申江慢

循環(huán)卷積在濾波多載波干擾分析中的應(yīng)用＊

申江慢

（麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 麗水 323000）

循環(huán)卷積是數(shù)字信號處理領(lǐng)域中的核心數(shù)學(xué)工具之一，是連接時(shí)頻域之間的重要橋梁。干擾分析一直是濾波多載波技術(shù)的難題之一，受限于較長的濾波器長度，符號間干擾不可忽略。直接用線性卷積進(jìn)行分析會(huì)導(dǎo)致公式形式繁冗，且各級求和上下限高度耦合，導(dǎo)致后續(xù)分析難以推進(jìn)。通過延長觀察窗口，構(gòu)成物理上循環(huán)移位的結(jié)構(gòu)，將循環(huán)卷積引入到濾波多載波的干擾分析中，將時(shí)域卷積轉(zhuǎn)換成頻域點(diǎn)乘，大大降低了分析難度。通過仿真驗(yàn)證，提出的分析方法可以準(zhǔn)確構(gòu)造出干擾的表達(dá)式，為后續(xù)的信干比分析及濾波器設(shè)計(jì)等工作打下了很好的基礎(chǔ)。

循環(huán)卷積；線性卷積；濾波多載波；干擾分析

1 引言

濾波多載波技術(shù)是5G后（5G and beyond）的基礎(chǔ)波形技術(shù)[1]，通過對子載波或者子帶進(jìn)行濾波，大大降低干擾泄漏（out-of-band emission，OOBE），從而將用戶間干擾控制在很小的范圍之內(nèi)。但是大部分的濾波多載波技術(shù)中使用的濾波器長度都遠(yuǎn)超循環(huán)前綴（cyclic-prefix，CP）的長度，這使得濾波多載波接收信號不再具有類似CP-OFDM接收信號中循環(huán)移位的特殊結(jié)構(gòu)，符號間干擾（inter-symbol interference，ISI）無法避免[2]，這也使得循環(huán)卷積無法直接應(yīng)用到其中。一種近似的分析方法是忽略ISI的存在，直接在頻域進(jìn)行干擾分析，這樣處理的弊端是非常明顯的，無法分析ISI及異步傳輸對于干擾的影響，也無法準(zhǔn)確分析子載波間干擾（inter-carrierinterference，ICI）和子帶間干擾的影響。更準(zhǔn)確的分析方法是在時(shí)域展開干擾分析，目前在通用濾波多載波（universal filtered multicarrier，UFMC）[3]、基于成型濾波器函數(shù)設(shè)計(jì)的交錯(cuò)正交幅度調(diào)制正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing With Offset Quadrature Amplitude Modulation，OFDM/OQAM）[4]中都有類似的分析方法。這樣分析的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確度高，但是在（filtered Orthogonal Frequency Division Multiplexing，f- OFDM）[5]中，傳統(tǒng)的直接用線性卷積在時(shí)域開始分析的方法并不適用。因?yàn)閒-OFDM中收發(fā)兩端都有基于子帶的濾波操作，而且濾波器長度遠(yuǎn)超CP長度，由于發(fā)送濾波器、多徑信道和接收濾波器三者都可以視為線性時(shí)不變系統(tǒng)，因此接收時(shí)域信號相當(dāng)于發(fā)送時(shí)域信號依次和這三者線性卷積的結(jié)果。如果直接用線性卷積對接收信號進(jìn)行建模，雖然邏輯上最容易理解，但是由于線性卷積的特點(diǎn)，多級線性卷積操作之間的上下限相關(guān)性很強(qiáng)，這使干擾本身的建模難度非常大，而且對后續(xù)的方差推導(dǎo)等工作帶來諸多不便。

2 卷積介紹

2.1 線性卷積

線性卷積是數(shù)字信號處理領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)工具，尤其是對線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)而言，它描述的是線性移不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，體現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)在特性。假設(shè)一個(gè)輸入序列（）輸入到一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為（）的線性移不變系統(tǒng)中，由于線性系統(tǒng)的疊加屬性，系統(tǒng)輸出可以表示為：

式（1）中：*表示線性卷積運(yùn)算。

當(dāng)（）和（）均為有限長，且長度分別為X和H時(shí)，修正為：

從式（2）看出，線性卷積等效于用（）的抽頭加權(quán)（）的各個(gè)時(shí)延版本，然后再求和。

舉例說明，假設(shè)（）=[1，2，2]，（）=[1，2，3，4]，則（）=（）*（）可以通過如下計(jì)算過程得到：

（）=[1，4，9，14，14，8]，由式（3）可知，線性卷積中存在移位、加權(quán)和求和等操作，而且計(jì)算結(jié)果的序列長度為原序列長度和減1。

2.2 循環(huán)卷積

與線性卷積相對的，（）和（）的循環(huán)卷積可以表示為：

由式（4）可知，循環(huán)卷積的基本計(jì)算過程也是由移位、加權(quán)和求和三步組成，但和線性卷積不同的地方在于，線性卷積的移位是線性右移，這會(huì)導(dǎo)致輸出序列長度變長。而循環(huán)卷積的移位是循環(huán)右移，并不會(huì)增加輸出序列的長度[6]。為了說明情況，同樣以上面的例子為例，序列（）=[1，2，2]和（）=[1，2，3，4]的循環(huán)卷積結(jié)果為：

循環(huán)卷積的應(yīng)用主要在離散傅里葉變換（DFT）中，在DFT中，兩個(gè)序列循環(huán)卷積的DFT等價(jià)于它們各自DFT變換的點(diǎn)乘，即：

循環(huán)卷積的主要意義在于，配合DFT進(jìn)行適當(dāng)時(shí)頻轉(zhuǎn)換，可以通過點(diǎn)乘來代替卷積運(yùn)算，降低分析難度和運(yùn)算量。

2.3 線性卷積和循環(huán)卷積的相互轉(zhuǎn)化

從上面的分析可知，一般情況下，序列（）和（）的線性卷積和循環(huán)卷積由于移位的規(guī)則不一樣，造成其輸出序列的長度及數(shù)值不同。但是如果將兩個(gè)序列分別先通過補(bǔ)零延長到X+H－1以上，得到（）和（），則：

只要適當(dāng)延長卷積操作的窗口，就可以利用循環(huán)卷積來計(jì)算線性卷積[7]。

3 應(yīng)用對比

OFDM的時(shí)域發(fā)送信號可以表示為：

式（8）中：n（）為第個(gè)OFDM符號中第個(gè)樣點(diǎn)的時(shí)域信號；為子載波數(shù)；n（）為第個(gè)OFDM符號中第個(gè)子載波上的頻域信號。

3.1 基于線性卷積的干擾分析

在濾波多載波的收發(fā)機(jī)中，收發(fā)兩端的濾波器以及多徑信道都可以建模為線性移不變系統(tǒng)，因此可以非常直觀地使用線性卷積對接收信號進(jìn)行建模。

時(shí)域發(fā)送信號經(jīng)過發(fā)送濾波、過多徑信道和接收濾波之后，干擾結(jié)構(gòu)如圖1所示。

注：LO為由發(fā)送濾波器、多徑信道及接收濾波器組成的等效信道he（k）的長度；LCP為CP的長度；LS為群延時(shí)的長度。

從圖1看出，會(huì)對第個(gè)符號n（）造成pre干擾的是第－1個(gè)符號n－1（）中的倒數(shù)個(gè)樣點(diǎn)，即n－1（），－（O－1－CP－S）≤≤－1。數(shù)據(jù)信號n－1（）、等效濾波器e（）、多徑信道（）三者線性卷積之后得到+O－1個(gè)樣點(diǎn)。直觀地用線性卷積對接收信號進(jìn)行建模：

由于發(fā)送濾波器、多徑信道、接收濾波器都可建模為線性移不變系統(tǒng)，是可以交換順序的。

不妨將發(fā)送濾波器和接收濾波器視為一個(gè)長度為的等效濾波器e（），原來的等效信道即為等效濾波器和多徑信道的卷積，即：

可以得到：

e（）中0≤≤－1，需要滿足：

不難發(fā)現(xiàn)，使用線性卷積分析干擾雖然理解上非常直觀，但是多個(gè)線性卷積在表示上會(huì)引起多層求和運(yùn)算，導(dǎo)致接收信號的表達(dá)式非常繁冗。

此外，加上多層求和運(yùn)算變量之間的高度耦合，會(huì)導(dǎo)致變量范圍界定困難，并造成干擾表達(dá)式被割裂為多個(gè)多項(xiàng)式之和的形式。

這些結(jié)果給后續(xù)的干擾方差計(jì)算帶來了非常大的難度，不利于干擾分析的推廣應(yīng)用。

3.2 基于循環(huán)卷積的干擾分析

為了將三者的線性卷積轉(zhuǎn)換為循環(huán)卷積，將三者各自的尾部補(bǔ)零至≥+O－1個(gè)樣點(diǎn)之后，pre干擾部分可以表示成下式：

對比式（9）和式（11）不難發(fā)現(xiàn)，使用循環(huán)卷積進(jìn)行干擾分析可以使干擾表達(dá)式更緊湊，避免了多重變量耦合和解析式分段，有利于后續(xù)的進(jìn)一步干擾分析。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提出方法的準(zhǔn)確性，本文使用蒙特卡洛方法進(jìn)行仿真，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

采樣率/MHz30.72 子帶寬度/kHz720 IDFT長度2 048 CP長度32 子載波分布位置148～195 調(diào)制階數(shù)4QAM 每幀中的Block數(shù)14 濾波器長度1 024 多徑信道Extended Pedestrian A model 均衡方法迫零均衡 蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)10 000

為了驗(yàn)證用循環(huán)卷積構(gòu)造出的干擾的準(zhǔn)確性，首先給出原始的頻域接收信號星座圖，如圖2所示。

圖2 原始接收信號星座圖

如圖2所示，原始的接收信號的星座點(diǎn)凌亂地散布在目標(biāo)星座點(diǎn)附近，這是因?yàn)樵跒V波多載波中，濾波器的長度大于CP長度，單純?nèi)コ鼵P的操作無法去除ISI等干擾。去除干擾后的接收信號星座如圖3所示。

圖3 去除干擾后的接收信號星座圖

如圖3所示，在去除式（11）重構(gòu)的干擾之后，剩余干擾被完全去除，完美恢復(fù)出了功率歸一化之后的發(fā)送信號。

進(jìn)一步地，對pre的仿真功率進(jìn)行驗(yàn)證，如圖4所示。

圖4 驗(yàn)證ISIpre的仿真功率

從圖4可以清楚地看出，pre功率的實(shí)際仿真和理論計(jì)算值非常貼近，這進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的基于循環(huán)卷積的干擾分析的可行性和準(zhǔn)確性。

5 總結(jié)

干擾分析是波形技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)性工作，對于后續(xù)的信道估計(jì)與均衡、同步估計(jì)與補(bǔ)償?shù)榷加兄苯拥年P(guān)系。

本文針對f-OFDM的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過延長時(shí)域觀察窗將循環(huán)卷積引入到干擾分析中。

從頻域關(guān)系出發(fā)，通過時(shí)頻轉(zhuǎn)化，將不同符號間的多種子干擾成功解耦，避免了傳統(tǒng)干擾分析方法中直接從時(shí)域出發(fā)，使用線性卷積進(jìn)行干擾建模，導(dǎo)致多個(gè)符號間各種子干擾耦合嚴(yán)重的問題。

從算法上看，本文提出的分析方法思路清晰，結(jié)構(gòu)簡單，非常便于后續(xù)的干擾方差推導(dǎo)等進(jìn)一步分析。

另外，本文算法的準(zhǔn)確性也得到了仿真驗(yàn)證，去除理論干擾后的接收信號得以完美恢復(fù)，根據(jù)理論計(jì)算的干擾功率曲線和仿真曲線也基本吻合，達(dá)到了設(shè)計(jì)預(yù)期目標(biāo)。

［1］FARHANG-BOROUJENY B，MORADI H.OFDM inspired waveforms for 5G［J］.IEEE Commun Surveys Tuts，2016，18（4）：2474-2492.

［2］DEMIR A F，ELKOURDI M，IBRAHIM M，et al.Waveform design for 5G and beyond［J］.In 5G Networks：Fundamental Requirements，2018（2）：51-76.

［3］ABDOLI J，JIA M，MA J.Filtered OFDM：a new waveform for future wireless systems［M］.Sweden：Stockholm，2015.

［4］VAKILIAN V，WILD T，SCHAICH F，et al.Universalfiltered multi-carrier technique for wireless systems beyond LTE［C］//Globecom Workshopsin Proc，2013.

［5］BOLCSKEIl H，DUHAMEL P，HLEISS R. Orthogonalization of OFDM/OQAM pulse shaping filters using the discrete Zak transform［J］.Signal Processing，2003，83（7）：1379-1391.

［6］ZHANG X，JIA M，CHEN L，et al.Filtered-OFDM-enabler for flexible waveform in the 5th generation cellular networks［C］//GLOBECOM 2015-2015 IEEE Global Communicationsins，2015.

［7］INGLE V K，PROAKIS J G.Digital Signal Processing using Matlab［J］.BeiJing：Cengage Learning Publisher，2011.

TN92

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.02.006

2095－6835（2020）02－0022－04

麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院青年基金項(xiàng)目“循環(huán)卷積在濾波多載波干擾分析中的應(yīng)用研究”（編號：LZYC201801）

〔編輯：嚴(yán)麗琴〕