王興波 唐春明 李建輝

摘? 要：通過對文獻(xiàn)資料的歸類分析，結(jié)合大整數(shù)分解理論和實(shí)踐的具體發(fā)展，從宏觀層面將大整數(shù)分解的歷程劃分為四個(gè)階段并歸納出了每個(gè)階段的基本特征，同時(shí)結(jié)合國內(nèi)研究情況總結(jié)出了國內(nèi)研究的特點(diǎn)，指出了國內(nèi)外研究的差別以及國內(nèi)研究的某些局限性。文章最后還介紹了最近幾年新發(fā)現(xiàn)的基于二叉樹研究方法的特色及其取得的成果，展示了一些算例并揭示了未來的相關(guān)研究方向和內(nèi)容。文章可作為研究大整數(shù)分解算法的參考。

關(guān)鍵詞：計(jì)算數(shù)論;密碼學(xué);整數(shù)分解;算法

中圖分類號：TN918? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-4706（2020）16-0125-09

Study on Algorithms of Big Integer Factorization in Public-key Cryptosystem

WANG Xingbo1，TANG Chunming2，LI Jianhui3

（1.Foshan University，F(xiàn)oshan? 528225，China;2.Guangzhou University，Guangzhou? 510006，China;

3.Foshan Polytechnic，F(xiàn)oshan? 528137，China）

Abstract：Based on the classification and analysis of literature，combined with the specific development of the theory and practice of large integer decomposition，the process of large integer decomposition is divided into four stages from the macro level，and the basic characteristics of each stage are summarized. At the same time，the characteristics of domestic research are summarized based on the domestic research situation，and the differences between domestic and foreign research and some limitations of domestic research are pointed out. At the end of the paper，the characteristics and achievements of the new research method based on binary tree in recent years are introduced，and some examples are presented，and the related research directions and contents in the future are revealed. This paper can be used as a reference for studying large integer factorization algorithm.

Keywords：computational number theory;cryptography;integer factorization;algorithm

0? 引? 言

大整數(shù)分解問題是數(shù)論的困難問題之一，也是人類尚未完全解決的科學(xué)問題之一，一直受到世界各國眾多數(shù)學(xué)和信息安全工作者的關(guān)注。近百年來，人類對于破解這個(gè)難題的努力一直未有間斷，其間有興奮、失落，亦有努力和希望并行，構(gòu)成了解決這個(gè)難題的艱難歷程。

近50年來，學(xué)者們主要在大整數(shù)分解基礎(chǔ)理論方法與分解實(shí)踐兩方面開展研究。分解理論主要在尋找高效的分解算法方面，而分解實(shí)踐則主要集中在RSA實(shí)驗(yàn)室1991年公布的系列RSA模數(shù)及數(shù)論里懸疑的一些特殊數(shù)如梅森數(shù)、費(fèi)馬數(shù)等。

1975年到1995年近20年的時(shí)間，大整數(shù)分解理論從技術(shù)層面產(chǎn)生了一些優(yōu)秀的算法，如Pollard Rho算法、連分?jǐn)?shù)法（Continued fraction，CFRAC）、二次篩法（Quadratic Sieve，QS）、平方型分解法（SQUare FOrm Factorization，SQUFOF）、橢圓曲線法（ECM）和數(shù)域篩法（Number Field Sieve，NFS）等。1996年12月美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)通訊（NOTICES OF THE AMS）發(fā)表了一篇題為《兩個(gè)篩法的故事》（“A Tale of Two Sieves”）的長文。作者Carl Pomerance是二次篩法的創(chuàng)始人，通過該文介紹了當(dāng)時(shí)理論與實(shí)踐的各種成就，成功與期盼之情躍然紙上。然而自該文后25年過去了，大整數(shù)分解的問題依然沒有解決。

筆者早在上大學(xué)之時(shí)就對這個(gè)問題充滿憧憬，還給數(shù)學(xué)大師陳景潤寫信，信誓旦旦地要解決這個(gè)問題。后來參加研究生復(fù)試時(shí)，導(dǎo)師說：“這個(gè)問題留待你退休后研究吧！”時(shí)至今日，退休之日近在咫尺，回想幾十年對這個(gè)問題的了解和研究，模仿Carl Pomerance講故事的方式，向讀者回顧近30年來人類辛苦探索該問題的歷程，同時(shí)也介紹筆者及其團(tuán)隊(duì)對這個(gè)問題的研究結(jié)果。

1? 國內(nèi)外研究概況

高效分解整數(shù)的算法無疑是解決大整數(shù)分解難題的關(guān)鍵。近50年來，國內(nèi)外都有學(xué)者在不停地耕耘，其間也取得了令人欣慰的成就，從技術(shù)層面產(chǎn)生了很多優(yōu)秀的算法。很多文獻(xiàn)已經(jīng)對這些算法的技術(shù)特點(diǎn)、理論價(jià)值做了介紹，故本文在這里不再贅述。本文主要關(guān)注大整數(shù)分解的發(fā)展歷程和每個(gè)時(shí)期的特點(diǎn)，從宏觀層面總結(jié)這個(gè)辛酸與期望并存的求索過程。

1.1? 國外研究

根據(jù)國內(nèi)外的文獻(xiàn)綜述情況，國外對于整數(shù)分解的研究成果可分為四個(gè)階段：

（1）無“計(jì)”可施階段：持續(xù)數(shù)百年的試除法和Fermat方法;

（2）“眾說紛紜”階段：1975年前后到1995年前后20年左右;

（3）“計(jì)窮力竭”階段：1995年到2010年前后15年左右;

（4）“再入迷?！彪A段：2010年至今。

以下分別簡述各階段的主要成果及特點(diǎn)。

1.1.1? 1975年以前“無計(jì)可施”的數(shù)百年

歷史上人類對于整數(shù)分解的問題除了試除（試除法）以外，可謂無“計(jì)”可施，直到17世紀(jì)業(yè)余數(shù)學(xué)家Pierre de Fermat提出了Fermat法以后才算有一個(gè)基本解決方法。試除法和Fermat法在所有因數(shù)分解的教科書里都有介紹。它們直觀易懂，分解大整數(shù)的效率很低，適合分解小整數(shù)，是1970年以前分解整數(shù)的主要方法。對于分解大整數(shù)而言，這兩個(gè)方法都“無計(jì)可施”。文獻(xiàn)[1]將此稱為“束手無策”（參見文獻(xiàn)[1]第19頁）。

1.1.2? 1975年—1995年“眾說紛紜”的20年

國內(nèi)外文獻(xiàn)記錄和相關(guān)綜述表明[1-6]，20世紀(jì)70年代中至90年代中是人類研究整數(shù)分解的高峰時(shí)期，也是相關(guān)成果出現(xiàn)的密集期，堪稱整數(shù)分解算法研究的“眾說紛紜”時(shí)代。綜合各種綜述文獻(xiàn)，可發(fā)現(xiàn)這個(gè)階段產(chǎn)生了各有所長的10多種分解算法。表1列舉了一些有影響的算法。

1.1.3? 1995年—2010年“計(jì)窮力竭”的15年

1974年后密集出現(xiàn)的各種算法，讓數(shù)學(xué)家對解決分解整數(shù)的難題充滿了希望。各種先進(jìn)計(jì)算機(jī)的研制成功，甚至讓一些人認(rèn)為分解大整數(shù)已經(jīng)不是什么問題了。但是RSA實(shí)驗(yàn)室向世人展示了一個(gè)嚴(yán)酷的事實(shí)——大整數(shù)分解依然困難。1991年3月，RSA實(shí)驗(yàn)室公布了一組RSA模數(shù)并為每個(gè)模數(shù)設(shè)置了獎(jiǎng)金——分解了所公布任何模數(shù)都能獲得對應(yīng)的獎(jiǎng)金。由此開辟了應(yīng)用與檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)各種分解算法的階段，并且分解RSA模數(shù)成為計(jì)算數(shù)論與密碼學(xué)界檢驗(yàn)分解算法成效的標(biāo)志性指標(biāo)。

隨著高性能計(jì)算機(jī)的問世，并行計(jì)算自然成為研究和采用的基本手段。各種算法的并行化是該階段的研究特征。1990年，Brent R P就研究了整數(shù)分解并行計(jì)算的可能性。在文獻(xiàn)[7]中，Brent指出Pollard Rho算法在并行計(jì)算時(shí)效率并沒有明顯提高，認(rèn)為該算法的并行計(jì)算意義不大;他同時(shí)指出ECM和QS的并行計(jì)算效果較好。1999年，Brent總結(jié)了當(dāng)時(shí)的并行計(jì)算成果并發(fā)表了文獻(xiàn)[8]。2000年Wolski E的團(tuán)隊(duì)給出了ECM的并行計(jì)算法[9];同年，Brynielsson J發(fā)表了二次篩法的并行計(jì)算方法[10]。2005年—2007年，Mcmath S S及其團(tuán)隊(duì)先后發(fā)表了二次型法與連分?jǐn)?shù)法的并行計(jì)算特征[11，12]。隨后幾年，如文獻(xiàn)[13][14]所述，NFS并行化得到廣泛關(guān)注并取得了不菲成就。到目前為止，NFS被認(rèn)為是效率最高的分解算法。從表2所列已分解的RSA模數(shù)及其分解方法可知，幾乎每個(gè)被分解的模數(shù)都能用NFS分解。

NFS在分解RSA模數(shù)方面的成功運(yùn)用似乎抑制了人們繼續(xù)挖掘更好算法的欲望。相比1975年—1995年的20年期間產(chǎn)生了近10種算法，在1995年—2010年的15年期間，沒有比NFS更有影響力的算法出現(xiàn)。目前，并行NFS在分解大的RSA模數(shù)方面幾乎是不二的選項(xiàng)。正因?yàn)槿绱?，筆者稱這個(gè)時(shí)期是“計(jì)窮力竭”階段。

1.1.4? 2010年以來“再入迷?！钡哪甏?/p>

從前面2小節(jié)的歷史陳述可以看出，到目前為止所有常規(guī)算法（串行或并行）在分解具有小因數(shù)的整數(shù)方面都很成功，但是在分解大整數(shù)方面仍然不盡人意。人們不得不面臨一個(gè)殘酷的現(xiàn)實(shí)問題：效率最高的NFS需要通過并行計(jì)算系統(tǒng)或超級計(jì)算機(jī)耗費(fèi)巨量計(jì)算資源來實(shí)現(xiàn)[15]。例如，著名的RSA-768就是基于80個(gè)2.2 GHz AMD皓龍（Opteron）四核心CPU的并行計(jì)算歷經(jīng)半年得到分解的[16]。Bruce Schneier于2019年12月分解RSA-240時(shí)用了800個(gè)物理核做篩子外加100個(gè)物理核做矩陣。文獻(xiàn)[17]統(tǒng)計(jì)，NFS分解768位（二進(jìn)制）目標(biāo)時(shí)，因子基需要240 MB內(nèi)存、篩子需要10 GB、矩陣計(jì)算需要160 GB，分解1 024位目標(biāo)則分別需要7.5 GB、256 GB和10 TB的內(nèi)存。目前只有擁有大計(jì)算資源的國家和地區(qū)，才有條件開展相應(yīng)的研究[18]。正因?yàn)槿绱耍芯W(wǎng)友戲謔預(yù)測：在天河二號上跑半年也許能夠分解RSA-232。事實(shí)上，Bruce Schneier在分解RSA-240時(shí)，采用Intel Xeon Gold 6130 CPU共花了4 000核年的計(jì)算量，折算在天河二號上，大概需要1 000個(gè)天河節(jié)點(diǎn)及24 000個(gè)天河計(jì)算核，持續(xù)運(yùn)行300天（費(fèi)用開銷估算在1 728萬元人民幣左右）。

鑒于這樣的現(xiàn)實(shí)，印度學(xué)者近年來開展了較為活躍的研究，如文獻(xiàn)[19]到文獻(xiàn)[23]，得到了? 甚至? 級別確定性時(shí)間復(fù)雜度的算法，但這些算法對于大整數(shù)而言仍然意味著冗長的計(jì)算。也有印度學(xué)者進(jìn)行Fermat方法優(yōu)化、甚至有人將離散優(yōu)化的粒子算法引入到整數(shù)分解計(jì)算（相關(guān)文獻(xiàn)在researchgate可查，部分處在preprint狀態(tài)故未列入文獻(xiàn)清單），但總體來說印度學(xué)者仍未展示系統(tǒng)性解決方案的成果。有學(xué)者試圖在GPU上實(shí)施RSA模數(shù)分解[24];但據(jù)筆者與該文作者本人的交流，他的研究沒有取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，僅僅是一個(gè)設(shè)想、發(fā)表了一篇論文而已。有部分其它學(xué)者在2003年—2008年間也做過有條件的確定性時(shí)間復(fù)雜度分解RSA數(shù)的算法研究，如文獻(xiàn)[25]、[26]，但正如文獻(xiàn)[6]所陳述的，這些算法的效率低于隨機(jī)化算法的效率，且這些研究均未見實(shí)證結(jié)果。

截至目前為止，RSA公布的待分解模數(shù)中，尚有RSA-232、RSA-250、RSA-260、RSA-896、RSA-1024、RSA-1536、RSA-2048等多個(gè)未被分解。筆者認(rèn)為，除非有新的革命性算法，否則大整數(shù)分解依然是繼續(xù)挑戰(zhàn)人類智力極限的一個(gè)數(shù)學(xué)難題。

1.2? 國內(nèi)研究

國內(nèi)對于整數(shù)分解的研究由來已久，例如《九章算術(shù)》就記錄了很多整數(shù)分解的例子，這些例子展示的方法比國外要早很多年。但是遺憾的是，在現(xiàn)代研究方面，國內(nèi)主要以借鑒國外方法為主，鮮有超越國外的獨(dú)立研究報(bào)道。

筆者分別以“整數(shù)分解”“大數(shù)分解”“RSA分解”“整數(shù)+因子+分解”“整數(shù)+因數(shù)+分解”及“RSA攻擊”為關(guān)鍵詞，在CNKI檢索1991年1月至2020年1月的文獻(xiàn)情況如表3所示。

經(jīng)篩選，真正與分解算法研究相關(guān)的文獻(xiàn)按照時(shí)間先后順序排列見文獻(xiàn)[1]、[3]、[5]及文獻(xiàn)[27]到文獻(xiàn)[54]，涉及的研究內(nèi)容如表4所示。

基于表3、表4的數(shù)據(jù)，筆者總結(jié)出“綜述學(xué)習(xí)”“局部探索”和“頂天不立地”三個(gè)特征來描述。

1.2.1? 綜述學(xué)習(xí)

該類主要集中在碩、博士研究生群體的研究，也有知名學(xué)者的啟蒙教育，成果多以學(xué)位論文或教材等讀物表現(xiàn)，特點(diǎn)是綜述國外的方法，從中獲取一定的知識，比如文獻(xiàn)[1]、[3]、[5]、[32]、[40]、[46]及[48]都屬于這樣的研究。

文獻(xiàn)[1]屬于教材式文獻(xiàn)，原本是寫給中學(xué)生的讀物，但文中綜述了相關(guān)方法的進(jìn)展，是非常不錯(cuò)的啟蒙讀物。

文獻(xiàn)[3]、[5]屬于綜述型文獻(xiàn)，回顧了當(dāng)時(shí)主流的大數(shù)因子分解算法，介紹了這些算法的基本原理和實(shí)現(xiàn)步驟，對比分析了現(xiàn)有大數(shù)因子分解技術(shù)在實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用上的優(yōu)缺點(diǎn)并展望了大整數(shù)分解未來的研究趨勢。

文獻(xiàn)[32]綜述了各種大整數(shù)因子分解算法，討論了QS和NFS的優(yōu)化問題。

文獻(xiàn)[40]通過對已有的因子分解算法的分析、總結(jié)、比較，提出了一個(gè)新的因子分解算法和一個(gè)因子分解方法的新研究方向。但是根據(jù)筆者對所提方法的剖析，發(fā)現(xiàn)該方法采用了類似試除法的搜索過程，其效率并不高。

文獻(xiàn)[46]考察了中國古代數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的整除理論、探究了西方數(shù)學(xué)中的數(shù)論起源、考察了素?cái)?shù)基本理論、探討了整數(shù)分解的幾種經(jīng)典算法、論述了密碼學(xué)發(fā)展的三個(gè)階段：古典密碼、近代密碼和現(xiàn)代密碼。筆者認(rèn)為，該文仍處在啟蒙階段。

文獻(xiàn)[48]屬于一般轉(zhuǎn)抄、拼湊型綜述。

1.2.2? 局部探索

該類研究基于相關(guān)的數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)算法，針對RSA算法的特征，進(jìn)行了局部問題的建設(shè)性研究或者探索性研究，如文獻(xiàn)[29]、[31]、[34]、[35]、[36]、[37]、[42]、[43]、[44]、[45]、[49]及[54]均屬于此類。

文獻(xiàn)[29]在分解大整數(shù)小因子算法的基礎(chǔ)上，提出的優(yōu)化分解樹算法，利用樹型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的構(gòu)造算法與回溯算法，配合以作者提出的分解表截支方法和優(yōu)化分組策略，可以將分解大整數(shù)小因子的速度提高50%以上，但該文無數(shù)據(jù)對比，且構(gòu)造樹本身需要時(shí)間。筆者認(rèn)為此法還有待挖掘。

文獻(xiàn)[31]對一大類大整數(shù)的因子分解構(gòu)造了分解算法，通過求解模數(shù)的小因數(shù)來實(shí)現(xiàn)分解，其本質(zhì)是特殊Pollard p-1方法。

文獻(xiàn)[34]闡述了大數(shù)分解法二次篩選法優(yōu)化，提出了參數(shù)、硬件等多個(gè)優(yōu)化方案，但缺少實(shí)施的措施，屬于一般性描述。

文獻(xiàn)[35]介紹了詳細(xì)闡述了大數(shù)分解法QS以及它的改進(jìn)算法MPQS和PPMPQS的理論基礎(chǔ)。文中宣稱設(shè)計(jì)了一種快速尋找PP關(guān)系的方法并利用VC6實(shí)現(xiàn)了PPMPQS，成功分解了十進(jìn)制70位的大數(shù)，但文中未見分解實(shí)例。事實(shí)上，單純利用VC6而不借用大數(shù)運(yùn)算工具包，如gmp大數(shù)庫、NTL大數(shù)庫或者M(jìn)IRAC大數(shù)庫，是很難表示70位十進(jìn)制大數(shù)的。

文獻(xiàn)[36]證明了：若丟番圖方程ax+by=z（（a，b）=1）的整數(shù)解（x0，y0，z0）滿足x0=O（log2ab），y0=O（log2ab）且

z0=O（log2ab）;那么存在一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間的算法分解n=ab并時(shí)間不超過 。該文是筆者所看過國內(nèi)文獻(xiàn)中較有參考價(jià)值的一個(gè)。但考慮到從丟番圖方程的解集中尋找符合分解因子的過程也需要時(shí)間，其算法效率未免要打折扣。事實(shí)上，利用筆者的方法僅搜索了4步就分解了該文所述案例，計(jì)算時(shí)間僅數(shù)毫秒。

文獻(xiàn)[37]對試除法進(jìn)行了改進(jìn)，減少試除次數(shù)提高了試除法運(yùn)算效率，在算法上并無新的創(chuàng)意。

文獻(xiàn)[42]提出了一種整數(shù)分解的判定算法，本質(zhì)是將計(jì)算中間過程中的素?cái)?shù)判定去除，仍然屬于改進(jìn)Fermat算法的類別，其計(jì)算效率為O（plogN），低于Pollard Rho的效率。

文獻(xiàn)[43]提出了一種用于求解大整數(shù)因數(shù)分解問題的尾數(shù)多相位粒子群搜索算法MMPPSO。但數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該文大多數(shù)算例的結(jié)果是錯(cuò)誤的，少數(shù)正確的結(jié)果中還有與文獻(xiàn)[36]中的算例雷同的。

文獻(xiàn)[44]根據(jù)RSA數(shù)的特性及Euclid算法的特點(diǎn)，給出了一種析出分解算法，并進(jìn)行了算法的數(shù)學(xué)證明和相關(guān)分析。筆者發(fā)現(xiàn)，該算法的效率與Fermat法相當(dāng)，也存在需要完善的地方。

文獻(xiàn)[45]是一篇博士論文，從理論上探討了構(gòu)造一類橢圓曲線，就該類橢圓曲線的非扭有理點(diǎn)x-坐標(biāo)與曲線方程系數(shù)D的分解進(jìn)行研究，并嘗試將有理數(shù)域上橢圓曲線分解整數(shù)的方法推廣到虛二次域K上，涉及較深?yuàn)W的橢圓曲線知識。鑒于筆者對此方面不甚了解，不敢貿(mào)然評價(jià)，但顯而易見的是該文最后沒有給出具體解決方案。

文獻(xiàn)[49]將分解整數(shù)因子的費(fèi)馬法迭代過程分為兩個(gè)階段，采用合適的算法加快平方和開方運(yùn)算，避免無效運(yùn)算，使總體計(jì)算量大大減少。該文沒有與其他方法進(jìn)行比較，難以確定其提高效率的有效性。

文獻(xiàn)[54]通過變換隨機(jī)序列產(chǎn)生式，對Pollard Rho算法在計(jì)算離散對數(shù)方面進(jìn)行了改進(jìn)，提高Pollard Rho算法的效率。考慮到離散對數(shù)計(jì)算與整數(shù)分解之間的本質(zhì)關(guān)系[55]，鑒于Pollard Rho算法對于大整數(shù)分解的局限性，筆者認(rèn)為對于大整數(shù)分解，還需配合它法。

1.2.3? 頂天不立地

該類研究的特點(diǎn)是接觸非常規(guī)計(jì)算技術(shù)的時(shí)代前沿，提出一個(gè)時(shí)期時(shí)尚的概念和一段時(shí)間難以驗(yàn)證的方法，如文獻(xiàn)[28]、[33]、[38]、[39]、[30]、[41]、[50]、[51]、[52]及[47]屬于此類。

文獻(xiàn)[28]、[33]、[38]給出整數(shù)分解的并行或分布式計(jì)算實(shí)現(xiàn)原理，但未見具體計(jì)算方案，此后至今未見后續(xù)的相關(guān)報(bào)道。其實(shí)分布式計(jì)算取決于對解空間的劃分，如比特幣的挖礦算法，網(wǎng)格計(jì)算等。小規(guī)模（幾臺或幾十臺計(jì)算機(jī)）有可能，大規(guī)模異構(gòu)分布式并行計(jì)算本身就是一個(gè)復(fù)雜的研究課題。

文獻(xiàn)[39]提出了Pollard p-1因子分解的DNA計(jì)算機(jī)算法，以Pollard p-1算法為基礎(chǔ)，利用DNA分子生物操作完成加，減，乘，除運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)平方-乘以及歐幾里德算法，其本質(zhì)是對歐幾里德運(yùn)算中的算術(shù)運(yùn)算進(jìn)行變換，在分解方法上面，沒有實(shí)質(zhì)性的發(fā)展。該文也沒有具體有說服力的算例。

文獻(xiàn)[30]、[41]、[50]、[51]、[52]給出新的量子算法。但到目前為止，國內(nèi)尚無法驗(yàn)證，國際上也缺乏所需驗(yàn)證條件。人們可以從科學(xué)的角度去研究未來的科學(xué)產(chǎn)出，但是大整數(shù)分解是與信息安全密切相關(guān)、科學(xué)與工程一體的科學(xué)技術(shù)共生體，既需要頂天的科學(xué)理論又需要立地的務(wù)實(shí)技術(shù)才能解決問題。

文獻(xiàn)[52]試圖實(shí)施Pollard p-1因子分解的DNA計(jì)算機(jī)算法，未見具體計(jì)算方案，也未見后續(xù)成果報(bào)道。

文獻(xiàn)[47]提出云計(jì)算的設(shè)想，沒有對大整數(shù)運(yùn)算的環(huán)境作分析，也未見后續(xù)報(bào)道。其實(shí)基于云計(jì)算分解整數(shù)僅僅是網(wǎng)格計(jì)算的延伸，跟分布式并行計(jì)算一樣，需要很細(xì)致的策劃和方案乃至每個(gè)結(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的算法，包括云上計(jì)算環(huán)境的配置等，需要細(xì)致的方案和措施。

1.3? 國內(nèi)外研究對比及目前辛酸的局面

通過前面幾小節(jié)對國內(nèi)外算法研究及實(shí)踐現(xiàn)狀的總結(jié)，不難得到如下結(jié)論：

（1）國外學(xué)者側(cè)重于提出系統(tǒng)的解決方案，尤其上世紀(jì)70年代中至90年代中產(chǎn)生了系列的解決方案，在整數(shù)分解方面取得了實(shí)質(zhì)性的成就;

（2）國內(nèi)主要以吸收國外研究為特征，到目前為止整數(shù)分解理論和方法都基本沒有產(chǎn)生超越國外水平的成果報(bào)道;

（3）在經(jīng)典計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)下，NFS是目前應(yīng)用最廣的方法。在量子計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)下，量子算法是人們的希望所在。盡管如此，1995年以來，國內(nèi)外在分解大整數(shù)這一數(shù)學(xué)難題的方法學(xué)上，沒有超越NFS和量子算法的成果報(bào)道。由于量子算法受制于量子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，NFS是目前在分解實(shí)踐中的主要方法;

（4）大整數(shù)分解至今仍然是挑戰(zhàn)人類智能水平的一個(gè)世界難題，等待人類的解決。

2? 二叉樹上的數(shù)論展現(xiàn)了新的希望

賦值二叉樹是王興波教授研究奇數(shù)時(shí)采用的一種方法[56]。該方法將大于1的奇數(shù)（注：后文所述奇數(shù)均指大于1的奇數(shù)）從上到下從左到右置于一棵二叉樹上來研究，揭示了奇數(shù)許多鮮為人知的性質(zhì)。例如子樹根的因數(shù)與后代之間存在近親回避律（若干層內(nèi)一定沒有根的倍數(shù)出現(xiàn)），子樹之間存在復(fù)制傳遞性以及子樹的根與后代結(jié)點(diǎn)的公因數(shù)存在對稱律等等[57-60]。最為重要的是，它揭示了奇數(shù)的遺傳特質(zhì)——在以奇數(shù)N為根的子樹中，N都以一種僅與其自身相關(guān)的遞歸方式分布在其子孫結(jié)點(diǎn)的因數(shù)中，并且可以通過基因結(jié)構(gòu)、基因圖與余基因圖等由奇數(shù)N的倍數(shù)組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來描述[61]?；驁D與余基因圖形成一幅遺傳圖譜，可演繹出整數(shù)分解的新方法。

2.1? 奇數(shù)的遺傳圖譜

奇數(shù)的遺傳特質(zhì)可用圖1直觀地說明。取以3為根的子樹T3為例：T3第三層首末兩個(gè)結(jié)點(diǎn)9、15具有因數(shù)3，以9、15為根的子樹在其第三層的首末兩個(gè)結(jié)點(diǎn)也含有因數(shù)3，此規(guī)律一直在T3中延續(xù)。以5為根的子樹T5在其第四層第2個(gè)和倒數(shù)第2個(gè)結(jié)點(diǎn)具有因數(shù)5，這種規(guī)律在T5中延續(xù)。更有意思的是，以15為根的子樹T15，分別繼承了T3和T5的前述屬性，在其第三層首末結(jié)點(diǎn)包含因數(shù)3、在第四層第2個(gè)和倒數(shù)第2個(gè)結(jié)點(diǎn)具有因數(shù)5，且這種規(guī)律在T15中延續(xù)。

記TN表示以大于1的奇數(shù)N為根的賦值二叉樹。文獻(xiàn)[56][61]證明了，TN中存在一個(gè)N的遺傳結(jié)構(gòu)g（N）（genetic structure），也存在一個(gè)由N的倍數(shù)組成的基因圖G（N）（genetic graph）和余基因圖G*（N）（complementary genetic graph）。若p是N的一個(gè)因數(shù)，G（p）與G*（p）是p的基因圖與余基因圖。G（N）與G*（N）合起來稱為N的遺傳圖譜或基因圖譜（genetic atlas），它也是TN的一棵子樹。

2.2? 遺傳圖譜與整數(shù)分解

奇數(shù)的遺傳圖譜對于整數(shù)分解具有重要意義，它能提供整數(shù)分解的一種新途徑。文獻(xiàn)[61]證明了：當(dāng)N是含有因數(shù)p的奇合數(shù)時(shí)，TN上同層兩個(gè)G（N）結(jié)點(diǎn)之間一定存在G（p）或G*（p）的結(jié)點(diǎn)。這就意味著，一旦得到了G（N），就能在其上找到G（p）或G*（p）的結(jié)點(diǎn)。由于G（p）和G*（p）的結(jié)點(diǎn)都是p的倍數(shù)，因此p是這些結(jié)點(diǎn)與N之間的公約數(shù)。從而N的分解可以轉(zhuǎn)化為尋找在G（N）或G*（N）上尋找G（p）或G*（p）的結(jié)點(diǎn)。

設(shè)N=pq，1

2.3? 取得的成果

基于前述二叉樹上奇數(shù)的遺傳特征，近幾年的研究取得了以下研究成果。

2018年，分別找到了殆素?cái)?shù)因數(shù)比對其小因數(shù)分布的影響關(guān)系[62]。李建輝教授據(jù)此設(shè)計(jì)了并行分解算法并成功分解了46位十進(jìn)制殆素?cái)?shù)[63]。試驗(yàn)表明，在串行模式下分解22位以內(nèi)的十進(jìn)制合數(shù)時(shí)明顯優(yōu)于Pollard Rho方法。與目前廣泛應(yīng)用的數(shù)域篩法（NFS）或GNFS相比，新的算法占用極少內(nèi)存。2018年還研究了T3樹上結(jié)點(diǎn)與其平方根的關(guān)系[64]以及RSA模數(shù)的因數(shù)分布特征[65]。

2019年1月，證明了奇數(shù)的因子具有呈周期性分布在樹的邊界和圍欄上的規(guī)律，并藉此用新的方法再次演繹證明了p+1分解法[66]。如圖3所示，樹TN的邊界是樹上最左結(jié)點(diǎn)或最右結(jié)點(diǎn)組成的，而樹的圍欄則是由如 、 所示緊靠邊界的奇數(shù)組成的。

2019年年初還找到RSA模數(shù)的平方根與因數(shù)之間的分布規(guī)律[67]以及RSA模數(shù)在T3樹上的分布規(guī)律[68]。證明了：RSA模數(shù)N的兩個(gè)因數(shù)中或者處在T3樹的同一層、或者處在相鄰兩層，其中一定有一個(gè)與? 裹挾在同一層。

2019年4月證明了整數(shù)乘積的長度與因數(shù)長度的關(guān)系，特別證明了：因數(shù)比小于2的RSA模數(shù)之兩個(gè)因數(shù)都是等長的[69]。

2019年5月，藉由前述研究結(jié)果，證明了：若整數(shù)N= pq的兩個(gè)因子滿足1

2020年1月，證明了：若整數(shù)N=pq的兩個(gè)因子滿足q=2αu±1，1

2020年5月，證明了：若整數(shù)N=pq的兩個(gè)因子滿足1

結(jié)合德國Wilfrid Keller教授對u的估值范圍[72]，如有合適的大費(fèi)馬數(shù)計(jì)算工具，每個(gè)大費(fèi)馬數(shù)Fm（m>100 001）能在普通計(jì)算機(jī)上瞬間分解。讀者可向王興波教授索取Maple源程序進(jìn)行測試。

2.4? 未來研究

遺傳特征主要是根結(jié)點(diǎn)在其子孫結(jié)點(diǎn)之間的因數(shù)傳遞規(guī)律。兩棵不同的子樹之間也存在傳遞規(guī)律，稱之為過渡（transition）。研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過渡可通過在兩棵子樹之間建立聯(lián)絡(luò)（connection）來完成。例如圖4中的65可以通過25計(jì)算出來。但是25不是T5的結(jié)點(diǎn)而屬于另外一棵樹的結(jié)點(diǎn)（注意：這不是通過觀察得知而是根據(jù)文獻(xiàn)[61]推論8的結(jié)論演繹的）。

樹的域外的結(jié)點(diǎn)屬于另外一棵子樹，因此聯(lián)絡(luò)也是樹際間結(jié)點(diǎn)的關(guān)系的描述，其解析計(jì)算關(guān)系無疑是樹際間因數(shù)倍數(shù)傳遞的最直接表現(xiàn)，也是整個(gè)整數(shù)遺傳圖譜結(jié)構(gòu)中不可忽視的關(guān)系。例如N=pq可視N是Tp樹與Tq樹的聯(lián)絡(luò)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。最近研究發(fā)現(xiàn)，在Tp樹與Tq樹里分別存在一個(gè)X與Y，在TN樹里面有一個(gè)m滿足m=qX=pY，如圖5所示。顯然，通過m找到X或Y的任何一個(gè)，就能找到p或者q了，其計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度都是對數(shù)級的。樹際間的聯(lián)絡(luò)關(guān)系，不僅是子樹之間的連接紐帶，而且可能提供分解整數(shù)的一般法則。目前，筆者及團(tuán)隊(duì)正在努力研究出新的結(jié)果。

在樹上一層尋找某個(gè)目標(biāo)結(jié)點(diǎn)是一個(gè)與搜索有關(guān)的問題。事實(shí)上，整數(shù)分解算法大都表現(xiàn)為在某些集合里面尋找一些特定目標(biāo)。比如，Pollard Rho算法本質(zhì)上是一種隨機(jī)化搜索算法。每個(gè)算法針對的潛在目標(biāo)集合不同，導(dǎo)致搜索效率各異。前期研究所發(fā)現(xiàn)可將殆素?cái)?shù)的因數(shù)定位于某個(gè)區(qū)間內(nèi)的結(jié)果，最后也只有設(shè)計(jì)出有效的搜索算法才能實(shí)現(xiàn)分解。通過判斷某特征數(shù)是否在某區(qū)間[73]、將目標(biāo)區(qū)間進(jìn)行有效分劃以便實(shí)現(xiàn)隨機(jī)化算法設(shè)計(jì)和并行計(jì)算[74]、采用區(qū)間樹方式減少搜索量[75，76]等研究，發(fā)現(xiàn)樹上樹上搜索與各種進(jìn)化算法（智能算法）關(guān)系密切，或許是一粒開門的“芝麻”。目前，筆者和團(tuán)隊(duì)也在進(jìn)行相關(guān)的探索。

3? 結(jié)? 論

大整數(shù)的分解是一個(gè)歷史難題，也是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的難題。人類對這個(gè)難題的研究和探索是一個(gè)充滿辛酸與希望的，面向晨曦在泥濘中跋涉的歷程。相對于國外學(xué)者提出的種種系統(tǒng)性解決方案，國內(nèi)研究尚需要在系統(tǒng)性和原創(chuàng)性方面努力。筆者和團(tuán)隊(duì)近年來基于二叉樹開展的整數(shù)研究新方法，有望成為一個(gè)原創(chuàng)性可系統(tǒng)解決整數(shù)分解問題的研究方法。筆者希望廣大讀者通過本文的介紹，能夠了解、理解和認(rèn)同探索者們的努力與付出，加入到這個(gè)艱難的研究活動(dòng)中，一起變夢想為現(xiàn)實(shí)。

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作者簡介：王興波（1963—），男，漢族，湖北安陸人，教授，工學(xué)博士，主要研究方向：先進(jìn)制造與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相關(guān)的教學(xué)科研工作;通訊作者：李建輝（1974—），男，漢族，湖南岳陽人，教授，博士，研究方向：信息安全、多重分形和網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化。