(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

在編隊(duì)飛行、衛(wèi)星通信和太空站對(duì)接等諸多航天任務(wù)中，航天器姿態(tài)跟蹤控制是任務(wù)成功的關(guān)鍵因素。航天器在軌運(yùn)行時(shí)，往往存在著內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定以及外部未知擾動(dòng)等不確定因素的影響，為保證航天器的姿態(tài)跟蹤性能，提出了許多非線性控制方法，包括滑?？刂芠1]、自適應(yīng)控制[2]、反步控制[3]、逆最優(yōu)控制[4]和H∞控制[5]等。其中，反步控制方法[6-7]是一種基于Lyapunov定理的遞歸設(shè)計(jì)方法，易于控制器設(shè)計(jì)，因此在航天器領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[8-9]。然而，傳統(tǒng)反步法需要不斷對(duì)虛擬控制律求導(dǎo)而導(dǎo)致復(fù)雜性爆炸問題，針對(duì)這一問題有研究者提出動(dòng)態(tài)面方法[10]，然而該方法并未考慮虛擬控制律通過濾波器以后產(chǎn)生的誤差補(bǔ)償問題。近來，F(xiàn)arrell等[11]提出一種命令濾波方法，在解決復(fù)雜性爆炸問題的同時(shí)，設(shè)計(jì)誤差補(bǔ)償信號(hào)彌補(bǔ)動(dòng)態(tài)面方法的不足。然而，該方法設(shè)計(jì)的控制器只能保證系統(tǒng)狀態(tài)在無窮時(shí)間內(nèi)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。與漸近穩(wěn)定控制相比，有限時(shí)間控制能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間穩(wěn)定，具有較快的收斂速度、較高的控制精度和較好的魯棒性等特性，因此已被廣泛應(yīng)用于航天器控制中[12-14]。王輝等[15]結(jié)合反步法和滑?？刂圃O(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器，然而由于虛擬控制律指數(shù)項(xiàng)的作用，其導(dǎo)數(shù)可能會(huì)引起奇異值問題。馬廣富等[16]針對(duì)組合體航天器的姿態(tài)控制問題，提出基于命令濾波的有限時(shí)間控制方法，但其濾波器本身并不能保證有限時(shí)間收斂。Yu等[17]提出一種有限時(shí)間命令濾波反步控制方法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間控制，然而其系統(tǒng)模型需要完全已知。

筆者針對(duì)慣量矩陣不確定和外部干擾的航天器姿態(tài)跟蹤問題，建立基于四元數(shù)描述的系統(tǒng)模型；設(shè)計(jì)有限時(shí)間濾波器逼近虛擬控制律的導(dǎo)數(shù)，從而避免可能出現(xiàn)的奇異值問題；設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于估計(jì)系統(tǒng)的不確定函數(shù)，并結(jié)合命令濾波反步法設(shè)計(jì)有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制器，從而保證系統(tǒng)的跟蹤誤差能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零點(diǎn)附近；最后，給出數(shù)值仿真驗(yàn)證筆者所提方法的有效性。

1 問題描述

考慮由四元數(shù)描述的航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程[18]，即

(1)

(2)

(3)

(4)

期望的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程可以描述[19]為

(5)

(6)

考慮由四元數(shù)描述的航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，即

(7)

(8)

ωe=ω-Cωd

(9)

(10)

(11)

(12)

令J=J0+ΔJ,J0為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的已知標(biāo)稱值，ΔJ為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有界的不確定部分。將J=J0+ΔJ代入式(12)可得

(13)

根據(jù)式(10)和式(13)，姿態(tài)跟蹤誤差模型可以重寫為

(14)

本研究的控制目標(biāo)針對(duì)帶有慣量矩陣不確定和外部干擾的航天器系統(tǒng)式(10～12)，設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器，使得跟蹤誤差ev和ωe可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)。

2 有限時(shí)間反步控制設(shè)計(jì)

2.1 有限時(shí)間命令濾波器

有限時(shí)間命令濾波器定義[20]為

(15)

引理1[20]在輸入沒有噪聲的情況下，等式在有限時(shí)間內(nèi)成立，即

(16)

當(dāng)輸入受噪聲影響時(shí)，假設(shè)輸入噪聲滿足|αr-αr0|≤κ，其中αr0為實(shí)際信號(hào)，則在有限時(shí)間內(nèi)，不等式成立，即

|φ1-αr0|≤ζ1κ=?1

(17)

(18)

式中ζ1,ζ2為兩個(gè)正常數(shù)。

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

針對(duì)非線性系統(tǒng)中的未知函數(shù)f(Z)，可設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行估計(jì)，即

fnn(Z)=WTΦ(Z)

(19)

(20)

引理2[21]如果有在緊集Ωz上連續(xù)的函數(shù)f(Z)，對(duì)于任何給定的精確度標(biāo)準(zhǔn)ε>0，則存在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)W*TΦ(Z)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)l足夠多時(shí)有

f(Z)=W*TΦ(Z)+ε

(21)

式中W*為理想權(quán)值矢量，具體定義為

(22)

2.3 控制器設(shè)計(jì)

定義虛擬狀態(tài)量

(23)

式中ωc為以下有限時(shí)間命令濾波器輸出，即

(24)

定義濾波誤差補(bǔ)償信號(hào)為ξ1和ξ2，然后令s1=z1-ξ1，s2=z2-ξ2。

(25)

設(shè)計(jì)虛擬控制函數(shù)α和補(bǔ)償信號(hào)ξ1為

α=Q-1[-k1z1-λ1sigγ(s1)]

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

設(shè)計(jì)控制函數(shù)u和補(bǔ)償信號(hào)ξ2為

(31)

(32)

(33)

根據(jù)楊氏不等式，不等式成立，即

(34)

(35)

(36)

將式(34～36)代入式(33)，可得

步驟3選取Lyapunov函數(shù)

(38)

并對(duì)其求導(dǎo)可得

(39)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)更新律為

(40)

式中τ,m>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

3 穩(wěn)定性證明

在穩(wěn)定性證明之前，首先給出有限時(shí)間引理。

(41)

式中V(0)是V(x)的初始值。

定理1針對(duì)航天器系統(tǒng)式(10～12)，設(shè)計(jì)限時(shí)間命令濾波器式(24)，虛擬控制律式(26)，實(shí)際控制律式(31)，補(bǔ)償函數(shù)式(27)、式(32)和自適應(yīng)更新律式(40)，則航天器姿態(tài)跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)。

證明將自適應(yīng)更新律式(40)代入式(39)，可得

(42)

由楊氏不等式可知

(43)

由于0<γ<1，可得

(44)

將式(43，44)代入式(42)，可得

(45)

由于s1=z1-ξ1和s2=z2-ξ2，若能保證ξ1和ξ2在有限時(shí)間內(nèi)收斂，則虛擬狀態(tài)量z1和z2將在有限時(shí)間收斂到零點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。

因此，設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(46)

對(duì)式(46)求導(dǎo)，可得

(47)

(48)

將式(48)代入式(47)，可得

(49)

根據(jù)式(49)和引理3可得，選取適當(dāng)參數(shù)l1,l2，ξ1和ξ2將在有限時(shí)間T3收斂到零點(diǎn)。因此，虛擬變量z1和z2可以在有限時(shí)間T=T1+T2+T3收斂到零點(diǎn)附近鄰域內(nèi)。根據(jù)定義式(23)可知，航天器狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡。證畢。

4 數(shù)值仿真

ΔJ=diag{sin(0.1t),2sin(0.2t),
3sin(0.3t)} kg·m2

為了體現(xiàn)筆者提出控制方法的優(yōu)越性，將對(duì)兩種控制方法進(jìn)行對(duì)比仿真：

ωc=-k1Q-1z1

(50)

(51)

(52)

控制器相關(guān)參數(shù)選取均與M1方法相同。

圖1 M1四元數(shù)跟蹤誤差eFig.1 M1 quaternion tracking errors e

圖2 M2四元數(shù)跟蹤誤差eFig.2 M2 quaternion tracking errors e

圖3 M1角速度跟蹤誤差ωeFig.3 M1 angular velocity tracking errors ωe

圖4 M2角速度跟蹤誤差ωeFig.4 M2 angular velocity tracking errors ωe

圖5 M1控制力矩uFig.5 M1 control torque u

圖6 M2控制力矩uFig.6 M2 control torque u

圖7 M1虛擬狀態(tài)量z1Fig.7 M1 virtual state z1

圖8 M1虛擬狀態(tài)量z2Fig.8 M1 virtual state z2

圖9 M1估計(jì)參數(shù)Fig.9 M1 estimated parameter

5 結(jié) 論

針對(duì)帶有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定和外部干擾的航天器，筆者建立基于四元數(shù)描述的姿態(tài)跟蹤模型，并提出自適應(yīng)有限時(shí)間反步控制方法。設(shè)計(jì)有限時(shí)間命令濾波估計(jì)虛擬控制律導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而避免奇異值問題。同時(shí)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)未知非線性函數(shù)，并通過給出穩(wěn)定性分析，證明所設(shè)計(jì)控制器能夠保證跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂。仿真結(jié)果驗(yàn)證了筆者方法的有效性。