孫震震，李玉光，王淑芬，楊 鐸，李富強(qiáng)

(大連大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連116622)

0 引 言

在減速器傳動(dòng)過(guò)程中，齒輪傳動(dòng)效率的高低直接影響著減速器的傳動(dòng)性能。目前，針對(duì)提高齒輪傳動(dòng)效率的優(yōu)化有大量研究，如耿智博[1]通過(guò)對(duì)齒輪載荷譜分析，優(yōu)化了齒輪模數(shù)和螺旋角，改善了振動(dòng)性能；李玉龍[2]通過(guò)基于齒輪最佳摩擦學(xué)性能優(yōu)選傳動(dòng)參數(shù)，提高了傳動(dòng)效率；宗長(zhǎng)富[3]以齒輪宏觀參數(shù)為變量，建立了降低振動(dòng)和減小質(zhì)量的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)優(yōu)化處理提高了傳動(dòng)效率；馮海生[4]研究了齒面摩擦對(duì)齒輪傳動(dòng)效率的影響關(guān)系；葛敏[5]通過(guò)對(duì)齒輪的微觀修形，降低了齒輪振動(dòng)與噪聲，間接改善了傳動(dòng)性能；付學(xué)忠[6]將齒輪的承載接觸分析與遺傳算法相結(jié)合優(yōu)化了小輪修形參數(shù)，減少了齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)與噪聲；王春華[7]基于改進(jìn)粒子群算法，以傳動(dòng)效率作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化，改進(jìn)了齒輪參數(shù)，提高了傳動(dòng)效率。

但是以上研究主要集中于固有齒輪上，對(duì)于立足于傳動(dòng)系統(tǒng)整體進(jìn)行的齒輪研究較少。

本文以減速器作為整體，通過(guò)分別優(yōu)化齒輪的宏觀參數(shù)與微觀參數(shù)，來(lái)減少齒輪嚙合功率損失，提升減速器的傳動(dòng)效率；首先運(yùn)用遺傳算法對(duì)齒輪的宏觀參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以此為基礎(chǔ)，運(yùn)用KRIGING算法，擬合出齒輪的微觀參數(shù)與齒輪嚙合功率損失的關(guān)系，在保證精度的前提下運(yùn)用EI準(zhǔn)則尋找最優(yōu)解，最終達(dá)到提升減速器傳動(dòng)效率的目的。

1 斜齒輪宏觀參數(shù)變量的優(yōu)化

本文以某一級(jí)減速器為例，如圖1所示。

圖1 一級(jí)減速器模型

第一次優(yōu)化目的主要是在降低齒輪體積的情況下，降低斜齒輪嚙合功率損失，需要先建立兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，然后線(xiàn)性加權(quán)轉(zhuǎn)換成一個(gè)新的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)是降低斜齒輪的嚙合功率損失；另一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)是在保證齒輪強(qiáng)度與耐久性的前提下，減輕齒輪的重量。

1.1 參數(shù)及范圍的確定

本研究對(duì)斜齒輪較有獨(dú)立性的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如模數(shù)mn、螺旋角β、壓力角an、齒數(shù)z進(jìn)行優(yōu)化。其范圍變化分別為：

2.5≤mn≤3.5,11°≤β≤13°,18°≤an≤25°。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

1.2.1 斜齒輪的嚙合功率損失

斜齒輪的嚙合功率損失主要由滑動(dòng)摩擦功率損失和滾動(dòng)摩擦功率損失組成，其中，滑動(dòng)摩擦功率損失占主要部分[8]，所以斜齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失可為目標(biāo)函數(shù)一。

由文獻(xiàn)[9]可知，斜齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失為：

(1)

(2)

(3)

式中：p—滑動(dòng)摩擦功率損失；Fn—齒面法向載荷；f—嚙合摩擦系數(shù)，此處混合狀態(tài)下取0.04；mt—端面模數(shù)；i—齒輪傳動(dòng)比。

同時(shí)有：α≤ε∑。其中：ε∑—重合度；α—取小于等于ε∑的正整數(shù)。

1.2.2 斜齒輪的總體積

由立體幾何知識(shí)可得，斜齒輪的總體積函數(shù)為：

(4)

為了使這兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)相互關(guān)聯(lián)，本研究通過(guò)加權(quán)的方式，使兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。其加權(quán)系數(shù)W1、W2分別表示為：

(5)

(6)

式中：Pmin—單目標(biāo)最小滑動(dòng)摩擦功率損失；Vmin—單目標(biāo)最小體積。

通過(guò)線(xiàn)性加權(quán)處理后，得到的優(yōu)化目標(biāo)為：

g=W1P+W2V

(7)

1.3 約束條件

(1)中心距約束：

(8)

(2)最小變位系數(shù)x約束：

x

(9)

式中：xmin—不發(fā)生根切時(shí)的最小變位系數(shù)。

齒輪速比約束為：

(10)

(3)重合度ε∑約束：

εα+εβ≥ε∑

(11)

式中：εα—端面重合度；εβ—軸向重合度。

(4)強(qiáng)度與耐久性約束：

斜齒輪的失效形式主要為齒根斷裂和齒面點(diǎn)蝕，需分別約束齒根彎曲強(qiáng)度與接觸疲勞強(qiáng)度。根據(jù)文獻(xiàn)[10]，可計(jì)算出符合要求的參數(shù)。

1.4 優(yōu)化方法及結(jié)果

遺傳算法是計(jì)算機(jī)對(duì)生物系統(tǒng)進(jìn)行模擬的一種算法，其通過(guò)交叉、變異、選擇等選出最優(yōu)解。本次優(yōu)化通過(guò)遺傳算法求解。

優(yōu)化后斜齒輪宏觀變量參數(shù)優(yōu)化前后對(duì)比如表1所示。

表1 斜齒輪宏觀變量參數(shù)優(yōu)化前后對(duì)比

借助ROMAX軟件，仿真數(shù)據(jù)顯示斜齒輪嚙合功率損失為85 W，降低了33.3%；同時(shí)，斜齒輪質(zhì)量降低了0.058%，減速器的傳動(dòng)效率由98.4%提升到98.6%。

2 KRIGING模型及增點(diǎn)準(zhǔn)則

齒輪微觀參數(shù)與齒輪嚙合功率的損失之間是一種非線(xiàn)性關(guān)系，難以從理論上給出具體的解析式。為解決該問(wèn)題，本文運(yùn)用KRIGING算法，擬合齒輪微觀參數(shù)對(duì)齒輪嚙合功率的損失之間的關(guān)系，并求出最優(yōu)解。

故筆者先運(yùn)用均方誤差(MSE)準(zhǔn)則，來(lái)提高代理模型的精度，根據(jù)滿(mǎn)足精度要求的代理模型，來(lái)判斷齒輪微觀參數(shù)對(duì)齒輪嚙合功率的損失之間的關(guān)系，而后用期望改善(EI)準(zhǔn)則來(lái)尋求最優(yōu)解。

2.1 KRIGING模型的基本原理

KRIGING是一種半?yún)?shù)化的擬合方法，包含參數(shù)化模型與非參數(shù)化模型，因此更具靈活性，可以通過(guò)已知信息來(lái)推導(dǎo)某點(diǎn)的未知信息。

給定m個(gè)參考點(diǎn)，其通式表達(dá)式為[11]：

(12)

式中：X—單一樣本點(diǎn)列向量；φ—線(xiàn)性回歸系數(shù)；f(X)—響應(yīng)的數(shù)學(xué)期望；z(X)—被視作隨機(jī)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)。

此處參數(shù)化模型部分選擇二次函數(shù)模型，故有：

(13)

式中：n—參數(shù)數(shù)量。

任意兩樣本點(diǎn)滿(mǎn)足：

cov[z(Xi),z(Xj)]=σ2R[R(Xi,Xj)],i,j=1,…,m

(14)

式中：R(Xi,Xj)—任意兩點(diǎn)間的空間相關(guān)函數(shù)。

相關(guān)函數(shù)模型常用的理論模型有3種，分別為：球形模型、高斯模型和指數(shù)模型。空間相關(guān)函數(shù)控制著KRIGING模型擬合的準(zhǔn)確性，因?yàn)楦咚鼓Ｐ涂梢悦枋龈叨冗B續(xù)的區(qū)域變量，且具有較好的精確性。

此處空間相關(guān)函數(shù)選擇高斯模型，其通常表達(dá)式為：

(15)

式中：θk—參數(shù)。

經(jīng)擬合值的最小化誤差均方差與無(wú)偏估計(jì)，擬合表達(dá)式可轉(zhuǎn)換為目標(biāo)函數(shù)：

(16)

式中：rT(X)—含自變量的矩陣。

rT(X)={R(X,x1),R(X,x2),…,R(X,xn)}

(17)

(18)

φ=(FTR-1F)-1FTR-1F

(19)

(20)

(21)

式中：Y—樣本點(diǎn)的響應(yīng)值列陣。

預(yù)測(cè)點(diǎn)處均方誤差(MSE)為：

(22)

式中：u=FTR-1r-f。

2.2 EI準(zhǔn)則

EI是EGO(efficient global optimization)算法的核心，用來(lái)權(quán)衡局部搜索和全局搜索，但是往往忽略模型整體的精度，所以在運(yùn)用MSE準(zhǔn)則提高模型精度的前提下，運(yùn)用EI準(zhǔn)則對(duì)模型尋優(yōu)。

記fmin=minY為當(dāng)前樣本點(diǎn)響應(yīng)值的最小值，則任意點(diǎn)X處改善I為：

(23)

期望改善EI為：

(24)

(25)

式中：φ(·)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù);σ(X)—點(diǎn)X處的預(yù)測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差;φ(·)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)[12]。

2.3 模型優(yōu)化尋優(yōu)流程

本文依據(jù)MSE準(zhǔn)則，來(lái)提高DACE中KRIGING代理模型的精度；當(dāng)MSE達(dá)到一定收斂條件時(shí)，再用EI準(zhǔn)則來(lái)尋優(yōu)得最優(yōu)解。

其具體步驟為：

Step1。通過(guò)拉丁超立方抽樣方法在樣本點(diǎn)空間選取初始樣本，通常樣本點(diǎn)數(shù)為變量維度的10倍；

Step2。根據(jù)樣本點(diǎn)及其響應(yīng)值構(gòu)建KRIGING模型；

Step3。對(duì)不同維變量進(jìn)行格網(wǎng)劃分，并根據(jù)KRIGING模型預(yù)測(cè)格網(wǎng)劃分后點(diǎn)的響應(yīng)值；

Step4。判斷該模型預(yù)測(cè)點(diǎn)的max(MSE)是否滿(mǎn)足要求。若不滿(mǎn)足，則確定max(MSE)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)，記錄該點(diǎn)并以該點(diǎn)及其響應(yīng)值作為一個(gè)新的樣本點(diǎn)，然后重復(fù)Step2；若滿(mǎn)足要求，則進(jìn)行EI收斂判斷；

Step5。若EI收斂，則輸出最優(yōu)解；若EI不收斂，則確定max(EI)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)，記錄該點(diǎn)并以該點(diǎn)及其響應(yīng)值作為一個(gè)新的樣本點(diǎn)，然后重復(fù)Step2，直至達(dá)到收斂條件。

3 斜齒輪微觀參數(shù)的優(yōu)化

3.1 變量及范圍的確定

由式(1)可以看出，齒面接觸情況影響著斜齒輪嚙合功率。輪齒修形是改善齒面接觸情況的一種措施，因此，可把齒向修形和齒廓修形確定為斜齒輪微觀變量參數(shù)，齒向修形和齒廓修形均采用鼓形修形。

為簡(jiǎn)化優(yōu)化過(guò)程，本次微觀參數(shù)優(yōu)化的對(duì)象為小齒輪輪齒修形。ROMAX軟件仿真顯示，優(yōu)化后減速器斜齒輪的嚙合錯(cuò)位峰值為1.95 μm，故初定齒輪齒向鼓形修形為1.95 μm。

齒廓鼓形修形量σa可由下列公式計(jì)算[13]：

(26)

式中：ω1—單位長(zhǎng)度載荷;Cy—平均嚙合剛度。

通過(guò)計(jì)算可得σa為4.55 μm。以上述輪齒修形初定量為基準(zhǔn)值，在其上下3倍標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間內(nèi)尋優(yōu)。

標(biāo)準(zhǔn)差公式可近似由下列公式計(jì)算：

(27)

式中：Fp—齒距累積總公差。

(28)

式中：d—齒輪分度圓直徑。

計(jì)算得σ=3.29 μm。

3.2 目標(biāo)函數(shù)

輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間是一種非線(xiàn)性關(guān)系，理論上難以給出其解析表達(dá)。為了更好地解決此問(wèn)題，本文運(yùn)用KRIGING這一具有“統(tǒng)計(jì)性”的近似技術(shù)，來(lái)數(shù)值模擬輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間的關(guān)系。故此處筆者以式(16)作為目標(biāo)函數(shù)。

3.3 約束條件

由上文可知：

-7.92≤x2≤11.82,-6.32≤x2≤13.42

本次優(yōu)化可簡(jiǎn)寫(xiě)為：

s.t.-7.92≤x1≤11.82，-6.32≤x2≤13.42。

3.4 優(yōu)化方法及結(jié)果

本文中輪齒修形參數(shù)為齒向修形與齒廓修形，故n=2。通過(guò)拉丁超立方抽樣方法，選取10個(gè)樣本點(diǎn)。精確度要求為：max(MSE)<1，max(EI)<10-6。

在Matlab上，本研究編寫(xiě)相應(yīng)優(yōu)化程序，然后根據(jù)樣本點(diǎn)擬合模型。

選取的10個(gè)樣本點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值如表2所示。

表2 樣本點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值

經(jīng)過(guò)10次迭代后結(jié)束，擬合出KRIGING模型預(yù)測(cè)點(diǎn)的均方誤差如圖2所示。

圖2 KRIGING模型預(yù)測(cè)點(diǎn)的均方誤差曲面圖

由圖2可知，在整個(gè)尋優(yōu)區(qū)域內(nèi)，KRIGING模型預(yù)測(cè)均方誤差在0.5以下。

采用KRIGING模型，擬合出的輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關(guān)系如圖3所示。

圖3 輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關(guān)系擬合曲面圖

由圖3可知：

(1)在一定的誤差條件下，斜齒輪嚙合功率損失在所取輪齒修形范圍內(nèi)，隨齒廓鼓形修形量的增大而減??；

(2)同一齒廓鼓形修形量下，齒向鼓形修形量越趨近與零，斜齒輪嚙合功率損失越??；

(3)斜齒輪擬合功率損失的響應(yīng)值對(duì)齒廓修形的敏感度大于對(duì)齒向修形的敏感度。

根據(jù)式(16)，以斜齒輪嚙合功率損失最小為優(yōu)化目標(biāo)，在尋優(yōu)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)，其結(jié)果為：x1=0 μm、x2=13.42 μm；此時(shí)，減速器傳動(dòng)效率為98.8%。

從圖3還可知，輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間的關(guān)系具有一定的趨勢(shì)，所以為了得到更好地優(yōu)化參數(shù)，可以對(duì)輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失的關(guān)系再次進(jìn)行擬合。

根據(jù)圖3顯示的輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間的趨勢(shì)，此次設(shè)定變量?jī)?yōu)化范圍為：-6 μm≤x1≤6 μm、10 μm≤x2≤70 μm。

根據(jù)上述抽樣方法，筆者抽取20樣本點(diǎn)及其響應(yīng)值如表3所示。

表3 樣本點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值

再擬合精度要求和前次擬合中精度要求一樣。經(jīng)過(guò)5次迭代后結(jié)束，擬合出的輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關(guān)系如圖4所示。

圖4 輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關(guān)系的擬合圖

由圖4可知：輪齒修形量與斜齒輪嚙合功率損失的關(guān)系和圖3顯示的一樣，但預(yù)測(cè)值隨著齒廓修形量的增大逐漸收斂。

接下來(lái)仍以斜齒輪嚙合功率損失最小為優(yōu)化目標(biāo)，在尋優(yōu)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)，其結(jié)果顯示：x1=0.424 2 μm，x2=70 μm。

輪齒修形量如圖5所示。

圖5 輪齒修形曲面

此時(shí)，最優(yōu)解為27.85 W。輸入優(yōu)化后的齒輪修形量，ROMAX仿真數(shù)據(jù)顯示，齒輪嚙合功率損失大小為27.9 W，與預(yù)測(cè)點(diǎn)處的誤差僅為0.179%；減速器傳動(dòng)效率為98.9%，整體傳動(dòng)效率又提高了0.3%。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者運(yùn)用遺傳算法對(duì)齒輪的宏觀參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，運(yùn)用KRIGING算法，擬合出齒輪的微觀參數(shù)與齒輪嚙合功率損失的關(guān)系，在保證精度的前提下運(yùn)用EI準(zhǔn)則尋找最優(yōu)解，減速器的傳動(dòng)效率提高了0.2%，斜齒輪的質(zhì)量減輕了0.056%。

本研究利用KRIGING算法，及MSE和EI增點(diǎn)準(zhǔn)則擬合輪齒修形參數(shù)與斜齒輪嚙合功率損失之間的關(guān)系，并進(jìn)行了微觀參數(shù)尋優(yōu)，得到了最優(yōu)結(jié)果，減速器的傳動(dòng)效率又提升了0.3%。

經(jīng)兩次優(yōu)化后，減速器傳動(dòng)效率由98.4%提升至98.9%，總共提升了0.5%,驗(yàn)證了這種優(yōu)化方法的可行性；同時(shí)，該方法可為以后全面提升減速器的傳動(dòng)效率作參考。