陶志煒，王 書，任益充，饒瑞中

(1. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院， 安徽 合肥 230022；2. 中國科學(xué)院 安徽光學(xué)精密機(jī)械研究所 大氣光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 安徽 合肥 230031；3. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 研究生院科學(xué)島分院， 安徽 合肥 230026)

雷達(dá)技術(shù)經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，所擔(dān)負(fù)的使命越來越重，與此同時(shí)也面臨著電子技術(shù)干擾，隱身技術(shù)的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[1]。量子信息技術(shù)的迅速發(fā)展，為突破經(jīng)典信息處理方式提供了新思路?，F(xiàn)有經(jīng)典雷達(dá)無論在分辨率、靈敏度還是抗干擾能力方面都亟須進(jìn)一步提高。

受經(jīng)典電磁理論的限制，經(jīng)典雷達(dá)的分辨率、靈敏度以及抗干擾能力很難完成日益苛刻的任務(wù)需要，研究人員從調(diào)制載體和檢測技術(shù)出發(fā)，以量子理論為基礎(chǔ)結(jié)合遙感探測技術(shù)突破經(jīng)典雷達(dá)所面臨的技術(shù)瓶頸。與經(jīng)典雷達(dá)相比較而言，量子雷達(dá)具有超分辨率[2]、超靈敏度[3]以及量子散射截面等諸多優(yōu)勢，這使得量子雷達(dá)在軍事、工程等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。

量子雷達(dá)對大氣層內(nèi)目標(biāo)探測的過程中，大氣中廣泛存在的氣溶膠、粉塵等非球形粒子對光子進(jìn)行吸收和散射，從而導(dǎo)致光子的損耗。隨機(jī)分布的溫度、風(fēng)速產(chǎn)生10-3～103m尺度的漩渦，從而使得光場傳輸過程中會(huì)出現(xiàn)相位起伏、光強(qiáng)閃爍、光束擴(kuò)展和漂移等大氣湍流效應(yīng)，大氣湍流的存在導(dǎo)致量子光場失去其量子特性，蛻化為經(jīng)典光場，從而使得量子雷達(dá)失去其獨(dú)特的性質(zhì)，因此研究大氣湍流效應(yīng)對于量子雷達(dá)的影響十分重要[4-5]。

除此之外，量子度量理論指出，相位靈敏度極限由輸出端的量子Fisher信息決定，因此根據(jù)Cramer-Rao極限給出最大靈敏度邊界十分重要。Caves[9]提出no-go定理，指出如果向平衡MZI一端輸入真空態(tài)和另一端輸入何種量子態(tài)以及采用何種測量方案，靈敏度極限都不會(huì)突破SNL。Takeoka等[10]對no-go定理做出了修正，認(rèn)為no-go定理只有在干涉儀兩臂都存在未知相移才成立，但在干涉儀單臂存在未知相移則可能會(huì)突破SNL。Jarzyna等[11]指出干涉裝置需要額外的參考相位才能給出正確的量子Fisher信息。

目前，學(xué)術(shù)界對于量子雷達(dá)的方案設(shè)計(jì)及性能進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，已有研究僅局限于大氣損耗的影響，而對于大氣湍流引起的相位起伏對量子雷達(dá)影響機(jī)理的研究則較為匱乏；此外，任何不受相位起伏影響的量子態(tài)，都不能用于量子雷達(dá)的相位估計(jì)，因此考慮相位起伏的影響十分必要。

本文首先討論相干態(tài)量子干涉雷達(dá)的相位估計(jì)原理，并在合理的近似下可以將湍流大氣引起的相位起伏效應(yīng)作為相位擴(kuò)散通道主方程進(jìn)行處理，給出光場在大氣相位擴(kuò)散通道中的演化過程并討論相位擴(kuò)散速率對量子干涉雷達(dá)的影響。隨后，在此模型的基礎(chǔ)上研究了大氣湍流引起的相位起伏對于相位估計(jì)分辨率和靈敏度以及對靈敏度極限的影響。研究發(fā)現(xiàn)：增加單個(gè)脈沖平均光子數(shù)可有效地克服相位起伏對分辨率的影響；大氣相位起伏會(huì)導(dǎo)致最佳靈敏度偏離SNL，采用脈沖平均光子數(shù)較小的光源在一定程度上能提高相位的靈敏度；通過與靈敏度極限的對比，發(fā)現(xiàn)在弱相位起伏情況下，宇稱探測是一種準(zhǔn)最佳探測方案。

1 量子雷達(dá)相位估計(jì)原理

量子干涉雷達(dá)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，它的物理模型為標(biāo)準(zhǔn)Mach-Zehnder干涉儀。其中一端輸入信號為探測光，用于對遠(yuǎn)程目標(biāo)的探測和掃描，另一端輸入信號為本地參考光，由于探測光一臂與參考光一臂光程不同，會(huì)產(chǎn)生一定的相位差，隨后兩束光再次經(jīng)過分束器的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生干涉，并用探測器對兩束光進(jìn)行相干檢測，從而可得到目標(biāo)的距離信息。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)MZI物理模型(不考慮相位擴(kuò)散)Fig.1 Physical model of standard MZI (phase diffusion without consideration)

(1)

對于線性相位通道來說，為了計(jì)算簡便，假設(shè)干涉臂之間的相位差為ψ，相移對稱分布在干涉臂的兩側(cè)。因此經(jīng)過相移之后，雙模相干態(tài)變?yōu)椋?/p>

(2)

(3)

(4)

2 相位起伏對相位估計(jì)的影響

上節(jié)簡單地介紹了量子雷達(dá)在理想情況下(Γa=0)的相位估計(jì)原理，但是在實(shí)際應(yīng)用中回波信號往往需要考慮大氣湍流的作用。本節(jié)將全面分析大氣湍流引起的相位起伏對相位估計(jì)的影響。

由于大氣湍流是具有一定結(jié)構(gòu)，一定流形的隨機(jī)場，從而使得光場傳輸過程中會(huì)出現(xiàn)相位起伏、光強(qiáng)閃爍、光束擴(kuò)展和漂移等大氣湍流效應(yīng)。文獻(xiàn)[17]指出了光場經(jīng)過大氣傳輸相位每一點(diǎn)存在高斯隨機(jī)起伏，但是任意兩點(diǎn)之間的相位存在一定的關(guān)聯(lián)。如圖2所示，當(dāng)ω0?r0時(shí)，光場任意兩點(diǎn)之間的相位可以看成是統(tǒng)一的，這時(shí)只關(guān)注單一路徑下光束在大氣湍流中傳輸時(shí)的點(diǎn)起伏效應(yīng)。

假設(shè)大氣湍流引起相位起伏發(fā)生在a模經(jīng)過反射鏡和第二次BS干涉之間，下面采用相位擴(kuò)散主方程描述大氣湍流引起的相位起伏效應(yīng)。單模連續(xù)變量系統(tǒng)相位擴(kuò)散主方程為[13,18-25]：

(5)

其中，Γ代表相位擴(kuò)散率，上述主方程具有如下形式解[19]：

(6)

(7)

其中，κ0為湍流外部尺度的臨界波數(shù)。因此ω0?r0時(shí)，激光在湍流大氣中的相位起伏現(xiàn)象可近似看成相位擴(kuò)散過程，可由相位擴(kuò)散通道主方程(5)近似描述，上述主方程的解可表示為[27]：

(8)

因此a模經(jīng)過相位起伏之后變?yōu)椋?/p>

(9)

βkβ*mγpγ*q|k-i+j,p-j+i〉〈m-r+s,q-s+r|

(10)

(11)

圖2 大氣相位起伏光線模型Fig.2 Atmospheric phase fluctuation light model

(a) N=1

(b) N=4

(c) N=16

(d)N=32圖3 大氣相位起伏對測量信號包絡(luò)圖的影響Fig.3 Effect of atmospheric phase fluctuation on the measurement signal envelope diagram

(12)

3 宇稱探測下相位起伏對分辨率和靈敏度的影響

分辨率是衡量雷達(dá)性能的一個(gè)重要指標(biāo)，干涉信號條紋的分辨率取決于測量信號的半高全寬[14]，即Δx∝FWHM×λ/2π。圖4(a)給出了不同相位擴(kuò)散速率情況下FWHM隨N的變化曲線，其中帶有形狀的線表示一階近似的結(jié)果，反之表示數(shù)值計(jì)算的結(jié)果。可以看出，當(dāng)Γa和N較小時(shí)，數(shù)值計(jì)算與一階近似結(jié)果基本吻合，反之則不然，這與前文分析結(jié)果一致；當(dāng)Γa和N較大時(shí)，大氣相位起伏嚴(yán)重影響量子干涉雷達(dá)的分辨率。為了消除這種影響，圖4(b)給出了不同平均光子數(shù)下FWHM隨Fried參數(shù)的變化曲線，可以看出，相位起伏所帶來的影響可以通過增加單個(gè)脈沖的平均光子數(shù)來彌補(bǔ)。

靈敏度是衡量雷達(dá)探測目標(biāo)信息精度的另一個(gè)重要指標(biāo)，圖5給出了不同相位擴(kuò)散速率情況下，Δψ隨ψ的變化情況，可以看出當(dāng)Γa=0時(shí)，Δψ的最小值在0處取得，Γa≠0時(shí)，Δψ的最小值在ψ≠0處取得，這說明相位擴(kuò)散速率動(dòng)態(tài)地改變相位估計(jì)的靈敏度。此外，還注意到當(dāng)相位擴(kuò)散速率較小時(shí)，Δψmin隨N的增大單調(diào)遞減，當(dāng)Γa=0.1，即相位擴(kuò)散速率較大時(shí)，這時(shí)Δψmin隨N的增大先遞減后遞增。

圖6給出了不同平均光子數(shù)情況下Δψmin隨r0的變化曲線，當(dāng)N較小時(shí)，大氣相位起伏對于Δψmin的影響較小，反之Δψmin則受r0的影響較大，這是由于光子數(shù)較大時(shí)相位起伏引起的信號衰減加劇造成的。當(dāng)r0較大，即大氣相位起伏較弱時(shí)，平均光子數(shù)的增加會(huì)增加量子干涉雷達(dá)的靈敏度；反之r0較小時(shí)，使用單個(gè)脈沖平均光子數(shù)較小的光源能在一定程度上提高雷達(dá)的靈敏度。

(a) 不同相位擴(kuò)散下FWHM隨N的變化曲線(a) Variation curve of FWHM with N under different phase diffusions

(b) 不同平均光子數(shù)下FWHM隨Fried參數(shù)的變化曲線(b) Variation curve of FWHM with Fried parameters under different average photon numbers圖4 大氣相位起伏對FWHM的影響Fig.4 Effect of atmospheric phase fluctuation on FWHM

(a) Γa=0

(b) Γa=10-4

(c) Γa=10-2

(d) Γa=0.1圖5 大氣相位起伏對宇稱探測線性相位估計(jì)靈敏度的影響Fig.5 Effect of atmospheric phase fluctuation on the sensitivity of linear phase estimation using parity detection

圖6 Fried參數(shù)對最佳靈敏度的影響Fig.6 Effect of Fried parameters on optimal sensitivity

4 相位起伏對靈敏度極限的影響

圖7 不同相位起伏下最佳靈敏度和靈敏度極限隨光子數(shù)變化log-log圖Fig.7 Log-log diagram of optimal sensitivity and sensitivity limit with photon number under different phase diffusions

此外，圖7對比了通過宇稱探測計(jì)算的最佳靈敏度和量子Fisher信息計(jì)算的靈敏度極限與平均光子數(shù)之間的關(guān)系?？梢钥闯?，當(dāng)Γa=0時(shí)，宇稱探測的結(jié)果達(dá)到散粒噪聲極限；當(dāng)Γa較小時(shí)，即弱相位起伏情況下，宇稱探測結(jié)果接近CRL，隨著Γa的增大，宇稱探測結(jié)果偏離CRL，這時(shí)宇稱算符并非最佳探測算符，這意味著存在其他探測方案能夠更好地克服相位起伏的影響。

5 結(jié)論

本文首先介紹了量子雷達(dá)的特點(diǎn)及其獨(dú)特的優(yōu)勢，并給出不存在大氣相位起伏情況下相位估計(jì)的原理以及量子度量理論在相位估計(jì)靈敏度極限方面的應(yīng)用，指出大氣中存在的損耗、光強(qiáng)起伏以及相位起伏會(huì)對其自身特點(diǎn)造成一定的影響，并以MZI及相位擴(kuò)散主方程作為理論模型，詳細(xì)分析了相位起伏對相位估計(jì)的影響。研究發(fā)現(xiàn)，相位起伏將造成脈沖信號半高寬的增加，從而降低探測的分辨率，通過增加脈沖平均光子數(shù)即可克服此不良影響。此外，相位起伏的增加會(huì)使得最佳靈敏度遠(yuǎn)離SNL，通過適當(dāng)增加平均光子數(shù)可在一定程度上提高相位估計(jì)的靈敏度。最后對比CRL給出的靈敏度極限與宇稱探測給出的最佳靈敏度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在無噪聲和弱相位起伏下，宇稱探測是一種準(zhǔn)最佳的探測手段，在強(qiáng)起伏情況下，宇稱探測的最佳靈敏度和CRL尚有一定的距離，這說明應(yīng)尋找其他更好的探測方案來克服相位起伏的影響。