李創(chuàng)第 王博文 昌明靜

摘要：為建立粘彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計(jì)方法，基于虛擬激勵(lì)法和精細(xì)積分法，對(duì)設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)研究。首先，對(duì)設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器進(jìn)行建模并引入結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程中，構(gòu)造設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼耗能減震系統(tǒng);然后，利用虛擬激勵(lì)法分析結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì);最后，利用精細(xì)積分法解出五參數(shù)Maxwell阻尼耗能減震結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)地震響應(yīng)方差。

關(guān)鍵詞：五參數(shù)Maxwell阻尼器;耗能減震系統(tǒng);非平穩(wěn)地震響應(yīng);虛擬激勵(lì)法;精細(xì)積分

中圖分類(lèi)號(hào)：TU3113DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.01.008

0引言

地震從發(fā)生到結(jié)束的整個(gè)過(guò)程，一般都是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為了便于計(jì)算和分析，通常將這些非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中比較平穩(wěn)的一段視為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。因此，平穩(wěn)激勵(lì)是研究隨機(jī)振動(dòng)的基礎(chǔ)，但是這種簡(jiǎn)化有時(shí)候會(huì)使分析結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)主要有白噪聲激勵(lì)模型、Kanai-Tajimj譜地震激勵(lì)模型、Clougtl-Penizien模型、胡聿賢模型等，其中Kanai-Tajimj譜地震激勵(lì)模型具有符合地震動(dòng)特點(diǎn)和表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)而受到廣大科研人員的研究。為此，非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析的研究具有十分重要的實(shí)際意義。

粘彈性阻尼器的力學(xué)性能研究很有必要，描述粘彈性阻尼器的力學(xué)模型主要有Maxwell、GHM、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin等。基于Maxwell模型，它可擴(kuò)展到五參數(shù)Maxwell阻尼器模型，該模型在擬合粘彈性本構(gòu)關(guān)系試驗(yàn)時(shí)具有高精度，為了提高精度和工程實(shí)際應(yīng)用，一般要考慮支撐的影響。

在非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下，一般粘彈性耗能減震變頻結(jié)構(gòu)常用非擴(kuò)階近似法等作為分析方法，但其精度和使用范圍受到限制，而虛擬激勵(lì)法已被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)、波傳播、剛性問(wèn)題、偏微分方程的求解等眾多領(lǐng)域，也被應(yīng)用于沒(méi)有粘彈性阻尼器的結(jié)構(gòu)受非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)的精確高效計(jì)算分析中，但是至今尚未應(yīng)用于含有粘彈性阻尼器的消能減震結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和抗震動(dòng)力可靠性分析。因此，將此方法應(yīng)用于本文分析具有重要的工程意義。

鐘萬(wàn)勰提出的精細(xì)積分法，對(duì)于計(jì)算機(jī)求解指數(shù)矩陣的精度有顯著的提高，能有效降低因精細(xì)劃分所引起的誤差;這種積分方法雖然不是提供解析解公式，但其數(shù)值計(jì)算結(jié)果卻是高度準(zhǔn)確的。

為建立粘彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計(jì)方法，基于虛擬激勵(lì)法和精細(xì)積分法，對(duì)設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)研究。

1結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼耗能減震系統(tǒng)如圖1所示。在隨機(jī)地震激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可

2基于虛擬激勵(lì)法的非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析

根據(jù)林家浩提出的虛擬激勵(lì)法，如果構(gòu)造虛擬地震激勵(lì)

T（τ）=e_Hτ（34）

Z_p（t）為方程（31）的特解。

3精細(xì)積分計(jì)算

3.1矩陣T（τ）的精細(xì)計(jì)算

將積分步長(zhǎng)τ內(nèi)部細(xì)分為m=2^N等分：

△t=τ/m=2^-Nτ（35）

一般取N=20，于是△t≈10^-6τ，△t一般遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)的所有自振周期，將式（35）代入式（34）得：

以上兩式表明可按下列方式計(jì)算T_a1，T_a2，…，T_aN，從而得到T（τ）：

T_ai=2T_a，i-1+T_a，i-1T_a，i-1（39）

3.2HPD-L精細(xì)積分格式

假設(shè)在所有的時(shí)間段t∈（t_k，t_k+1）上荷載變化量都是線性變化的，可以表示為：

f₀（t）=r₀+r₁（t-t₀） （40）

式中，r₀與r₁是時(shí)不變向量，r₀是每個(gè)時(shí)刻上的初始值，r₁是每個(gè)時(shí)刻問(wèn)的斜率，則方程（31）的特解為：

Zp（t）=（H^-1+It）（-H^-1r₁）-H^-1（r₀-r₁t_k）（41）

將式（41）代入式（33），獲得用于精確積分方法的HPD-L格式

Z（t_k+1）=T（τ）[Z（t_k）+H^-1（r₀+H^-1r₁]-H^-1（r₀+H++-1r₁+r₁τ） （42）式中，τ=t_k+1-t_k，為積分步長(zhǎng)。

3.3HPD-S精細(xì)積分格式

r₁與r₂是時(shí)不變向量，將式（44）代入方程（31）右端，可解得方程的特解為：

Z_p（t）=asin（ωt）+bcos（ωt） （46）

式中，

a=（ωI+H²/ω）^-1（r₂-Hr₁/ω） （47）

b=（ωI+H²/ω）^-1（-r₁-Hr₂/ω） （48）

于是得到精確積分方法的HPD-S格式：

Z（t_k+1）=T（τ）[Z（t_k）-asin（ωt_k）-bcos（ωt_k）]+asin（ωt_k+1）+bcos（ωt_k+1） （49）

式中，τ=t_k+1-t_k。

4算例

如圖1所示，設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器單自由度減震系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量m=42500kg，剛度k=145.43×10⁵N/m，阻尼比S₀分別取0.02、0.04、0.08、0.20.五參數(shù)Maxwell阻尼器的基本參數(shù)為：平衡剛度k₀=0.36×10⁵N/m，支撐剛度k_b=1.5k，五參數(shù)Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和阻尼分別為k₁=42.08×10⁵N/m，c₁=0.83×10⁵N·s/m;k₂=6.87×10++5N/m，c₂=2.15×10⁵N·s/m。x_f（t）的功率譜密度取Kanai-Tajimi譜：

調(diào)幅函數(shù)分別取為階躍型調(diào)制濾過(guò)白噪聲型調(diào)幅函數(shù)如圖2-圖7、Shinozuka-Sato型調(diào)幅函數(shù)如圖8一圖13，計(jì)算參數(shù)取為：

g（ω，t）=g₁（ω，t）=1

g（ω，t）=g₂（ω，t）=e^-0.6t—e_-t

由算例可以得到：阻尼比對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)有很大的影響。

在階躍型和Shinozuka—Sato型非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下，如圖2-圖4和圖8-圖10所示，可以得到：阻尼比越大，響應(yīng)方差越早達(dá)到峰值;伴隨著阻尼比的變化，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)方差則發(fā)生相反的變化。

在結(jié)構(gòu)的其他參數(shù)不發(fā)生變化的情況下，r_b分別取0.5、0.8、1.2、10、∞五種情況，支撐剛度k_b=r_bk，r_b為支撐剛度與結(jié)構(gòu)剛度的比值，阻尼比取S₀=0.1，研究支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。

由算例可以得到：支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)有很大影響。

在階躍型和Shinozuka-Sato型非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下，如圖5-圖7和圖11-圖13所示，可以得到：響應(yīng)峰值發(fā)生時(shí)間不隨支撐剛度變化而變化;伴隨著支撐剛度的變化，結(jié)構(gòu)的位移、速度響應(yīng)方差發(fā)生相反的變化，阻尼器受力響應(yīng)方差則發(fā)生相同的變化。

對(duì)于本算例，可任選其中一種積分格式計(jì)算，這里選取HPD-L精細(xì)積分格式計(jì)算。當(dāng)支撐剛度k_b>10k的情況，按k_b=∞進(jìn)行近似取值;當(dāng)k_b較小時(shí)，按k_b的實(shí)際剛度取值。

5小結(jié)

為建立粘彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計(jì)方法，本文基于虛擬激勵(lì)法和精細(xì)積分法，對(duì)設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼減震系統(tǒng)進(jìn)行非平穩(wěn)響應(yīng)分析。

1）在階躍型非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下，阻尼比越大，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差越提前達(dá)到穩(wěn)態(tài);在Shinozuka-Sato非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)都存在峰值效應(yīng)，且阻尼比越大，峰值出現(xiàn)的時(shí)間越提前。

2）支撐剛度對(duì)粘彈性耗能結(jié)構(gòu)有重要影響，在支撐剛度較耗能結(jié)構(gòu)剛度很大情況下，支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響效果不再增加，一般情況下，應(yīng)考慮有限支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。在Shinozuka-Sato非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)峰值出現(xiàn)時(shí)間不隨支撐剛度變化而變化。

此方法具有求解過(guò)程簡(jiǎn)單，效率高等優(yōu)點(diǎn)，為五參數(shù)粘彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下的抗震動(dòng)力響應(yīng)分析提供了參考。