王曉靜，史洋洋，白玉珍，許傳青

(北京建筑大學(xué) 理學(xué)院，北京 100044)

自從改革開放以來，中國同世界其他國家一樣都面臨毒品泛濫問題. 根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，吸毒人員“低齡化”趨勢明顯，在冊吸毒人員中超過一半的吸毒人員是35歲以下的青少年(集中在15～35歲之間)，并且吸毒人員以初中、小學(xué)文化程度最多，部分為文盲. 有資料表明許多青少年吸毒是受其父母影響的，除了家庭成員吸毒行為的原因外，一些家庭父母離異或者長期外出，缺少正常的父母關(guān)愛和教育，孩子感到生活沒有依靠、內(nèi)心空虛等，都是導(dǎo)致青少年吸毒成癮的原因[1-2].另外，父母因?yàn)樯罨蚬ぷ鞯脑?，使得青少年離開原來的居住地遷入別處．若吸毒青少年遷移過程將毒品帶入新居住地并在此交友，很可能將毒品傳播給當(dāng)?shù)厝耍虼?，建立具有父母關(guān)愛和遷移青少年毒品檢測的毒品傳播模型,將有助于人們更好地理解父母在青少年毒品傳播中的作用，也為預(yù)防和控制毒品在青少年之間的傳播提供一定的理論指導(dǎo). 人們對于毒品的檢測一直都在探索過程中，目前毒品檢測常用的生物檢材包括尿液、血液、毛發(fā)和唾液等[2]，方法簡便易行.地方政府可以對移入的青少年實(shí)行毒品檢測，若發(fā)現(xiàn)吸毒或者攜帶毒品，可禁止其遷入，這樣就起到了篩選的作用.

傳播動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于毒品的傳播， 它能夠預(yù)測毒品傳播的短期或長期的趨勢，并且能夠提供控制毒品傳播的有效措施. 基于流行病學(xué)的原理，文獻(xiàn)[3]建立毒品成癮的常微分方程模型為

論文在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上對于流動(dòng)的青少年加入了檢測和父母關(guān)愛這些控制策略. 父母關(guān)愛就是以一種體面的方式養(yǎng)育孩童，提供給他們道德的、物質(zhì)的和經(jīng)濟(jì)的需要，包括高等教育和其他獲得健康教育活動(dòng)的機(jī)會(huì)，使他們能夠?qū)W到毒品傳播及危害的相關(guān)知識(shí)，并且學(xué)會(huì)如何保護(hù)自己不受毒品的侵害[4]. 論文中的父母關(guān)愛指的是父母為了降低毒品在青少年中的傳播所采取的一切努力.

論文主要研究父母關(guān)愛和篩選對毒品在青少年之間傳播的影響，給出具有控制策略的毒品傳播模型，計(jì)算基本再生數(shù)R0和控制再生數(shù)Rc，同時(shí)對Rc的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析，證明無病平衡點(diǎn)的存在性和局部漸近穩(wěn)定性，給出優(yōu)化控制策略，并對所得結(jié)論進(jìn)行了總結(jié).

1 模型建立

建立如下模型

(1)

其中:N(t)表示時(shí)間t青少年總?cè)丝诘囊?guī)模，即時(shí)間t人口統(tǒng)計(jì)學(xué)中15～35歲人口的數(shù)量;S(t)表示時(shí)間t人口中易感的青少年數(shù)量;U1(t)表示時(shí)間t吸毒的青少年中沒有接受治療的人口數(shù)量(包括最初吸毒的和復(fù)吸的)，U2(t)表示時(shí)間t吸毒并接受治療且成功的青少年數(shù)量;N(t)=S(t)+U1(t)+U2(t);μ是自然死亡率；δ1表示移除率，包括吸食毒品沒有接受治療導(dǎo)致的死亡率和自發(fā)的恢復(fù)率；δ2也表示移除率，包括治療過程中毒品導(dǎo)致的死亡率和成功治愈具有永久免疫的比率；青少年易感者的補(bǔ)充率是(1-ρu1)μK，ρ表示移入的青少年中吸毒的比率，u1∈[0,1]是對移民青少年檢測的影響;λ1=β1U1/N，λ2=β2U1/N，β1表示有效傳染率，p表示吸毒的青少年接受治療的比率，β2表示治療恢復(fù)后再次吸毒的有效傳染率;u1,u2是控制項(xiàng)，分別表示檢測和父母關(guān)愛， 它們是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù); (1-μ2)λ1S是易感青少年通過與吸毒的青少年接觸而吸毒的比例. 為了使模型更加接近現(xiàn)實(shí)，論文假設(shè)吸毒的青少年數(shù)量要比易感的青少年數(shù)量小得多.

模型的其他假設(shè)與文獻(xiàn)[3]相同.

2 再生數(shù)

在沒有控制的情況下，即u1=0,u2=0時(shí)，得到

(2)

可以求解系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù).

令系統(tǒng)(2)的右端各項(xiàng)均等于零，得無病平衡點(diǎn)E0=(K, 0, 0). 由文獻(xiàn)[5]可知基本再生數(shù)R0為再生矩陣FV-1特征值模的最大值，下面依此求出基本再生數(shù). 設(shè)

得到F1和V1的雅可比矩陣分別是

V1=[p+μ+δ1]，

(3)

基本再生數(shù)R0解釋了在吸毒初期，當(dāng)所有青少年均為易感者時(shí)，一個(gè)吸毒的青少年在其平均吸毒期內(nèi)所傳染的青少年的數(shù)量. 實(shí)際上，R0是決定毒品在青少年間傳播與否的閾值. 一般地，R0<1時(shí)毒品不會(huì)在青少年之間傳播，R0>1時(shí)情況則相反，并且R0越大，毒品在青少年傳播的規(guī)模就越大，吸毒的青少年的數(shù)量就越多，毒品傳播就越難控制.

用再生矩陣的方法計(jì)算控制再生數(shù). 由

V2=[p+μ+δ1]，

(4)

對比式(3),(4)，可以發(fā)現(xiàn)Rc與u2有關(guān)而與u1沒有關(guān)系，所以檢測不會(huì)影響毒品傳播的再生數(shù).

3 靈敏度分析

將根據(jù)Arriola等[6]提出的標(biāo)準(zhǔn)敏感性指數(shù)來分析Rc對每個(gè)參數(shù)的敏感性. 通過計(jì)算，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

4 無病平衡點(diǎn)的存在性和局部漸近穩(wěn)定性

如果吸毒青少年進(jìn)入人群的比例是零，則無病平衡點(diǎn)E0=(K,0,0). 利用文獻(xiàn)[7]中的方法可以得到定理1.

定理1如果Rc<1，則無病平衡點(diǎn)E0=(K,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的；如果Rc>1，則無病平衡點(diǎn)E0=(K,0,0)是不穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(1)的雅可比矩陣是

將無病平衡點(diǎn)E0=(K,0,0)代入得到

相應(yīng)的特征方程是

(λ+μ)[(λ+μ+δ2)(λ+(1-u2)β1+(p+μ+δ1))]=0，

易得3個(gè)特征值分別為λ1=-μ，λ2=-μ-δ2，λ3=(1-u2)β1-(p+μ+δ1). 顯然λ1，λ2是負(fù)實(shí)數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，有

(1-u2)β1

即λ3也是負(fù)實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)(1)的無病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

5 優(yōu)化控制

利用優(yōu)化控制理論研究在給定的時(shí)間段[0,τ]內(nèi)，考慮如何最大限度地減少吸毒青少年的數(shù)量，且使得用來控制毒品在青少年中傳播的花費(fèi)最少. 建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)[8]

其中:u1,u2為控制項(xiàng)，是與時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[9-11]，選擇u1,u2是二次的；Q1,Q2,Q3,Q4為權(quán)重系數(shù)，測量在有限的時(shí)間內(nèi)篩選與親本養(yǎng)育所需的花費(fèi).

(10)

其中:Ω={u1,u2∈L1(0,τ)‖0≤u1,u2≤1,t∈[0,τ]}.

ηU1[ρu1μK+(1-u2)λ1S+λ2U2-pU1-(μ+δ1)U1]+ηU2[pU1-λ2U2-(μ+δ2)U2].

解得

進(jìn)而可得最優(yōu)化控制函數(shù)

(11)

6 結(jié)束語