì)相位屏進(jìn)行了數(shù)值仿真。通過(guò)對(duì)比仿真相位屏的高低頻信息和相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的相對(duì)誤差，研究上述方法在不同湍流模型下的適用性，為系統(tǒng)設(shè)計(jì)［14～15］的可靠性奠定了基礎(chǔ)。

2 湍流相位屏產(chǎn)生方法

2.1 功率譜法

功率譜方法（FFT）［1～4］是用一個(gè)復(fù)高斯隨機(jī)數(shù)矩陣對(duì)湍流的功率譜進(jìn)行濾波，然后進(jìn)行逆傅里葉變換來(lái)得到大氣的擾動(dòng)相位。產(chǎn)生相位屏的過(guò)程可由下列離散形式表示。

其中，R(kx，ky)是復(fù)高斯隨機(jī)數(shù)，Φn(m?kx，n?ky)是功率譜函數(shù)，?z是兩個(gè)相位屏間的距離。功率譜仿真的湍流相位屏具有低頻信息不足的缺陷。Lane等提出增加次諧波的方法［5～6］對(duì)FFT方法產(chǎn)生的相位屏進(jìn)行低頻補(bǔ)償，生成次諧波的表達(dá)式如下。

式中：p是次諧波級(jí)數(shù)，次諧波頻率間隔分別為?kxp=?kx/3p，?kyp=?ky/3p。將式（1）和式（2）相加即可得經(jīng)次諧波補(bǔ)償后的相位屏。圖1、圖2所示分別為FFT方法模擬的K與N-K相位屏，其中（a）～（d）依次是未加次諧波和疊加1、3、5次諧波的相位屏，仿真參數(shù)為口徑為1m，網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為257×257，大氣相干長(zhǎng)度為0.5m，后續(xù)仿真皆采用該參數(shù)。

圖1 FFT方法生成的Kolmogorov湍流相位屏

圖2 FFT方法生成的Non-Kolmogorov（α=3.9）湍流相位屏

從圖1、2中可以看出，F(xiàn)FT法產(chǎn)生的相位屏經(jīng)過(guò)次諧波的疊加后變平滑。當(dāng)次諧波疊加的階數(shù)超過(guò)5階時(shí)，高低頻信息都減小。圖3（a）、（b）所示分別是模擬相位屏的低頻信息的均值與方差，（c）、（d）分別是高頻信息的均值與方差。圖4（a）、（b）所示則是K與N-K湍流下疊加不同階數(shù)的次諧波后所得相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的對(duì)比曲線。

圖3 FFT方法所得相位屏的高低頻信息變化曲線。

圖3的曲線可以證明高頻信息減小，低頻信息增加。圖4表明FFT方法所得相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值相差甚遠(yuǎn)，經(jīng)過(guò)次諧波疊加后相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)逐漸向理論值靠攏，在K和N-K模型下分別疊加5階與3階次諧波時(shí)與理論值符合最好，再疊加反而偏離理論曲線。

圖4 FFT方法生成的相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值對(duì)比曲線

2.2 隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法

隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法［7～10］是利用相位結(jié)構(gòu)函數(shù)［16］得到初始相位值，經(jīng)過(guò)循環(huán)插值來(lái)獲得相位屏網(wǎng)格上每一個(gè)位置的相位值。初始相位值定義如下。

其中D是相位屏的邊長(zhǎng)。圖5、6所示分別是隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法模擬的K與N-K相位屏，其中（a）～（d）依次表示插值5～8次所得相位屏。圖7（a）、（b）所示分別是隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法模擬相位屏的低頻信息的均值與方差，（c）、（d）分別是模擬相位屏的高頻信息的均值與方差。圖8所示的（a）、（b）分別是K湍流與N-K湍流下插值不同次數(shù)所得相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的對(duì)比曲線。

從圖5、圖6中看出插值5次后的相位屏高頻信息較多，圖像的灰度不如插值6～8次后分布均勻，對(duì)應(yīng)到圖7中發(fā)現(xiàn)隨著插值的次數(shù)越多，相位屏的高、低頻信息都在減少。圖8的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)比曲線可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)8次插值獲得的K相位屏與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)曲線符合最好，而N-K湍流下只需6次插值就能符合最好，說(shuō)明該方法仿真的相位屏在高頻信息減少的情況下，低頻信息不是越少越好，而且在低頻信息的方差較小的情況下仿真效果較好。

圖5 隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法生成的Kolmogorov湍流相位屏

圖6 隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法生成的Non-Kolmogorov（α=3.9）湍流相位屏

圖7 隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法所得相位屏的高低頻信息變化曲線

圖8 隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法生成的相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值對(duì)比曲線

2.3 線性插值法

線性插值法［11］用已知的初始相位值和插值相位點(diǎn)的位置來(lái)獲得相位屏，計(jì)算過(guò)程為

其中P是插值點(diǎn)的相位值，P1～P4分別是四個(gè)初始點(diǎn)的相位值，D是相位屏的邊長(zhǎng)，u、v分別是插值點(diǎn)距相位屏左邊界與下邊界的垂直距離。圖9、10所示分別是線性插值法模擬的K與N-K相位屏，其中（a）～（d）依次表示初始矩陣為3×3、9×9、33×33、65×65時(shí)的相位屏。

圖9 線性插值法生成的Kolmogorov湍流相位屏

圖10 線性插值法生成的Non-Kolmogorov（α=3.9）湍流相位屏

圖11 線性插值法所得相位屏的高低頻信息變化曲線

圖12 線性插值法產(chǎn)生相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)比曲線

圖11所示的（a）、（b）分別是線性插值法模擬相位屏的低頻信息的均值與方差，（c）、（d）分別是高頻信息的均值與方差。圖12所示的（a）、（b）分別是K湍流與N-K湍流下由不同初始點(diǎn)矩陣插值得到的相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的對(duì)比曲線。

從圖9、圖10中無(wú)法看出以不同初始矩陣經(jīng)過(guò)插值后所得相位屏的高低頻信息變化。由圖11發(fā)現(xiàn)所得K相位屏的低頻信息與選取的初始點(diǎn)矩陣的增大呈先減小后增加的變化，而N-K相位屏則是先增加后減小，二者的高頻信息都隨著初始點(diǎn)矩陣的增大而增加，但高頻信息的增加會(huì)使得相位屏灰度分布變得不均勻。圖12表明在K湍流與N-K湍流模型下分別以9×9個(gè)初始點(diǎn)與3×3個(gè)初始點(diǎn)插值成257×257的相位屏，其結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值符合最好。綜合圖9～圖12發(fā)現(xiàn)該方法在仿真相位屏?xí)r選擇低頻信息較少的情況能使相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值符合較好。

2.4 統(tǒng)計(jì)插值法

統(tǒng)計(jì)插值法［12］用已知初始相位值和插值點(diǎn)的位置來(lái)產(chǎn)生相位屏，新相位值由下式獲得。

其中P是新相位值，P1、P2、P3、P4是四個(gè)初始點(diǎn)的相位值，權(quán)重系數(shù)a、b、c、d滿足a+b+c+d=1，R是一個(gè)零均值，方差為σ2的高斯隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)插值法可以在初始點(diǎn)矩陣的任意位置產(chǎn)生新的相位值，引入的權(quán)重系數(shù)和隨機(jī)變量不僅與插值點(diǎn)的位置有關(guān)，還與相位結(jié)構(gòu)函數(shù)相關(guān)［4］。圖13、14所示分別是統(tǒng)計(jì)插值法模擬的K與N-K相位屏，其中（a）～（d）依次表示初始矩陣為3×3、9×9、33×33、65×65的相位屏。從圖中可以發(fā)現(xiàn)隨著初始點(diǎn)矩陣的增大，相位屏的灰度分布更加均勻。

圖13 統(tǒng)計(jì)插值法生成的Kolmogorov湍流相位屏

圖14 統(tǒng)計(jì)插值法生成的Non-Kolmogorov（α=3.9）湍流相位屏

圖15 所示的（a）、（b）是統(tǒng)計(jì)插值法模擬相位屏低頻信息的均值與方差，（c）、（d）是高頻信息的均值與方差。圖16的（a）、（b）所示分別是K與N-K湍流下由不同初始點(diǎn)矩陣經(jīng)過(guò)插值得到的相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的對(duì)比曲線。

通過(guò)圖16發(fā)現(xiàn)在兩種不同模型下仿真相位屏?xí)r，以9×9個(gè)初始點(diǎn)與65×65個(gè)初始點(diǎn)插值成257×257的相位屏其結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值符合最好，說(shuō)明該方法在高頻信息較少的情況下，仿真的相位屏低頻信息均值與方差都較小的時(shí)候更接近理論值。

圖15 統(tǒng)計(jì)插值法所得相位屏的高低頻信息變化曲線

圖16 統(tǒng)計(jì)插值法產(chǎn)生相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)比曲線

2.5 仿真結(jié)果的分析

表1是不同方法分別在K與N-K湍流模型下仿真相位屏的參數(shù)對(duì)比。圖17（a）、（b）所示分別是K與N-K湍流下不同方法產(chǎn)生相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的對(duì)比曲線。

從表1和圖17中可以得出如下結(jié)論：

1）仿真K湍流下的相位屏?xí)r，線性插值法用時(shí)最少，但其相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差卻是最大的，譜反演法和統(tǒng)計(jì)插值法分別在疊加次諧波和計(jì)算初始相位值的過(guò)程中耗時(shí)較多，故產(chǎn)生相位屏的用時(shí)較長(zhǎng)，隨機(jī)中點(diǎn)位移法產(chǎn)生相位屏用時(shí)較少且與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差最??；隨機(jī)中點(diǎn)位移插值法產(chǎn)生的相位屏高低頻信息的均值變化成正比，其它三種方法呈反比，高低頻信息的方差變化也是如此。綜合看來(lái)，隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法仿真所得K相位屏包含豐富的高低頻信息且與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差最小，因此選擇該方法模擬相位屏是非常合適的。

表1 不同方法分別在K與N-K湍流模型下仿真相位屏的參數(shù)對(duì)比

圖17 不同方法產(chǎn)生的湍流相位屏的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的對(duì)比

2）仿真N-K湍流下的相位屏?xí)r，隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法用時(shí)最少，但其相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差也最小，線性插值法用時(shí)較少，但與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差較大，譜反演法和統(tǒng)計(jì)插值法用時(shí)較長(zhǎng)，其相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差較小；隨機(jī)中點(diǎn)位移插值法與統(tǒng)計(jì)插值法產(chǎn)生的相位屏高低頻信息的均值變化成正比，其它兩種方法呈反比，高低頻信息的方差變化也是如此。綜合來(lái)看，隨機(jī)中點(diǎn)位移插值算法仿真所得N-K相位屏包含豐富的高低頻信息且與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差最小，因此選擇該方法模擬相位屏是非常合適的。

3 結(jié)語(yǔ)

用功率譜法、隨機(jī)中點(diǎn)位移算法、線性插值法和統(tǒng)計(jì)插值法分別模擬了K與N-K湍流模型下的相位屏，并通過(guò)對(duì)比模擬相位屏的高低頻信息以及相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的差異分析了這四種方法在不同湍流模型下的適用性。

分析的結(jié)果表明：使用FFT方法時(shí)增加多階次諧波可以改善低頻不足的缺陷，但會(huì)降低模擬效率；隨機(jī)中點(diǎn)位移算法生成的相位屏高頻和低頻信息都較為充足，且計(jì)算速度快，與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差也較??；線性插值法和統(tǒng)計(jì)插值法雖然只需經(jīng)過(guò)一次插值便能獲得相位屏，但其所需初始點(diǎn)的計(jì)算比較耗時(shí)，且結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論結(jié)構(gòu)函數(shù)的相對(duì)誤差也較大。若要在模擬相位屏的高低頻信息都較為充分的情況下，使相位結(jié)構(gòu)函數(shù)更接近理論結(jié)構(gòu)函數(shù)，隨機(jī)中點(diǎn)位移算法在K與N-K湍流模型下是快速且有效模擬相位屏的方式，應(yīng)作為兩種模型下相位屏模擬的常用方法。