李葉龍 楊娟 馬興灶

摘要：從兩直角坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸間的幾何關(guān)系入手，組合排列出剛體姿態(tài)描述矩陣的一般式，利用向量點(diǎn)積性質(zhì)及剛體姿態(tài)描述矩陣的一般式推導(dǎo)出坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方程，進(jìn)一步應(yīng)用剛體姿態(tài)描述矩陣的一般式，借助兩坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸間幾何關(guān)系，得出描述剛體姿態(tài)的三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣的具體形式;利用兩坐標(biāo)系的幾何關(guān)系，借助輔助坐標(biāo)系推導(dǎo)出描述剛體姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)通式，并由旋轉(zhuǎn)通式得出描述剛體姿態(tài)的三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣的具體形式。

關(guān)鍵詞：剛體姿態(tài);坐標(biāo)旋轉(zhuǎn);幾何關(guān)系

中圖分類號(hào)：TP18? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）36-0015-04

Abstract：Starting from the geometric relationship of axes in two rectangular coordinate systems， the general form of the description matrix for rigid body attitude was obtained through permutation and combination， which was then used to derive the coordinate rotation equation based on the property of vector dot product. Further， applying the general form of the description matrix for rigid body attitude， and with the aid of the geometric relationship of axes in the two coordinate systems， the specific form of three basic rotation matrixes describing rigid body attitude was obtained. Also， by using the geometric relationship between the two coordinate systems and the auxiliary coordinate system， the general expression of rotation describing rigid body attitude was derived， which was then used to obtain the concrete form of the three basic rotation matrixes that describe rigid body attitude.

Key words： rigid body attitude， coordinate rotation， geometric relationship

前言

剛體的位姿描述包括位置描述和姿態(tài)描述，是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念，其數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為位置（平移）向量和旋轉(zhuǎn)矩陣，二者是剛體位姿齊變換矩陣的關(guān)鍵元素。其中所涉及的描述剛體姿態(tài)的三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣，是建立機(jī)器人操作臂運(yùn)動(dòng)方程、進(jìn)行機(jī)器人操作臂運(yùn)動(dòng)方程求正反解的基礎(chǔ)，特別是其所蘊(yùn)含的坐標(biāo)軸間幾何關(guān)系是理解上述問(wèn)題的關(guān)鍵，因其屬于基礎(chǔ)性內(nèi)容，現(xiàn)有關(guān)于機(jī)器人技術(shù)方面的資料文獻(xiàn)中，對(duì)描述剛體姿態(tài)的三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣的具體形式的導(dǎo)出過(guò)程均進(jìn)行了不同程度的省略[1-3]，導(dǎo)致其成為初學(xué)者學(xué)習(xí)機(jī)器人技術(shù)的一個(gè)難點(diǎn)。針對(duì)于此，本文從兩直角坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸的幾何關(guān)系入手，從兩個(gè)方面對(duì)描述剛體姿態(tài)的三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣的產(chǎn)生及導(dǎo)出過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)性解析。

1 剛體的位姿

在機(jī)器人技術(shù)中，剛體間位姿（位置、姿態(tài)）關(guān)系通常借助其上固化的坐標(biāo)系來(lái)確定，通過(guò)各固化坐標(biāo)系間位姿關(guān)系反映剛體間位姿關(guān)系，研究中以坐標(biāo)系間的平移向量及旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)描述剛體的位姿。分析時(shí)通常假定兩固化坐標(biāo)系的位置（姿態(tài)）相同，然后研究?jī)勺鴺?biāo)系的姿態(tài)描述矩陣（平移向量），最后以姿態(tài)描述矩陣和平移向量為元素構(gòu)成齊次變換矩陣來(lái)綜合體現(xiàn)兩剛體的位姿關(guān)系。剛體間的平移向量可通過(guò)平移方程進(jìn)行求解，較為簡(jiǎn)便直觀，如圖1所示（只考慮位置關(guān)系，故兩坐標(biāo)系姿態(tài)相同）。坐標(biāo)系{B}相對(duì)坐標(biāo)系{A}的平移向量，可通過(guò)矢量三角形∠OAPOB進(jìn)行求解，其平移方程如式（1）或（2）所示。而姿態(tài)關(guān)系則是在兩坐標(biāo)系擁有共同原點(diǎn)（只考慮姿態(tài)關(guān)系，故兩坐標(biāo)系位置相同）的情況下，通過(guò)坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)表達(dá)。

式中AP為P點(diǎn)在{A}坐標(biāo)系中的坐標(biāo);BP為P點(diǎn)在{B}坐標(biāo)系中的坐標(biāo);AOB為{B}坐標(biāo)系的原點(diǎn)在{A}坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。其向量表式形式，如式（2）所示。

2 剛體姿態(tài)描述

2.1旋轉(zhuǎn)矩陣的一般式

兩坐標(biāo)系的初始態(tài)如圖2a所示，坐標(biāo)系{A}與{B}重合，之后坐標(biāo)系{B}相對(duì){A}發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即坐標(biāo)系{A}為參考系，坐標(biāo)系{B}以過(guò)原點(diǎn)的某一直線為軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后二者的幾何關(guān)系發(fā)生改變（見(jiàn)圖2b）。由圖2b可見(jiàn)，{B}坐標(biāo)系的三個(gè)單位主矢量（xB，yB，zB）與{A}坐標(biāo)系的三個(gè)單位主矢量（xA，yA，zA）間形成一定角度，其中zB與xA，yA，zA間的角度分別以（zB，xA）、（zB，yA）、（zB，zA）的形式表示，依次類推兩坐標(biāo)系坐標(biāo)軸間的角度共關(guān)系有9種組合，由此9個(gè)角度的余弦值按照一定方式排列可構(gòu)成3×3矩陣。

將此矩陣的行（從上到下）分別表示坐標(biāo)系{A}的xA，yA，zA三個(gè)單位主矢量方向，列（從左到右）分別表示坐標(biāo)系{B}的xB，yB，zB三個(gè)單位主矢量方向，由此排列所得矩陣如式（3）所示，此矩陣可明確地反映出坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的幾何關(guān)系，即姿態(tài)描述，故將式（3）定義為剛體姿態(tài)描述的一般式。