周 微

(常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 常州 213164)

柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)(Compliant Parallel Mechanism)是一種利用自身柔性桿件的彈性變形來傳遞運(yùn)動(dòng)的新型機(jī)構(gòu),通過有效地運(yùn)用彈性變形來改善機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性,具有結(jié)構(gòu)剛度強(qiáng)、無摩擦磨損、免裝配潤滑和運(yùn)動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn),在生物醫(yī)學(xué)、高精度機(jī)床和機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1].由于柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制系統(tǒng)具有復(fù)雜多變量、強(qiáng)非線性和高耦合的特點(diǎn),如何提高柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的軌跡跟蹤精度是控制研究急需解決的問題[2].文獻(xiàn)[3]從柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)非線性與線性間的不確定性方面進(jìn)行分析,基于H2/H∞混合魯棒控制,研究了機(jī)構(gòu)的位置追蹤狀態(tài).文獻(xiàn)[4]以一種柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,采用合成法和PD相結(jié)合的控制方式,設(shè)計(jì)了一種基于機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的新型控制器.文獻(xiàn)[5]采用一種結(jié)合應(yīng)變速度和最佳狀態(tài)的反饋控制器,研究了平面3-RRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng).文獻(xiàn)[6]采用Hensens & Kostic理論來補(bǔ)償柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Lagrange方程,從而補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的單位定點(diǎn)誤差,分析了機(jī)構(gòu)分別在S型、T型速度規(guī)劃算法下的位置和速度誤差.為了改善柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位移軌跡跟蹤精度,本文基于3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu),設(shè)計(jì)了一種自抗擾控制器(Active Disturbance Rejection Control,ADRC),并分析了機(jī)構(gòu)的位移追蹤誤差,有效提高了機(jī)構(gòu)的控制穩(wěn)定性.

1 3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

1.1 機(jī)構(gòu)模型

本文以3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,由于柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)是以傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)為設(shè)計(jì)原型,并運(yùn)用拓?fù)鋬?yōu)化方法得到的一種新型機(jī)構(gòu),拓?fù)鋬?yōu)化方法并沒有改變機(jī)構(gòu)間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系,故可以運(yùn)用傳統(tǒng)3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論來分析3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)[7].

3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度,即沿XY方向的平移和繞Z方向的轉(zhuǎn)動(dòng),模型如圖1所示.機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及連接動(dòng)定平臺(tái)的3條對(duì)稱支鏈構(gòu)成.機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)A1A2A3和動(dòng)平臺(tái)C1C2C3均為等邊三角形,每條運(yùn)動(dòng)支鏈由1個(gè)移動(dòng)副(P副)和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R副)構(gòu)成.移動(dòng)副連接著定平臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)和轉(zhuǎn)動(dòng)副,是機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副,驅(qū)動(dòng)距離為di(i=1,2,3).連桿BiCi(i=1,2,3)長度均相等,兩端為轉(zhuǎn)動(dòng)副且與動(dòng)平臺(tái)相連.在動(dòng)平臺(tái)的中心建立定坐標(biāo)系O-xy,其中，θi為連桿BiCi與x軸正向的夾角,αi為AiBi與x軸正向的夾角,θP為動(dòng)平臺(tái)C1C2C3繞z軸的旋轉(zhuǎn)角度.點(diǎn)P為動(dòng)平臺(tái)的幾何中心,即機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)末端.

1.2 機(jī)構(gòu)Jacobian分析

基于圖1的機(jī)構(gòu)模型,采用閉環(huán)矢量法對(duì)機(jī)構(gòu)的3條支鏈進(jìn)行求解,可以得到支鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束關(guān)系，即

(1)

將式(1)的矢量方程投影至x軸和y軸,可得

圖1 3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型Fig.1 Model of 3-PRR compliant parallel mechanism

(2)

式中:(xAi,yAi)為點(diǎn)Ai的坐標(biāo).

對(duì)式(2)求導(dǎo),可得

(3)

2 系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)

2.1 PID控制器的設(shè)計(jì)

PID控制是一種通過利用反饋誤差的方式來達(dá)到控制效果的閉環(huán)控制,是運(yùn)用最廣泛的控制技術(shù).PID控制器通過參數(shù)整定,調(diào)節(jié)比例、積分和微分3個(gè)參數(shù)值以形成控制器的理想輸出,這些參數(shù)的線性組合可以反映控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性能[8].PID控制器的原理如圖2所示,其中，Integrator為積分器,Derivation為微分器.Kp,Ki,Kd3個(gè)參數(shù)的調(diào)節(jié)對(duì)于控制系統(tǒng)的效果有著關(guān)鍵作用,本文采用臨界曲線法來對(duì)Kp,Ki,Kd進(jìn)行參數(shù)整定,使其達(dá)到最佳的控制效果.

圖2 PID控制原理圖Fig.2 Schematic diagram of PID control

2.2 ADRC控制器的設(shè)計(jì)

ADRC主要由非線性跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和非線性狀態(tài)誤差反饋3部分組成,原理如圖3所示.為了提高控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,解決系統(tǒng)快速響應(yīng)和超調(diào)間的矛盾,運(yùn)用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行實(shí)時(shí)在線估計(jì),利用跟蹤微分器安排過渡過程,并對(duì)系統(tǒng)的總擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償.

圖3 ADRC控制原理圖Fig.3 Schematic diagram of ADRC control

2.2.1 跟蹤微分器

跟蹤微分器是自抗擾控制的前饋通路部分,主要作用是處理系統(tǒng)的輸入信號(hào)r(k),并提取出輸入信號(hào)r(k)的跟蹤信號(hào)r1(k)和微分信號(hào)r2(k).跟蹤微分器可以根據(jù)輸入信號(hào)的大小和控制要求來安排過渡過程,解決快速響應(yīng)和超調(diào)間的矛盾,使系統(tǒng)的輸入信號(hào)具有快速性且無超調(diào)的雙重特點(diǎn).跟蹤微分器的輸出方程為

(4)

式中:h為系統(tǒng)采樣時(shí)間;r(k)為輸入信號(hào).fst(x1,x2,δ,h0)為非線性函數(shù),

(5)

式中:δ為速度因子,決定系統(tǒng)的跟蹤速度;h0為濾波因子,對(duì)噪聲進(jìn)行濾波處理;sgn(·)為符號(hào)函數(shù);d與α的值為

d=δh0

d0=h0d

y=x1+h0x2

(6)

(7)

2.2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器是自抗擾控制的反饋通路部分,主要作用是將系統(tǒng)未建模部分、內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)以及外界干擾等因素歸為一個(gè)新的狀態(tài),為系統(tǒng)提供新的反饋輸入信號(hào)z(k)、擴(kuò)張狀態(tài)變量和各階狀態(tài)變量.通過擴(kuò)張狀態(tài)變量估算系統(tǒng)的干擾,從而利用反饋來補(bǔ)償系統(tǒng)擾動(dòng).擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的輸出方程為

(8)

式中:y(k)為系統(tǒng)輸出信號(hào);u(k)為系統(tǒng)非線性狀態(tài)反饋輸出信號(hào);ε0為初始輸出誤差信號(hào);z1(k),z2(k),z3(k)分別為跟蹤信號(hào)、微分信號(hào)和反饋誤差信號(hào);b0,β1,β2,β3為控制參數(shù);fal(ε0,αi,δ0)為非線性函數(shù),

(9)

式中:δ0為初始速度因子;ε為輸出誤差信號(hào);αi為實(shí)數(shù),0<αi<1.

2.2.3 非線性狀態(tài)誤差反饋

由于PID控制律的Kp,Ki,Kd線性組合往往會(huì)造成控制系統(tǒng)快速響應(yīng)與超調(diào)之間的矛盾,因此，非線性狀態(tài)誤差反饋將Kp,Ki,Kd的線性組合轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性組合,從而實(shí)現(xiàn)自抗擾控制.非線性狀態(tài)誤差反饋的控制律方程如下:

e1(k)=r1(t)-z1(k)

e2(k)=r2(t)-z2(k)

u0=kpfal(e1,α01,δ1)+kdfal(e2,α02,δ1)

(10)

式中:kP,kd為非線性狀態(tài)反饋的比例和微分參數(shù);e1(k),e2(k)分別為跟蹤誤差信號(hào)和微分誤差信號(hào);fal(e2,α02,δ1)與式(9)相同,0<α01<α02<1.

2.3 ADRC控制器穩(wěn)定性分析

假設(shè)系統(tǒng)為不確定參數(shù)2階系統(tǒng),ei=xi-zi(i=1,2,3),那么可得到系統(tǒng)的偏差狀態(tài)方程為

(11)

(12)

由式(12)可知,參數(shù)ω0決定了擴(kuò)張觀測器的控制性能,且偏差狀態(tài)方程的3個(gè)極點(diǎn)都處于同一位置,此時(shí)有

(13)

由于fal(e1,a01,δ)為奇函數(shù),當(dāng)kp>0時(shí),P(e1)>0.因此，控制器方程可簡化為

(14)

系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為e1=e2=0.

選取Lyapunov函數(shù)為

(15)

(16)

因此，控制系統(tǒng)處于半負(fù)定,符合Lyapunov穩(wěn)定性的要求[9].

3 控制仿真

根據(jù)柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特性,不斷調(diào)節(jié)控制器的參數(shù),直至機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)且誤差波動(dòng)較小,仿真時(shí)間為10 s.PID控制器的控制參數(shù)Kp=8.5,Ki=0.5,Kd=0.2.ADRC控制器的參數(shù)為δ=6,α1=0.3,α2=0.1,β1=51,β2=372,β3=1 058,δ0=0.004,kp=18,kd=0.9,α01=0.6,α02=0.8,δ1=0.05.系統(tǒng)在X,Y,Z3個(gè)方向的PID控制和ADRC控制位移跟蹤曲線分別如圖4～圖6所示.

圖4 X方向位移跟蹤誤差曲線Fig.4 Displacement tracking error curve of X-direction

圖5 Y方向位移跟蹤誤差曲線Fig.5 Displacement tracking error curve of Y-direction

由圖4～圖6可知：PID控制和ADRC控制在最初的3 s時(shí)間內(nèi),均存在較大的軌跡跟蹤誤差,軌跡跟蹤的穩(wěn)定性較差.經(jīng)過一段控制算法的實(shí)時(shí)運(yùn)算,兩種控制方式都能達(dá)到一定的控制精度,但是隨著ADRC控制不斷消除快速響應(yīng)與超量間的矛盾,使得機(jī)構(gòu)3個(gè)方向的軌跡跟蹤誤差逐漸趨近于零,而PID控制無法消除該矛盾,軌跡跟蹤誤差還是較大.由表1可知,與PID控制相比,ADRC控制的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間都更短,說明ADRC控制的穩(wěn)定性更好,在響應(yīng)速度方面更優(yōu).

圖6 Z方向位移跟蹤誤差曲線Fig.6 Displacement tracking error curve of Z-direction

表1 仿真結(jié)果Tab.1 Simulation result

4 結(jié)語

基于3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型,根據(jù)閉環(huán)矢量法分析了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,得到的輸入輸出Jacobian矩陣為控制系統(tǒng)提供了參考輸入.分別設(shè)計(jì)了PID控制器和ADRC控制器,并分析了ADRC控制器的非線性跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和非線性狀態(tài)誤差反饋部分.研究了柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)在PID控制和ADRC控制兩種不同控制方式下的位移軌跡誤差曲線,結(jié)果表明:ADRC控制可以解決快速響應(yīng)與超調(diào)間的矛盾,軌跡跟蹤誤差小,響應(yīng)速度快,可以滿足柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)高追蹤精度的要求.