李京川

摘? 要：從x（3872）被發(fā)現(xiàn)以來(lái)，物理學(xué)家對(duì)含粲共振態(tài)產(chǎn)生了濃厚的興趣，組分夸克模型對(duì)傳統(tǒng)的兩夸克組成的介子和三夸克組成的重子能譜解釋得十分到位。文章以變分法解四夸克體系的薛定諤方程用以解釋含粲共振態(tài)質(zhì)量，主要是用諧振子波函數(shù)展開(kāi)四夸克波函數(shù)的空間部分，通過(guò)四體Moshinsky變換等方式得到任意兩個(gè)夸克的相互作用。

關(guān)鍵詞：夸克勢(shì)模型;四體系統(tǒng);諧振子

中圖分類號(hào)：O572? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2020）03-0010-02

Abstract： Since the discovery of X （3872）， physicists have developed a strong interest in the resonance with charm. The component quark model has a very good explanation for the energy spectrum of baryons composed of two quarks and three quarks. In this paper， the Schrodinger equation of the four quark system is solved by the variational method to explain the mass of the four quark system with charm. The main way is to expand the space part of the four quark wave function by the harmonic wave function. The interaction of any two quarks is obtained by the four body Moshinsky transformation.

Keywords： quark potential model; four body system; harmonic oscillator

廣泛被人接受的是，物理學(xué)家們認(rèn)為強(qiáng)子有兩大類，即由兩夸克構(gòu)成的介子，以及三夸克構(gòu)成的重子。在以量子色動(dòng)力學(xué)[1]為基礎(chǔ)的夸克勢(shì)模型的框架下，很多強(qiáng)子的質(zhì)量已經(jīng)成功地被計(jì)算了出來(lái)，強(qiáng)子內(nèi)部夸克間的勢(shì)由短程區(qū)域起主要作用的單膠子交換勢(shì)和長(zhǎng)程區(qū)域起主要作用禁閉勢(shì)構(gòu)成，其中禁閉勢(shì)是唯像的給出，量子色動(dòng)力學(xué)要求：（1）色禁閉，由帶顏色的夸克構(gòu)成的強(qiáng)子其整體對(duì)外必須是處于色單態(tài)的，即整體不顯顏色。（2）在短程區(qū)域，QCD相互作用是漸進(jìn)自由的，跑動(dòng)耦合常數(shù)在大動(dòng)量轉(zhuǎn)移時(shí)大小接近于零，即夸克之間自由運(yùn)動(dòng)。（3）守征對(duì)稱性自發(fā)破缺，流夸克獲得動(dòng)力學(xué)質(zhì)量變?yōu)榻M分夸克。

量子色動(dòng)力學(xué)并沒(méi)有排除由兩個(gè)夸克和兩個(gè)反夸克構(gòu)成的四夸克態(tài)。自從x（3872）[2]等含粲共振態(tài)被發(fā)現(xiàn)以來(lái)，物理學(xué)家嘗試用組分夸克模型解釋它們。常見(jiàn)的比如有，解釋為粲偶素的激發(fā)態(tài)，分子態(tài)，四夸克態(tài)[3]等等。粲偶素的激發(fā)態(tài)指的是將其看做兩夸克組成的介子，分子態(tài)指的是兩組夸克反夸克組成色單態(tài)后再整體呈色單態(tài)，四夸克態(tài)有三種情況：其一，夸克夸克構(gòu)成的反三重態(tài)再與反夸克反夸克構(gòu)成的三重態(tài)共同構(gòu)成色單態(tài);其二，夸克夸克構(gòu)成的六重態(tài)再與反夸克反夸克構(gòu)成的反六重態(tài)共同構(gòu)成色單態(tài);其三，兩對(duì)夸克反夸克構(gòu)成色八重態(tài)后再整體呈色單態(tài)。

夸克間的哈密頓量為：

勢(shì)能部分為單膠子交換勢(shì)和標(biāo)量禁閉勢(shì)和矢量禁閉勢(shì)。

單膠子交換勢(shì)為：

標(biāo)量禁閉勢(shì)為：

矢量禁閉勢(shì)為：

其色波函數(shù)可以用楊圖表示為（見(jiàn)圖1）

圖1

相應(yīng)的群表示為

其剛好為顏色算符的本征態(tài)

以及

得到其本征值。

但對(duì)于顏色算符4等，色波函數(shù)就不是其本征態(tài)，我們需要利用

得到其本征態(tài)，進(jìn)而得到顏色矩陣元。

對(duì)于其自旋空間部分

這里s12，s34代表一二粒子以及三四粒子的自旋，S代表總自旋。？籽代表一二粒子相對(duì)坐標(biāo)，？姿代表三四粒子的相對(duì)坐標(biāo)。K代表一二粒子以及三四粒子的質(zhì)心的相對(duì)坐標(biāo)。l？籽？姿代表前兩個(gè)諧振子角動(dòng)量的矢量和，lk代表第三個(gè)諧振子的角動(dòng)量。波函數(shù)為算符的本征態(tài)，可以直接作用。

但對(duì)于

對(duì)自旋部分可以根據(jù)不可約張量算符進(jìn)行運(yùn)算，但空間部分需要在另一組諧振子坐標(biāo)下展開(kāi)

這里下標(biāo)？籽？籽代表一三粒子的相對(duì)坐標(biāo)，？姿？姿代表二四粒子的相對(duì)坐標(biāo)，v（r13）就方便運(yùn)算了。

參考文獻(xiàn)：

[1]D. J. Gross and F. Wilkes， Phys. Rev. Lett. 1973， 30， 1343.

[2]D. E. Acosta，et al.， [CDF II Collaboration]， Phys. Rev. Lett.， 2004，93： 072001.

[3]H. HΦgaasen， J.-M. Richard， and P. Scorba， Phys. Rev. D， 2006，73： 054013.