伍鐵斌，朱紅求，龍文，李勇剛，劉云連

(1.湖南人文科技學(xué)院能源與機電工程學(xué)院，湖南婁底，417000；2.中南大學(xué)自動化學(xué)院，湖南長沙，410083；3.貴州財經(jīng)大學(xué)貴州省經(jīng)濟系統(tǒng)仿真重點實驗室，貴州貴陽，550025)

智能優(yōu)化算法不需要目標函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，具有穩(wěn)定性強、能求解多極值問題、全局尋優(yōu)能力較強等優(yōu)點，在工業(yè)生產(chǎn)過程等得到了廣泛應(yīng)用[1-5]，典型智能算法主要有PSO[6]，ABC[7]，CS[8]，BA[9]，GWO[10]，GA[11]和 WOA[12]等。MIRJALILI 等[12]提出的鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)是通過模擬鯨魚群體捕食獵物的過程提出的，具有原理簡單、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，求解精度比PSO 的高。鯨魚算法已經(jīng)在電力無功功率的優(yōu)化[13]和配電網(wǎng)的電容器選址[14]等工程領(lǐng)域得到應(yīng)用，但WOA與其他智能算法一樣存在易早熟的缺點。劉浩然等[15]提出了一種基于交叉變異算子和動態(tài)參數(shù)調(diào)整策略的WOA 算法。褚鼎立等[16]將模擬退火思想引入WOA 算法，并同時采用自適應(yīng)權(quán)重的方法，兼顧了全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力。鄭威迪等[17]用萊維飛行方法代替了原始WOA 的參數(shù)隨機選擇方法，加快了WOA算法的收斂速度。許瑜飛等[18]采用對立算子產(chǎn)生初始種群，使用精英反向?qū)W習(xí)策略提高了全局搜索能力，并結(jié)合差分進化進行變異修正，提高了算法的局部尋優(yōu)能力，利用實際工程中的渣油加氫參數(shù)優(yōu)化問題驗證了算法的有效性。針對鯨魚算法存在的問題，本文設(shè)計一種改進的鯨魚算法(improved whale optimization algorithm,IWOA)，基于指數(shù)函數(shù)的收斂因子平衡算法探索與開發(fā)能力，采用旋轉(zhuǎn)因子提高局部尋優(yōu)能力，并引入自適應(yīng)變異操作以減少算法陷入局部最優(yōu)的概率；通過標準測試函數(shù)驗證改進的鯨魚算法的有效性，并將其應(yīng)用于燒結(jié)配料過程。

1 鯨魚算法

基于鯨魚獨特的泡泡網(wǎng)覓食行為，MIRJALILI等[12]于2016年提出了鯨魚優(yōu)化算法(WOA)。在該算法中，假設(shè)鯨魚種群規(guī)模為N，搜索空間為d維，第i只鯨魚在d維空間中的位置可表示為Xi=(x1i,x2i,…,xdi)，其中，i=1,2,…,N。獵物的位置對應(yīng)于問題的解。

在WOA算法中，假設(shè)當前群體中的最優(yōu)位置為獵物，群體中其他鯨魚個體都向獵物靠近以更新自己的位置。利用下式更新位置：

式中：t為當前迭代次數(shù)；Xp=(x1p,x2p,…,xdp)，為獵物位置，

式中：r1和r2為[0,1]之間的隨機數(shù)；a為線性遞減的收斂因子；k為當前迭代次數(shù)；kmax為最大迭代次數(shù)。

在WOA算法中，模擬鯨魚螺旋式運動以捕獲獵物的特點，設(shè)計了螺旋更新位置的方法，其數(shù)學(xué)模型為

式中：D′=|Xp(t)-X(t)|，為第i只鯨魚和獵物間的距離；b為限定螺旋形狀的常數(shù)；隨機數(shù)l∈[-1,1]。鯨魚不僅在獵物收縮圈周圍游來游去，而且沿著螺旋形路徑進行游弋。

除了泡泡網(wǎng)捕食行為外，鯨魚也可以自由尋找食物，即根據(jù)彼此位置進行隨機搜索，如下式所示：

式中：Xrand為從當前群體中隨機選取的鯨魚個體位置向量。

2 改進鯨魚優(yōu)化算法

2.1 基于指數(shù)函數(shù)的收斂因子

群體算法的全局探索能力與局部開發(fā)能力一樣重要，必須平衡好全局探索能力與局部開發(fā)能力，收斂因子a越大，算法的探索能力越強，但不利于算法收斂；反之，則開發(fā)能力越強，同時也更容易早熟。在基本的WOA 算法中，收斂因子a隨迭代次數(shù)從2 線性減小到0，特別是在求解多峰函數(shù)時，容易陷入局部最優(yōu)。為此，提出一種基于指數(shù)函數(shù)的隨著進化迭代次數(shù)呈非線性變化的收斂因子，在前期強調(diào)全局尋優(yōu)能力的同時，在后期兼顧局部尋優(yōu)，a的更新公式為

式中：λ為非線性調(diào)節(jié)系數(shù)(1＜λ≤3)；e 為自然常數(shù)；t為當前迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)。

2.2 基于旋轉(zhuǎn)操作的精英學(xué)習(xí)方法

原始的鯨魚算法具備一定的局部尋優(yōu)能力，但在局部精細搜索上存在不足。為提高算法的局部尋優(yōu)能力，引入一種基于旋轉(zhuǎn)操作[9]的精英學(xué)習(xí)方法。本文選取精英比例δ較大的個體(15%＜δ＜40%)進行局部細搜索，如下式所示：

式中：R為[-1,1]之間服從均勻分布的隨機向量(1×d維)；R?X(t)表示隨機向量R與X(t)的點乘；β為旋轉(zhuǎn)算子，為正數(shù)，

βmax為β的最大值(0.1≤βmax≤1)；ω為收縮系數(shù)(1＜ω≤2)；ε為很小的數(shù)(10-10＜ε＜10-3)。在算法進化過程中，每進化1 代，則β除以調(diào)節(jié)系數(shù)ω，直到β小于ε時，重新給β賦值為βmax。

該旋轉(zhuǎn)操作在以某一個個體為中心、β為半徑的超球面內(nèi)進行隨機細搜索。β是動態(tài)變化的，因此，算法能在δ較大的個體周圍進行多層次、小范圍搜索，能有效提高尋找到次優(yōu)解附近最優(yōu)解的概率。

2.3 自適應(yīng)變異操作

與其他群體算法一樣，鯨魚算法在進化后期容易陷入局部最優(yōu)，且缺乏跳出局部最優(yōu)的操作。因此，本文設(shè)計一種自適應(yīng)變異操作算子，變異概率pm隨著種群多樣性的變差而增大，使得算法在進化后期能有效跳出局部最優(yōu)。變異概率為

(1)地表出露的斑巖為以巖脈、巖株形式產(chǎn)出并侵入香夼組地層以及南部的南莊組地層，并具有大致順層的特征。另外，隱爆角礫巖多位于淺成—超淺成中酸性斑巖體頂部[13]，Wolfe[21]認為形成隱爆角礫巖的淺成—超淺成斑巖體往往是與深部大隱伏巖體相連的沿著軟弱帶向上侵入的小巖株，推測深部存在較大的隱伏巖體，巖脈、巖株向下匯聚為花崗閃長斑巖體。

式中：p0為變異概率的初始值(0.05＜p0≤0.15)；η為增幅系數(shù)；ζ為陷入局部最優(yōu)解的診斷系數(shù)，若可能陷入局部最優(yōu)，則ζ=1；若沒有陷入局部最優(yōu)，則ζ=0.5。

將所有解對應(yīng)的適應(yīng)度f按從大到小排序，fmin為最小適應(yīng)度(fmin對應(yīng)的解作為當前最優(yōu)解)；然后，選取適應(yīng)度較小的61.8%(黃金比例)部分，假設(shè)該部分適應(yīng)度的平均值為fGR_mean，ρ1/100和ρ2/100為群體多樣性診斷參數(shù)(滿足0＜ρ1/100＜ρ2/100＜10/100，ρ1和ρ2為(0,10)之間的常數(shù))。當fmin=0 時，η取0.3。顯然，|越小，則解的多樣性越差，因此，需要取更大的變異概率，以便有效跳出局部最優(yōu)。

式中：k為當前迭代的代數(shù)(當k＜3時，ζ取1)。當連續(xù)3代的最優(yōu)解沒有改善(即連續(xù)3代的最優(yōu)解相同)時，極有可能陷入了局部最優(yōu)，因此，需要取較大的變異概率以便跳出局部最優(yōu)，此時，ζ取值為1。

2.4 改進的鯨魚算法步驟

本文提出的改進的鯨魚算法(簡稱IWOA)流程圖如圖1所示。

3 數(shù)值實驗及比較

3.1 測試函數(shù)及性能指標

為了驗證本文提出的IWOA 算法的性能，選取10 個具有代表性的標準函數(shù)進行測試。10 個標準測試函數(shù)如表1所示，其中，F(xiàn)1～F4為維數(shù)可變的單峰函數(shù)，F(xiàn)5～F8為維數(shù)可變的多峰函數(shù)，F(xiàn)9和F10為固定維數(shù)的多峰函數(shù)，fmin為理論最優(yōu)值。

3.2 實驗結(jié)果

將本文提出的IWOA 算法與基本W(wǎng)OA 算法[12]、基本PSO 算法[6]進行比較，為公平比較，取這3 種算法的種群規(guī)模均為30，最大的迭代次數(shù)tmax均為500次。在IWOA算法中，收斂因子中的非線性調(diào)節(jié)系數(shù)λ=1.5，旋轉(zhuǎn)系數(shù)βmax=0.5，收縮系數(shù)ω=1.2，精英比例δ=25%，變異概率中p0=0.1，增幅參數(shù)η初始值為0.15。這3 種算法在上述參數(shù)下獨立運行20 次，記錄最優(yōu)值和平均值。這3 種算法對各測試函數(shù)的尋優(yōu)收斂曲線(隨機選取某一次)如圖2所示。從圖2可知：IWOA 收斂速度明顯比其他2種算法的高，尋優(yōu)精度也較高。表2所示為PSO[6]、灰狼優(yōu)化算法(GWO)[20]、WOA[12]和本文的IWOA 這4 種算法獨立尋優(yōu)20 次的統(tǒng)計結(jié)果，其中，GWO的平均值為文獻[20]中的仿真結(jié)果(文獻[20]中函數(shù)F1～F8的變量取30維)。

圖1 改進的鯨魚算法流程圖Fig.1 Flow chart of improved whale algorithm

表1 測試函數(shù)Table 1 Test functions

表2 IWOA，WOA，PSO和GWO算法對10個測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 2 Comparison of IWOA,WOA,PSO and GWO algorithms for 10 test functions

4 IWOA 算法在鋼鐵燒結(jié)配料中的應(yīng)用

燒結(jié)過程是我國鋼鐵冶煉的關(guān)鍵工序，對保障高爐煉鐵極其重要；貧鐵礦或鐵精礦粉必須經(jīng)過燒結(jié)成塊，才能進入高爐冶煉。煉鐵燒結(jié)過程主要由一次配料、二次配料和燒結(jié)熱過程這3個級聯(lián)工序組成。一次配料為燒結(jié)前的關(guān)鍵工序，是將多種化學(xué)組分不一樣的鐵礦石粉混合在一起形成鐵礦石中和粉，決定了燒結(jié)塊的化學(xué)成分[21]。通過配料過程既降低成本，同時將有害的化學(xué)成分控制在一個合理的區(qū)間內(nèi)。

圖2 基法IWOA、基本W(wǎng)OA和基本PSO對10個標準測試函數(shù)的尋優(yōu)曲線Fig.2 Optimization curves of 10 standard test functions based on IWOA,basic WOA and PSO

4.1 燒結(jié)配料數(shù)學(xué)模型

由于不同的鐵礦石化學(xué)成分和價格都不一樣，不同的配比導(dǎo)致價格差異非常大。某鋼鐵企業(yè)的7種鐵礦原料中TFe，P，S，Al2O3，SiO2和MgO 的質(zhì)量分數(shù)(分別用p1，p2，p3，p4，p5和p6表示)和價格如表3所示。

表3 鐵礦粉的化學(xué)成分（質(zhì)量分數(shù))與價格Table 3 Chemical composition(mass fraction)and price of iron ore powder

4.1.1 目標函數(shù)

配料的目的是要提高燒結(jié)礦的質(zhì)量和降低成本，因此，建立以經(jīng)濟成本最小為原則的目標函數(shù)。

式中：k為參與配料的礦的種類；ck為每種礦的單價(元/t)；xk為每種礦的用量(xk≥0)。

4.1.2 混合礦中TFe約束條件

4.1.3 混合礦中磷（P）和硫（S）的約束條件

4.1.4 混合礦中Al2O3，SiO2和MgO的約束條件

4.2 模型求解

采用本文提出的IWOA 求解該配料問題，并與標準PSO 算法、基本W(wǎng)OA 算法進行對比(都采用Deb 準則處理約束)，結(jié)果如表4和表5所示。從表4和表5可知：假設(shè)某企業(yè)每年配料為100 萬t，在滿足各約束的條件下，采用IWOA 算法與采用標準粒子群算法、GWO 算法和WOA 算法相比，每年分別可以節(jié)約632.76 萬元、227.77 萬元和400.77萬元，取得了顯著的經(jīng)濟效益。本算法有效地解決了鋼鐵冶煉過程中的燒結(jié)配料優(yōu)化問題，由于其他冶金領(lǐng)域的配料問題與鋼鐵燒結(jié)過程的配料問題具有相似性，因此，本算法也適用于解決其他冶金領(lǐng)域的配料問題。

表4 不同算法優(yōu)化計算的最佳礦比及成本價的對比Table 4 Comparison of the best ore ratio and product cost resulting from different algorithms %

表5 采用不同算法優(yōu)化得到的混合料中各元素質(zhì)量分數(shù)Table 5 Mass fraction of some elements of mixed material obtained by different algorithms %

5 結(jié)論

1) 鯨魚優(yōu)化算法(WOA)是一種模擬鯨魚捕食行為的新型智能算法，針對基本鯨魚優(yōu)化算法的不足，提出一種改進的鯨魚優(yōu)化算法(IWOA)。

2)利用10 個標準測試函數(shù)驗證了IWOA 具有收斂速度快、全局尋優(yōu)能力強的優(yōu)點。將IWOA應(yīng)用于鋼鐵燒結(jié)配料過程，仿真結(jié)果表明IWOA能有效降低配料過程的成本。