范 煒，李 勇，林 波

0 引 言

濾波問題是從帶有噪聲的觀測數(shù)據(jù)中，對系統(tǒng)的狀態(tài)或者參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的問題.上世紀(jì)六十年代，Kalman和Bucy等人提出的Kalman濾波方法(KF)，為濾波理論和技術(shù)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn).標(biāo)準(zhǔn)的卡爾曼濾波器是在精確已知的線性模型的基礎(chǔ)上，得到的線性最小方差估計(jì).由于該方法是線性系統(tǒng)假設(shè)下的最優(yōu)估計(jì)，使得其在非線性系統(tǒng)的濾波應(yīng)用中出現(xiàn)了諸多問題.上世紀(jì)七十年代，擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)被提出，目前該方法已經(jīng)成為非線性系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的濾波估計(jì)方法.然而EKF三十多年的應(yīng)用，也暴露出該算法存在難以實(shí)現(xiàn)(必須將非線性系統(tǒng)線性化，計(jì)算Jacobian矩陣等)、參數(shù)難以調(diào)節(jié)(參數(shù)的不合適往往導(dǎo)致濾波發(fā)散)，對更新時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)必須近似線性等諸多問題[1].針對這些問題，近十幾年產(chǎn)生并逐步發(fā)展了一類基于sigma點(diǎn)的非線性濾波方法(主要包括無跡濾波器[1-2](UKF)、插值濾波器[3](DDF)和高斯—厄米特濾波器[4-5](GHF)等).不同于EKF將非線性系統(tǒng)局部線性化的策略，該類方法通過sigma點(diǎn)的選取和變換來近似狀態(tài)的均值和方差的非線性變換.對于非線性系統(tǒng)，該類算法體現(xiàn)了較高的濾波精度和較好的濾波穩(wěn)定性[2].基于高斯—厄米特積分公式(Gaussian-Hermite rule)的GHF是其中一種新型的非線性濾波方法，該方法利用一組帶權(quán)值的高斯積分點(diǎn)通過非線性映射，對映射后的高斯點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，來得到系統(tǒng)狀態(tài)的均值和方差的估計(jì).在非高斯分布下，該方法的精度與UKF同階，而在高斯分布的假設(shè)下，該方法的精度則更高，同時(shí)可以方便地通過增加高斯點(diǎn)個(gè)數(shù)來提高濾波器的精度，因此近年來獲得較為廣泛的應(yīng)用[6-7].

卡爾曼濾波和基于sigma點(diǎn)的非線性濾波方法均需要較為精確的系統(tǒng)和測量的模型.當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性存在偏差時(shí)，將會導(dǎo)致濾波精度的下降，有時(shí)甚至引起濾波的發(fā)散.為了解決這一問題，在線估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)、噪聲統(tǒng)計(jì)特性和修正濾波增益的自適應(yīng)濾波技術(shù)被廣泛的研究，主要包括貝葉斯法、極大似然法、相關(guān)法和協(xié)方差匹配法等.其中較有代表性的是Sage和Husa提出的Sage-Husa自適應(yīng)濾波方法[8]，該方法利用噪聲統(tǒng)計(jì)特性的次優(yōu)極大驗(yàn)后估計(jì)(即Sage-Husa噪聲估計(jì)器)，結(jié)合卡爾曼濾波器，得到適用于帶平穩(wěn)噪聲的線性系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法.我國學(xué)者鄧自立在其基礎(chǔ)上，通過引入遺忘因子，得到改進(jìn)的適用于帶時(shí)變噪聲特性的線性系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波器[9].Sage-Husa自適應(yīng)濾波器因其計(jì)算簡單，原理清晰，而被廣泛地研究和應(yīng)用.

本文將Sage-Husa噪聲估計(jì)器推廣到非線性系統(tǒng)，得到更為一般的遞推估計(jì)形式，結(jié)合高斯—厄米特非線性濾波方法，提出一種新型的自適應(yīng)高斯—厄米特濾波器(AGHF).仿真表明，對于存在一類未知噪聲(系統(tǒng)噪聲或測量噪聲)參數(shù)的非線性系統(tǒng)，與EKF、GHF和自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波器(AEKF)相比，AGHF可顯著提高噪聲統(tǒng)計(jì)特性和系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)精度，是一種非線性系統(tǒng)高精度濾波器.

1 高斯—厄米特濾波器

1.1 線性最小方差遞推濾波框架

一般用估計(jì)誤差的方差大小來衡量估計(jì)精度，所以我們自然希望得到最小方差估計(jì).然而，要得到最小方差估計(jì)，需要知道被估計(jì)量的驗(yàn)后概率密度函數(shù)，而在實(shí)際問題中，驗(yàn)后概率密度函數(shù)往往無法用有限個(gè)參數(shù)來完全表示，這給應(yīng)用帶來了較大的困難.而線性最小方差遞推濾波框架只需要利用狀態(tài)的前二階矩的統(tǒng)計(jì)信息，使該框架的應(yīng)用較為簡單，計(jì)算量也相對較小，適合在線遞推計(jì)算，于是在實(shí)際應(yīng)用中被廣泛地采用.基于該框架的濾波算法主要包括：KF、EKF、UKF、DDF和GHF等.

線性最小方差估計(jì)和誤差方差陣的遞推方程如下[10]:

(1)

(2)

由式(1)、(2)可知，只需計(jì)算X和Z的前二階矩就可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)X的線性最小方差的遞推估計(jì).對于線性系統(tǒng)來說，已知前一時(shí)刻狀態(tài)的前二階矩，可以精確且容易地得到狀態(tài)通過系統(tǒng)方程和測量方程的前二階矩，此時(shí)得到的濾波方法就是卡爾曼濾波算法.而對于非線性系統(tǒng)要得到前二階矩的變換則十分困難，一般情況下得不到解析解.針對這一問題，基于sigma點(diǎn)的非線性濾波技術(shù)(如UKF, DDF和GHF等)通過采樣sigma點(diǎn)，對每個(gè)sigma點(diǎn)進(jìn)行非線性變換，最后進(jìn)行加權(quán)統(tǒng)計(jì)的方法，估計(jì)非線性變換后的前二階矩.該類算法不需要計(jì)算系統(tǒng)的Jacobian矩陣，使得設(shè)計(jì)相對簡單，同時(shí)可實(shí)現(xiàn)較高的濾波精度.

(3)

(4)

(5)

其中，χk和Wk為高斯分布下的高斯型求積節(jié)點(diǎn)和系數(shù)，l為求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù).

1.2 高斯—厄米特濾波器

考慮如下非線性離散系統(tǒng)

(6)

其中，u(k)為輸入項(xiàng)，狀態(tài)矢量X(k)為滿足系統(tǒng)約束且服從高斯分布的隨機(jī)矢量，其與噪聲互不相關(guān)，W(k)和V(k)為零均值高斯分布的噪聲序列，且有

(7)

δkj為克羅內(nèi)克爾函數(shù).

將利用高斯—厄米特求積公式得到的前二階矩式(3)～(5)代入式(1)、(2)，可得高斯—厄米特濾波器[4]：

1) 狀態(tài)初始化：

2) 預(yù)測過程

Pxx(k-1|k-1)=S(k-1)S(k-1)T

(8)

i={1,2,…l}.

(9)

f[ζi(k-1|k-1),u(k-1)]+q

(10)

(11)

(12)

3) 更新過程

Pxx(k|k-1)=S(k|k-1)S(k|k-1)T

(13)

(14)

Zi(k|k-1)=h[ζi(k|k-1)]+r

(15)

(16)

Pzz(k|k-1)=

(17)

Pxz(k|k-1)=

(18)

(19)

(20)

Pxx(k|k)=

Pxx(k|k-1)-K(k)Pzz(k|k-1)KT(k)

(21)

2 非線性系統(tǒng)Sage-Husa噪聲估計(jì)器

將Sage-Husa次優(yōu)極大驗(yàn)后噪聲估計(jì)器推廣到非線性系統(tǒng)，考慮式(6)所示的非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)則有噪聲估計(jì)器為

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

(26)

(27)

記新息

(28)

(29)

(30)

E(ε(k)εT(k))

=Phh(k|k-1)+R

(31)

其中

Phh(k|k-1)=

(32)

則

(33)

故式(25)是有偏估計(jì)，而R的無偏估計(jì)為

(34)

又因?yàn)?/p>

Pzz(k|k-1)=Phh(k|k-1)+R

(35)

可得R的無偏遞推估計(jì)為

(36)

(37)

則有

(38)

其中

Pff(j|j-1)=

(39)

故式(23)是有偏估計(jì)，而Q無偏估計(jì)為

(40)

又因?yàn)?/p>

Pxx(k|k)=Pff(k|k-1)+Q(k-1)-

K(k)Pzz(k|k-1)KT(k)

(41)

則Q的無偏遞推估計(jì)為

(42)

針對帶時(shí)變統(tǒng)計(jì)特性噪聲的非線性系統(tǒng)，通過引入遺忘因子，可以得到非線性時(shí)變噪聲無偏遞推估計(jì)器為

(43)

(44)

Pzz(k|k-1)]KT(k)

(45)

-Pzz(k|k-1)]

(46)

本節(jié)將Sage-Husa噪聲估計(jì)器推廣到非線性系統(tǒng)，得到了適用于非線性系統(tǒng)的更為一般的Sage-Husa噪聲估計(jì)器，該估計(jì)器不需要對非線性系統(tǒng)線性化，不需要計(jì)算Jacobian矩陣.這使得該方法在避免線性化誤差的同時(shí)，便于使用sigma點(diǎn)采樣技術(shù)來實(shí)現(xiàn)噪聲統(tǒng)計(jì)特性的高精度估計(jì).

3 自適應(yīng)高斯—厄米特濾波器

將高斯點(diǎn)采樣技術(shù)應(yīng)用于非線性時(shí)變噪聲遞推估計(jì)器，同時(shí)結(jié)合高斯—厄米特濾波器(GHF)，則可得到自適應(yīng)高斯—厄米特濾波器(AGHF).考慮式(6)所示的非線性離散系統(tǒng)，則AGHF的實(shí)現(xiàn)算法如下：

1) 狀態(tài)和參數(shù)初始化：

2) 高斯點(diǎn)采樣

Pxx(k-1|k-1)=S(k-1)S(k-1)T

(47)

ζi(k-1|k-1)=

(48)

其中i={1,2,…l}.

3) 狀態(tài)預(yù)測

(49)

(50)

(51)

Pff(k|k-1)=

(52)

(53)

4) 高斯點(diǎn)再采樣

Pxx(k|k-1)=S(k|k-1)S(k|k-1)T

(54)

(55)

5) 輸出預(yù)測與測量噪聲參數(shù)更新

yi(k|k-1)=h[ζi(k|k-1)]

(56)

(57)

(58)

Phh(k|k-1)=

(59)

(60)

(61)

(62)

6) 狀態(tài)與系統(tǒng)噪聲參數(shù)更新

Pxz(k|k-1)=

(63)

(64)

(65)

Pxx(k|k)=Pxx(k|k-1)-

K(k)Pzz(k|k-1)KT(k)

(66)

(67)

(68)

4 仿真實(shí)例

考慮如下非線性系統(tǒng)：

其中，w(k)和v(k)是相互獨(dú)立的噪聲序列，q=E(w(k))=2，Q=cov(w(k),w(j))=8δkj，r=E(v(k))=3，R=cov(v(k),v(j))=0.02δkj.

仿真條件：

a) 實(shí)例1：v(k)的初始估計(jì)為：均值r0=0、方差R0=2.實(shí)例2：w(k)的初始估計(jì)均值q0=0，Q0=2.

b) 高斯型積分濾波器求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)l=7，仿真步數(shù)為3 000.

c) 使用濾波器估計(jì)誤差絕對值的均值來衡量濾波器估計(jì)的精度.

1) 系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)已知，測量噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)未知

圖1 狀態(tài)估計(jì)誤差曲線Fig.1 State estimation error

圖2 測量噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)估計(jì)誤差曲線Fig.2 Observational noise statistics estimation errors

表1 濾波器估計(jì)精度比較Tab.1 Comparison of estimation accuracy

2) 系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)未知，測量噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)已知

圖3 狀態(tài)估計(jì)誤差曲線Fig.3 State estimation errors

圖4 系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)估計(jì)誤差曲線Fig.4 System noise statistics estimation errors

表2 濾波器估計(jì)精度比較Tab.2 Comparison of estimation accuracy

對于非線性系統(tǒng)的噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)估計(jì)，通過仿真實(shí)例可以看出，當(dāng)系統(tǒng)只存在一類噪聲(系統(tǒng)噪聲或測量噪聲)統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)未知時(shí)，AGHF對噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)的估計(jì)精度，較使用AEKF的估計(jì)有明顯地提高，對系統(tǒng)和測量偏差有較強(qiáng)的估計(jì)能力.同時(shí)必須指出的是，當(dāng)系統(tǒng)和測量噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)同時(shí)未知時(shí)，Sage-Husa噪聲估計(jì)器無法從輸出中區(qū)分Q和R的影響，故不能對兩者同時(shí)進(jìn)行估計(jì).因此，基于Sage-Husa噪聲估計(jì)器的自適應(yīng)濾波器(AEKF、AGHF)適用于只存在一類噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)未知的系統(tǒng).

對于噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)未知的非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，通過本節(jié)的仿真實(shí)例可以看出，當(dāng)系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)未知時(shí)，使用自適應(yīng)濾波器(AEKF或AGHF)較不對噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的EKF和GHF，對系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)精度有顯著地提高.與AEKF相比，AGHF由于采用了非線性Sage-Husa噪聲估計(jì)器和高斯點(diǎn)采樣技術(shù)，使得在較大地提高噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)的估計(jì)精度的同時(shí)，對系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)精度也有明顯的改善.

5 結(jié) 論

本文將Sage-Husa噪聲估計(jì)器推廣到非線性系統(tǒng)，得到更為一般的Sage-Husa噪聲估計(jì)的遞推形式，同時(shí)將推廣的噪聲估計(jì)器與高斯—厄米特濾波器相融合，得到一種新型的自適應(yīng)非線性濾波器——自適應(yīng)高斯—厄米特濾波器(AGHF).對于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)估計(jì)，該濾波器采用高斯點(diǎn)采樣技術(shù)，而不需要對非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化，從而可得到較高的濾波精度.通過仿真表明，對于一類噪聲(系統(tǒng)噪聲或測量噪聲)統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)未知的非線性系統(tǒng)，AGHF較EKF、GHF和AEKF，估計(jì)性能均有明顯地改善，能夠?qū)崿F(xiàn)較高精度的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)和狀態(tài)估計(jì).同時(shí)必須看到對于多維系統(tǒng)，AGHF與 GHF一樣，需要的積分節(jié)點(diǎn)較多，計(jì)算量較大.如何在保持高精度的前提下，減少AGHF的計(jì)算量是一個(gè)今后值得研究的課題.