石 娟，張群飛，毛琳琳，史文濤，王偉東

(1.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院,陜西 西安 710072；2.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所,北京 100190)

0 引言

波達(dá)方位(Direction of Arrival，DOA)估計是陣列信號處理重要的研究內(nèi)容之一，其應(yīng)用涉及雷達(dá)、通信、聲納、勘探等眾多工程領(lǐng)域[1-2]。DOA估計方法主要包括子空間分類方法和子空間擬合方法。目前，比較成熟、穩(wěn)定的DOA估計方法大都是基于陣列的空間譜估計方法，如多重信號分類方法(Multiple Signal Classification，MUSIC)和旋轉(zhuǎn)不變子空間方法(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT)等，以它們?yōu)榇淼目臻g譜方法突破了瑞利限，使測向定位技術(shù)實現(xiàn)了飛躍[3]。但這些方法的實現(xiàn)需要大量獨立同分布的測量數(shù)據(jù)(大快拍數(shù)據(jù))。在實際環(huán)境中，獲取大快拍數(shù)據(jù)受到時間的制約，如高速運轉(zhuǎn)的目標(biāo)對系統(tǒng)實時性要求很高，尤其在處理超寬帶窄脈沖等短時突發(fā)數(shù)據(jù)時，接收信號經(jīng)過相干累積后只有小快拍數(shù)據(jù)乃至單快拍數(shù)據(jù)，無法直接用常規(guī)的DOA估計方法進(jìn)行方位估計。因此，研究小快拍乃至單快拍的DOA估計便是一種有效解決方案。文獻(xiàn)[4]提出了單快拍下基于匹配跟蹤的ESPRIT的方位估計方法。文獻(xiàn)[5]中提出了單快拍及多快拍下聯(lián)合Matrix Pencil 和 ESPRIT的方位估計方法。隨著壓縮感知技術(shù)的發(fā)展，稀疏重構(gòu)的思想被用于DOA估計中[6]，然而，稀疏重構(gòu)方法對網(wǎng)格劃分比較敏感，容易造成信號基失配。為了解決信號失配問題， Tang. 等人提出了基于最小原子范數(shù)(Atomic Norm Minimization，ANM)的無網(wǎng)格壓縮感知理論[7]。ANM是一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，其基于陣列流型矩陣的范德蒙結(jié)構(gòu)，通過半正定規(guī)劃(Semidefinite Programming，SDP)可以構(gòu)造恢復(fù)出所需的Toeplitz矩陣。目前，國內(nèi)外已有不少基于ANM 的DOA估計的研究，如文獻(xiàn)[8—9]，這些方法都是基于窄帶信號DOA估計的研究。

眾所周知，在實際應(yīng)用中，寬帶信號源大量存在，并且它能夠提供比窄帶更多的信息，有利于目標(biāo)信號檢測、參數(shù)估計和特征提取[10]。目前，寬帶信號處理方法的研究主要基于兩大類[10]：一類是基于非相干合成的寬帶處理方法(Incoherent Signal Subspace Method，ISM)，如文獻(xiàn)[11]提出了基于歸一化的克拉美羅界(Cramer-Rao bound, CRB)加權(quán)非相干寬帶DOA估計方法；另一類是基于相干合成的寬帶處理方法(Coherent Signal Subspace Method，CSM)，如文獻(xiàn)[12]提出了一種基于加權(quán)擬合的相干處理的子空間寬帶信號DOA估計方法。然而，這兩種寬帶處理的子空間DOA估計方法的實現(xiàn)都依賴于大快拍數(shù)據(jù)，無法直接有效的處理小塊拍數(shù)據(jù)。

本文為了解決寬帶信號在單快拍下的DOA估計失效問題，提出了基于ANM的寬帶非相干子空間DOA估計方法(Atomic Norm Minimization Incoherent Subspace Method，A-ISM)。該方法利用子帶陣列流型矩陣的范德蒙結(jié)構(gòu)，對每個子帶分別進(jìn)行ANM結(jié)構(gòu)優(yōu)化，再利用Root-Music算法來估計角度，最后將子帶估計結(jié)果的均值作為方位估計結(jié)果。

文中(·)T、(·)H分別表示轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置運算、tr(·)表示矩陣求跡運算、‖·‖為范數(shù)運算、‖a‖2表示a的2范數(shù)、‖A‖F(xiàn)代表矩陣A的Frobenius范數(shù)，E[·]表示期望運算。

1 寬帶信號模型和非相干子空間方法

1.1 寬帶信號模型

假設(shè)觀測空間存在K個遠(yuǎn)場寬帶信號(θ1,θ2,…,θK)入射到M元均勻線陣(M>K)，其中，θk表示第個k信號的入射角，如圖1所示。假設(shè)陣列接收的信號不存在相關(guān)性，各陣元間噪聲相互獨立，且為平穩(wěn)、零均值的高斯空間白噪聲，其方差為σ2。

圖1 陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Array structure

文中假設(shè)信號源的個數(shù)已知,且寬帶信號的工作頻率在[fl，fh]之間，則第m個陣元在第t時刻接收到的數(shù)據(jù)可以表示為：

(1)

式(1)中，sk和wm分別表示第m陣元接收到來自第k個信號源的信號和噪聲，τm(θk)表示位于θk的目標(biāo)入射到第m陣元和相對于參考陣元的時延,L代表快拍數(shù)。

寬帶信號帶寬為B=fh-fl，將其劃分為N個子頻帶(窄帶),各子頻帶的頻率分別為f0,f1,…,fN-1，則第n個子帶的接收數(shù)據(jù)為：

Yn=A(fn,θ)Sn+Wn
n=1,2,…,N

(2)

式(2)中，Sn=[s1s2…sK]T∈K×L，Wn∈M×L。為了簡化表示，在下面的章節(jié)中A(fn,θ)用An(θ)表示，且An(θ)∈M×K是范德蒙矩陣。第n個子帶的導(dǎo)向矢量矩陣表示為：

An(θ)=[a(fn,θ1)a(fn,θ2) …a(fn,θK)]

(3)

其中，第k個信號在第n頻帶上的導(dǎo)向矢量為：

(4)

式(4)中，d表示陣列陣元間距，c為信號的傳播速度。因此，寬帶信號的的模型可以寫成：

(5)

1.2 非相干子空間方法

基于非相干信號ISM方法是最早出現(xiàn)的寬帶DOA估計方法，主要思路是將寬帶信號劃分為多個子帶，對每個子帶利用信號子空間或噪聲子空間， 求出空間譜或真實信號的根來估計方位角度，最后將各子帶所得結(jié)果平均作為最終方位估計結(jié)果。

根據(jù)寬帶信號的模型，第n個子帶的協(xié)方差矩陣為：

(6)

(7)

式(7)中，ynl表示第n子帶的第l次快拍數(shù)據(jù)。當(dāng)L

圖2 平滑方法原理圖Fig.2 Smoothing method principle structure

M元均勻線陣分成相互交錯的P個子陣(P=1+M/2)，每個子陣的個數(shù)為M/2，第n子帶平滑后的數(shù)據(jù)可以表示為：

(8)

平滑后協(xié)方差矩陣表示為：

(9)

(10)

其中，特征值λi?λg，vi和vg分別代表特征值λi和λg對應(yīng)特征向量，且信號子空間Us和噪聲子空間Uw可描述為：

(11)

在得到噪聲子空間Uw后，將其應(yīng)用到Root-Music方法中進(jìn)行DOA估計。首先，Root-Music方法定義為如下一個多項式[13]：

(12)

其中

Q(z)=[1z…zM-1]T

(13)

由式(12)求出K個接近單位圓的根z1,z2,…,zK。

然后, 根據(jù)下式得到第n個子帶的DOA估計角度

(14)

隨后，對N個子帶估計出來的角度求均值，得到最終DOA估計：

(15)

2 基于ANM的寬帶非相干子空間方位估計方法

ISM方法在處理寬帶信號時，應(yīng)用了窄帶平均思想，并且要求各子帶數(shù)據(jù)的快拍數(shù)必須大于陣元個數(shù)，即L>M，否則不能滿足子空間類方法對空間協(xié)方差矩陣滿秩的要求。當(dāng)數(shù)據(jù)有限，尤其快拍數(shù)L=1時，直接應(yīng)用傳統(tǒng)的ISM方法進(jìn)行DOA估計時，系統(tǒng)完全不能工作。雖然平滑ISM方法可以估計方位，但是必須以犧牲目標(biāo)分辨率為代價[14]。針對單快拍下的方位估計，本文提出了基于最小原子范數(shù)的寬帶非相干子空間DOA估計方法(A-ISM)。該方法可以直接用單快拍數(shù)據(jù)，通過ANM構(gòu)造并會恢復(fù)出Toeplitz 矩陣進(jìn)行DOA估計。

在單快拍L=1條件下，第n子帶接收的數(shù)據(jù)可表示為：

yn=xn+wn=
An(θ)sn+wnn=1,2,…，N

(16)

式(16)中，yn為M×1的向量，xn∈M×1和wn∈M×1分別表示信號向量和噪聲向量。首先考慮無噪聲條件，即式(16)中只包含了與角度有關(guān)的信號信息，其可寫成：

yn=xn=An(θ)snn=1,2,…,N

(17)

原子核定義為：

(18)

式(17)表明，xn是An(θ)的線性組合，因此，xn的原子范數(shù)可表示成：

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)和式(4)可知，如果信號源是稀疏的，則xn中的sin(θ)就是稀疏的，式(17)就能夠進(jìn)行稀疏原子分解。求解原子范數(shù)最小化是一個NP(Non-Deterministic Polynormial)問題，很難直接求解。而原子范數(shù)具有半正定規(guī)劃性質(zhì)(SDP)，采取線性半正定規(guī)劃方法就能在多項式時間內(nèi)求解原子范數(shù)；同時，由Caratheodory-Toeplitz引理可知，任何半正定Toeplitz矩陣都能進(jìn)行范德蒙分解[8]。因此，可以將原子范數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題，其可以描述為[8]：

(20)

由式(20)可以解出一個最優(yōu)的向量un=[un1un2…unM]T，用以構(gòu)造最優(yōu)的Toeplitz矩陣[7]

(21)

式(20)中的半正定的約束，根據(jù)舒爾補(Schur Complement)條件，其可等價于[14]：

(22)

(23)

實際應(yīng)用中，噪聲總是伴隨著信號存在，因此，式(20)中必須考慮對噪聲作用進(jìn)行約束。噪聲存在時，ANM的SDP可以重新描述為：

(24)

式(24)中，ρ是一個正則化參數(shù)，用來調(diào)節(jié)T(un)的Toeplitz結(jié)構(gòu)與yn中噪聲方差。給定了噪聲方差σ2，ρ可以根據(jù)下式計算[6]：

(25)

3 仿真與分析

本章以水下被動探測系統(tǒng)為背景，在單快拍下，利用計算機仿真分別從分辨概率、方位估計歸一化均方誤差對A-ISM方法和平滑ISM方法的DOA估計性能進(jìn)行比較分析。

仿真實驗中均采用16元均勻線陣，目標(biāo)源個數(shù)K=2，工作頻率為3 000～3 100 Hz，子頻帶個數(shù)N=3，快拍數(shù)L=1。陣元分布均滿足陣元間距為寬帶信號最低頻率fl對應(yīng)波長的半波長，水聲傳播速度c=1 500 m/s。仿真中利用CVX包解決式(20)和式(24)中的SDP問題。

首先，圖3比較了目標(biāo)源位于(30° 36°)時，本文所提的A-ISM方法和平滑ISM方法的分辨概率。本次仿真實驗的分辨概率是指在若干次蒙特卡羅實驗中，能夠正確分辨兩個或多個目標(biāo)的概率。正確分辨需滿足以下條件：

(26)

式(26)中，B=arcsin(0.44λ/Md) 。由圖3可以得出，分辨概率為95%時，A-ISM方法需要的信噪比為4 dB，而平滑ISM方法需要的信噪比為12 dB，A-ISM方法相較平滑ISM方法，信噪比提高了8 dB。

圖3 分辨概率與信噪比的關(guān)系，L=1,θ=(30° 36°)Fig.3 Probability of resolution versus SNRs，L=1， θ=(30° 36°)

圖4中依然假設(shè)目標(biāo)源位于(30° 36°)，給出了A-ISM方法和平滑ISM的方位估計性能隨信噪比的變化情況，且本節(jié)的仿真實驗中，方位估計選取歸一化均方誤差(nMSE)作為衡量方位估計誤差的標(biāo)準(zhǔn)，定義為：

(27)

圖4 歸一化均方根誤差與信噪比的關(guān)系，L=1，θ=(30° 36°)Fig.4 nMSE of DOA versus SNRs，L=1， θ=(30° 36°)

圖5和圖6比較了兩種方法在不同信噪比下，歸一化均方誤差隨著兩目標(biāo)夾角Δθ的變化情況，以此來衡量方法的方位估計性能。從圖中可以看出，平滑ISM方法與A-ISM方法的歸一化均方誤差曲線存在一定的差距，后者估計性能更優(yōu)。再比較圖5和圖6，隨著信噪比的提高，兩種方法的歸一化均方誤差均有減小，但相較平滑ISM方法，A-ISM方法的歸一化均方誤差依舊較小，表現(xiàn)出較優(yōu)的估計性能。

圖5 歸一化均方誤差與的目標(biāo)夾角關(guān)系,SNR=10 dB,L=1Fig.5 nMSE of DOA versus the DOA separation,L=1

圖6 歸一化均方誤差與的目標(biāo)夾角關(guān)系, SNR=15 dB,L=1Fig.6 nMSE of DOA versus the DOA separation，SNR=15dB，L=1

4 結(jié)論

本文提出了基于ANM的寬帶非相干子空間DOA估計方法(A-ISM)。該方法通過各子帶進(jìn)行ANM優(yōu)化處理，恢復(fù)出最優(yōu)的Toeplitz矩陣，該矩陣經(jīng)過特征分解能準(zhǔn)確區(qū)分信號子空間和噪聲子空間，再結(jié)合Root-Music算法，最終得到誤差較小的估計角度。該方法不僅解決了單快拍下經(jīng)典寬帶信號DOA估計方法失效問題，而且提高了方位估計性能。仿真結(jié)果驗證了所提DOA估計方法的正確性和有效性。