李夢(mèng)瑤

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

箱梁因自重輕、施工方便等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于橋梁建設(shè)中。因?yàn)橄淞航孛娣菍?shí)心，所以箱梁截面的應(yīng)力分布較復(fù)雜，剪力滯效應(yīng)尤為突出。當(dāng)箱梁承受豎向荷載產(chǎn)生豎向撓曲變形時(shí)，上、下翼緣板產(chǎn)生剪切變形，而腹板在上、下翼緣板之間傳遞剪力流過程中，由于應(yīng)力集中，導(dǎo)致翼緣板縱向位移，沿橋?qū)挿较虍a(chǎn)生不均勻的變化，這種現(xiàn)象叫剪力滯效應(yīng)。所有箱梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析都要求對(duì)其剪力滯效應(yīng)進(jìn)行分析，因此，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究。吳有俊等[1?2]人基于實(shí)際變形下中性軸和形心軸的重合，根據(jù)能量變分原理進(jìn)行推導(dǎo)，得到了考慮剪力滯效應(yīng)的簡(jiǎn)支梁強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其邊界條件。藺鵬臻等[3?5]人根據(jù)簡(jiǎn)支梁的縱向靜力平衡條件進(jìn)行推導(dǎo)，得出了附加軸力的表達(dá)式，并研究了其對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響。潘旦光[6]等人采用模態(tài)攝動(dòng)法求解出簡(jiǎn)支薄壁箱梁自由振動(dòng)解析解，根據(jù)簡(jiǎn)支梁振動(dòng)模態(tài)提出了模態(tài)剪力滯系數(shù)的概念，并建立了剪力滯效應(yīng)與自振頻率之間的關(guān)系。蔡恒[7]等人根據(jù)能量變分原理推導(dǎo)出曲線梁橋的自由振動(dòng)微分方程，并假設(shè)位移場(chǎng)函數(shù)為正弦函數(shù)，對(duì)微分方程近似求解。劉建新[8]等人利用能量變分法推導(dǎo)出簡(jiǎn)支梁強(qiáng)迫振動(dòng)方程，建立了微分方程解的差分格式，討論了差分格式的準(zhǔn)確性。甘亞南[9?11]等人根據(jù)能量變分法推導(dǎo)出簡(jiǎn)支曲線梁和連續(xù)梁的彎曲振動(dòng)方程和邊界條件，利用Matlab 軟件編程求解得到了固有頻率。目前，針對(duì)橋梁靜荷載作用下的剪力滯效應(yīng)已經(jīng)獲得許多研究成果[12?14]，而且多數(shù)橋梁的動(dòng)力響應(yīng)中多數(shù)考慮了地震作用[15]，但是同時(shí)考慮動(dòng)剪力滯效應(yīng)和縱向靜力平衡的研究鮮見。因此，作者基于能量變分原理，擬在縱向位移函數(shù)中增加全截面均勻縱向位移，推導(dǎo)出同時(shí)考慮剪力滯效應(yīng)和縱向靜力平衡的簡(jiǎn)支箱梁自由振動(dòng)微分方程，并根據(jù)假設(shè)模態(tài)法對(duì)微分方程分離參數(shù)，利用Matlab 編程求解自振頻率，并與初等梁理論、ANSYS 有限元建模和考慮剪力滯效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 模型建立

1.1 基本假定

為了便于分析，忽略部分影響較小的因素，并做出假設(shè)：①考慮剪力滯效應(yīng)時(shí)，截面中性軸仍然通過截面形心；②不計(jì)阻尼的影響，所有材料均處于線彈性狀態(tài)；③翼板縱向位移沿寬度方向按3 次拋物線分布[16]；④箱梁截面處于對(duì)稱彎曲狀態(tài)。

分析的箱梁截面尺寸如圖1 所示。在圖1 中，b1,b2,b3,b4分別為頂板寬度、懸臂板寬度、底板寬度、腹板高度；h1,h2,h3,h4分別為頂板厚度、懸臂板厚度、底板厚度、腹板厚度；坐標(biāo)軸采用直角坐標(biāo)軸，x軸為縱向，y 軸為橫向，z 軸為豎向。

1.2 振動(dòng)微分方程及邊界條件

當(dāng)i=1 時(shí)，表示頂板；當(dāng)i=2 時(shí)，表示懸臂板；當(dāng)i=3 時(shí)，表示底板；當(dāng)i=4 時(shí)，表示腹板。箱梁的縱向位移函數(shù)為：

式中： Ui( x , y , z , t )為箱梁的縱向位移函數(shù)；Zi為各個(gè)板到形心的距離；w 為豎向撓度；為剪力滯效應(yīng)引起的附加縱向位移； fi( y , z )為u(x)的分布函數(shù)。

圖1 截面尺寸Fig.1 Section size chart

考慮到簡(jiǎn)支梁截面縱向靜力平衡，由于中性軸與形心軸偏離產(chǎn)生軸力，因此，用附加軸力來進(jìn)行平衡，將附加軸力引起的縱向位移均勻分布在全截面上。附加軸力的作用下，箱梁的縱向位移函數(shù)為：

其中，

式中：ξ 為由軸力引起的縱向位移；y 為箱梁截面待求點(diǎn)的y 坐標(biāo)。

正應(yīng)變：

切應(yīng)變：

根據(jù)材料力學(xué)中軸力的定義，可得：

式中：E 為彈性模量；A 為箱梁截面的面積。

由于截面中性軸通過截面形心，則截面對(duì)形心軸 的 靜 矩 為 0，可 得明 顯因此，附加軸力為：

則：

其中，式(7)對(duì)y 積分，可得：

式中：A1為頂板的橫截面積；A2為懸臂板的橫截面積；A3為底板的橫截面積。

頂板應(yīng)變?yōu)椋?/p>

同理可得，懸臂板應(yīng)變能為：

底板應(yīng)變能為：

腹板應(yīng)變能：

箱梁的動(dòng)能(僅考慮豎向振動(dòng))：

式中：m(x,t)為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。

外荷載所做的功為：

式中：P 為外荷載。

箱梁應(yīng)變能：

根據(jù)哈密頓原理，可知：

式中：δ 為變分符號(hào)。

邊界條件為：

1.3 振動(dòng)方程求解

由方程(19)可得：

將(22)，(23)代入(20)，

因研究箱梁的自振分析，則P=0。

令：

式中：ω0為振幅；N 為振型階數(shù)；l 為跨長(zhǎng)；ωN為固有角頻率；t 為時(shí)間；θ 為初相角。

要使式(25)恒等于0，只需令

2 算例及結(jié)果

某混凝土簡(jiǎn)支箱形截面梁如圖1 所示，其尺寸參數(shù)及材料參數(shù)為：泊松比為 0.3，彈性模量E=3.5×1010Pa，b1=3 m，b2=3 m，b3=3 m，b4=3 m，h1=0.3 m，h2=0.3 m，h3=0.3 m，h4=0.3 m，密度為2 500 kg/m3。采用ANSYS 有限元軟件和Matlab 程序，對(duì)不同跨寬比的簡(jiǎn)支箱梁自振頻率進(jìn)行計(jì)算，并與初等梁理論和考慮剪力滯效應(yīng)變分法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，見表1。

由表1 可知，考慮剪滯和軸力的計(jì)算結(jié)果，與初等梁理論和考慮剪力滯效應(yīng)的相比，更接近有限元的?？鐚挶葹?.33 時(shí)，振型階數(shù)從一階到四階，采用推算方法，計(jì)算出自振頻率分別為20.170,72.106,145.115,236.248 Hz，均小于初等梁理論和考慮剪力滯效應(yīng)的結(jié)果。表明：考慮剪力滯效應(yīng)和附加軸力修正的解析解，能夠與ANSYS 有限元解吻合。ANSYS 有限元建模過程中，采用BEAM188單元和自底向上的建模方式，約束條件為簡(jiǎn)支約束，進(jìn)行模態(tài)分析。

根據(jù)不同跨寬比的箱梁結(jié)果見表2。由表2 可知，附加軸力對(duì)自振頻率計(jì)算精度的影響，跨寬比的增大，附加軸力對(duì)自振頻率的影響略微變大，但穩(wěn)定在10%左右。當(dāng)假設(shè)簡(jiǎn)支梁變形時(shí)，中性軸與形心軸位置一致，而實(shí)際變形過程中，軸力會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)產(chǎn)生影響[17]，中性軸與形心軸的位置會(huì)產(chǎn)生一定偏移，從而產(chǎn)生了附加軸力。附加軸力會(huì)使簡(jiǎn)支箱梁的相對(duì)剛度減小，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的自振頻率降低，進(jìn)而使得簡(jiǎn)支箱梁的自振頻率降低。附加軸力對(duì)自振頻率計(jì)算精度的影響已經(jīng)超過了工程精度的容許值，故求解箱梁自振頻率過程中，對(duì)附加軸力的考慮是必要的。

表1 各計(jì)算方法的自振頻率(單位：Hz)Table 1 Frequency comparison of natural vibration (unit: Hz)

通過對(duì)不同振型階數(shù)考慮剪力滯效應(yīng)、初等梁理論、推算方法與有限元建模所得的自振頻率進(jìn)行比值分析。令有限元結(jié)果為1，各計(jì)算結(jié)果如圖2所示。從圖2 可以看出，當(dāng)振型階數(shù)一定時(shí)，這3種方法隨著跨寬比的增加，與有限元模擬結(jié)果逐漸接近。當(dāng)跨寬比為1.67 時(shí)，本計(jì)算方法與其他兩種方法相比，最為接近有限元的結(jié)果。當(dāng)跨寬比為5時(shí)，3 種方法與有限元結(jié)果均相近。當(dāng)振型階數(shù)從一階到四階時(shí)，3 種方法與有限元的計(jì)算結(jié)果的比值均大，但推算計(jì)算方法所得結(jié)果相比于其他2 種方法與有限元結(jié)果最為接近。由于簡(jiǎn)支箱梁的剪力滯效應(yīng)程度受到跨寬比的影響，當(dāng)跨寬比越小，剪力滯效應(yīng)越嚴(yán)重，減小了結(jié)構(gòu)的相對(duì)剛度，因此，對(duì)簡(jiǎn)支箱梁的自振頻率降低程度越大。

表2 附加軸力的影響Table 2 Effect of the additional axial force

圖2 自振頻率的比值Fig.2 Ratio of natural frequency

3 結(jié)論

通過對(duì)簡(jiǎn)支箱梁縱向靜力平衡狀態(tài)下的剪力滯效應(yīng)分析，得出的結(jié)論為：

1) 推算的結(jié)果與ANSYS 有限元的較為接近，精度能夠滿足工程需求，具有一定實(shí)用性。

2) 考慮剪力滯效應(yīng)的自振頻率，相比于初等梁理論偏小，是因?yàn)榧袅?yīng)減小了箱梁的相對(duì)剛度，使得簡(jiǎn)支箱梁的自振頻率降低，且結(jié)構(gòu)隨著跨寬比的減小，剪力滯效應(yīng)越明顯。

3) 附加軸力會(huì)造成箱梁相對(duì)剛度的減小和自振頻率的降低。