朱達偉, 周金宇, 莊百亮

(1.江蘇理工學(xué)院 機械工程學(xué)院， 江蘇 常州 213001；2.金陵科技學(xué)院 機電工程學(xué)院， 江蘇 南京 211169；3.機械科學(xué)研究總院江蘇分院有限公司， 江蘇 常州 213001)

0 引言

隨著結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域研究的不斷發(fā)展，傳統(tǒng)確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計由于未考慮到實際工程應(yīng)用中諸多不確定因素，該類設(shè)計方法正逐漸被結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(RBDO)方法取代。目前，結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化領(lǐng)域的研究方法主要分為3大類：雙循環(huán)法、單循環(huán)法、解耦法。

雙循環(huán)法的外層是一個傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化問題，在約束條件下使目標函數(shù)值最小，而內(nèi)層的可靠性分析同樣是一個在外層優(yōu)化要求概率約束評價時進行的優(yōu)化問題[1],內(nèi)層可靠性分析步驟常采用的典型方法有可靠指標法[2]和功能度量法[3]。雙循環(huán)法具有概念清晰、求解簡單及穩(wěn)定性高的優(yōu)點，但由于工程問題越來越復(fù)雜，此類方法存在計算量龐大、效率低下等缺點，已不能滿足實際工程需求。2018年，Hao等[4]基于等幾何分析建立了一個高效準確的RBDO框架，用于解決復(fù)雜的工程問題。此外，為了提高RBDO的效率，提出了增強步長調(diào)整迭代算法和基于2階可靠性分析的逐步增強順序優(yōu)化與可靠性評估方法。單循環(huán)優(yōu)化方法依據(jù)約束的KKT條件重新構(gòu)建可靠性優(yōu)化模型，將概率約束近似等價為確定性約束，可極大提升優(yōu)化效率。常用的單循環(huán)優(yōu)化方法主要有：單循環(huán)單向量法[5]、基于性能測度法的RBDO單回路優(yōu)化方法(SLA)[6]和基于響應(yīng)面的單循環(huán)法[7]。單循環(huán)優(yōu)化策略雖然大幅度提升了計算效率，但由于使用了近似等效的概率約束，求解精度難以得到保障。為了在保證求解精度的同時提高工程問題的求解效率，大量學(xué)者專注于結(jié)構(gòu)優(yōu)化與可靠性分析問題的解耦研究。Du等[8]提出了序列優(yōu)化與可靠性評估(SORA)方法；程耿東等[9]提出序列近似規(guī)劃算法；Zou等[10]提出了一種高效的直接解耦方法；Chen等[11]提出了自適應(yīng)解耦方法；Torii等[12]提出一種適用于不同可靠性分析方法的RBDO解耦策略；袁修開等[13]提出一種基于靈敏度的解耦方法。解耦法雖極大程度地提高了優(yōu)化效率，尤其是SORA方法被認為是最具有發(fā)展?jié)摿Φ膬?yōu)化算法。但由于1階可靠性法(FORM)、2階可靠性法(SORM)等傳統(tǒng)可靠性分析方法的固有局限，優(yōu)化求解的精度問題依然普遍存在。同時，此類方法在解決功能函數(shù)為高度非線性問題時，優(yōu)化結(jié)果可能會出現(xiàn)周期性振蕩、混沌以及不收斂現(xiàn)象。

針對上述研究存在的問題，本文引入通用生成函數(shù)(UGF)，提出一種基于通用生成函數(shù)的序列優(yōu)化與可靠性評估(UGF-SORA)方法。解決了由于FORM導(dǎo)致的優(yōu)化精度低問題，以及解決了功能函數(shù)為高度非線性時優(yōu)化結(jié)果無法收斂問題，可在保證優(yōu)化效率的同時顯著提升優(yōu)化精度。

需要指出的是，本文所提UGF-SORA算法，由于將UGF法引入可靠性分析環(huán)節(jié)，在原理上，避開了隨機變量的正態(tài)假設(shè)和功能函數(shù)的線性假設(shè)，采用離散化狀態(tài)枚舉，當(dāng)離散步長足夠小時可達到較高的計算精度。但伴隨隨機變量的離散化狀態(tài)變多，UGF復(fù)合運算的計算量必然龐大，從而導(dǎo)致優(yōu)化效率降低。研究表明，通過合并同類項或K均值聚類等操作有望解決優(yōu)化效率降低的問題。

1 基于SORA的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化的目的在于保證結(jié)構(gòu)可靠性的前提下最小化目標函數(shù)，通?；诳煽啃缘慕Y(jié)構(gòu)優(yōu)化模型可表述為

(1)

(2)

正如模型(1)式和(2)式所示，可靠性優(yōu)化問題是一類包含可靠性分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化的雙環(huán)嵌套問題，每次外層優(yōu)化均伴隨內(nèi)層的可靠性分析。SORA方法將可靠性優(yōu)化問題解耦，使得結(jié)構(gòu)優(yōu)化與可靠性分析的求解依次進行，極大減少了計算量。其優(yōu)化模型表述為

(3)

(4)

(5)

式中：XMPP為真實物理空間的最小功能目標點；uMPP為標準正態(tài)空間中的最小功能目標點；T表示逆變換。

由于可靠指標的求解在標準正態(tài)空間中進行，所以需要將不服從標準正態(tài)分布的隨機向量X轉(zhuǎn)化為服從標準正態(tài)分布的隨機向量u. (5)式中XMPP由標準正態(tài)空間中的最小功能目標點uMPP進行逆變換T得到。uMPP可通過以下模型求解：

(6)

式中：βt為許可可靠度指標。

圖1 SORA優(yōu)化原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of SORA optimization

SORA方法雖極大提高了優(yōu)化效率，但可靠性分析環(huán)節(jié)通常由逆可靠性分析方法完成，對于一些隨機變量類型為非高斯或離散型的問題，逆可靠性分析方法帶來精度降低的問題不可避免，同時優(yōu)化結(jié)果會出現(xiàn)混沌、震蕩及不收斂現(xiàn)象。

2 基于UGF的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

1986年，USHAKOV[14]首次提出了UGF的概念。目前，基于UGF的可靠性研究主要集中在多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性方面，對于在結(jié)構(gòu)可靠性分析方面的研究尚少。主要是由于UGF研究對象多為離散型隨機變量，而大部分機械結(jié)構(gòu)分析所用的隨機變量多用連續(xù)概率分布函數(shù)來表述[15]。本節(jié)闡述了利用UGF方法進行結(jié)構(gòu)可靠性分析的原理。

2.1 隨機變量的UGF

2.1.1 離散型隨機變量UGF

設(shè)Xi(i=1,2,…,n)為離散型隨機變量，其可能取值記為(xi1,xi2,…,xim)，相應(yīng)的取值概率分別記為(pi1,pi2,…,pim). 可根據(jù)已知信息直接定義隨機變量Xi的UGF如下：

(7)

式中：UXi(z)為隨機變量Xi的UGF；xij為第i個隨機變量的第j個狀態(tài)值；pij為對應(yīng)狀態(tài)值的取值概率；n為隨機變量個數(shù) ；m為離散狀態(tài)總數(shù)。

2.1.2 連續(xù)型隨機變量UGF

在建立連續(xù)型隨機變量UGF時，由于UGF是針對離散變量的，因此須將連續(xù)型隨機變量離散化。設(shè)有n個連續(xù)型隨機變量Xi(i=1,2,…,n)，各變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為Fi(x)和fi(x). 將變量Xi離散為m個點，根據(jù)失效概率的求解公式可以得到各離散點xij對應(yīng)的取值概率pij為

(8)

因此，可以定義連續(xù)型隨機變量Xi的UGF為

(9)

2.2 多元隨機變量可靠性分析的UGF法

設(shè)有連續(xù)型隨機變量X1和X2，需對其進行離散化。由離散化思想可得隨機變量的狀態(tài)值及其對應(yīng)的取值概率分別為{(x11,p11),(x12,p12),…,(x1m,p1m)}和{(x21,p21),(x22,p22),…,(x2m,p2m)}. 進行結(jié)構(gòu)可靠性分析時，通常用功能函數(shù)來描述隨機變量和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。在UGF中，常用性能結(jié)構(gòu)函數(shù)Φ來描述系統(tǒng)各單元與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。需要指出的是，將UGF法用于結(jié)構(gòu)可靠性分析時，性能結(jié)構(gòu)函數(shù)即為功能函數(shù)。類比功能函數(shù)與結(jié)構(gòu)可靠性之間的關(guān)系可知：當(dāng)性能結(jié)構(gòu)函數(shù)小于等于0時，結(jié)構(gòu)失效；當(dāng)其大于0時，結(jié)構(gòu)可靠。將隨機變量的UGF分為狀態(tài)項和概率項，不同隨機變量的狀態(tài)項之間視情況根據(jù)結(jié)構(gòu)函數(shù)Φ進行隨機組合，可定義結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的UGF為UΦ(z)，表達式如下：

(10)

式中：?為復(fù)合算子，用來描述不同UGF之間的運算規(guī)則；多項式的指數(shù)項為各級結(jié)構(gòu)函數(shù)所處的狀態(tài)，稱為狀態(tài)項；多項式的系數(shù)項為結(jié)構(gòu)處于某種狀態(tài)的概率值，稱為概率項。

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的UGF蘊含著必要的性能概率分布信息，可用來計算各類可靠性指標[15]。設(shè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的UGF為

(11)

對該UGF的系數(shù)項在一定條件下進行求和，即可得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度，如下式所示：

(12)

式中：δ(·)為條件求和算子；y為結(jié)構(gòu)可靠和失效兩種狀態(tài)的臨界值；C(xi-y)為事件的示性函數(shù)，當(dāng)xi>y時，值為1，否則值為0.

若隨機變量個數(shù)較多，在進行UGF復(fù)合運算時可能導(dǎo)致運算復(fù)雜、計算量急劇增大。通常，不同隨機變量的狀態(tài)值會存在xi≈xj情況。此時可將對應(yīng)的pizxi和pjzxj視為同類項，并進行合并同類項操作。將兩項合并為(pi+pj)zxi. 一般地，由于結(jié)構(gòu)函數(shù)具有遞推性、可分性和互換性，使用UGF法進行可靠性分析時可實現(xiàn)隨機信息從細觀向宏觀的跨尺度精確傳遞，且能避免由于忽略非正態(tài)性而導(dǎo)致的分析誤差。同時結(jié)合合并同類項操作，有望在確保分析精度的條件下大規(guī)?？s減計算量[16]。

3 基于UGF-SORA的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法

基于UGF-SORA的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法是將UGF與傳統(tǒng)的SORA算法相結(jié)合，利用與SORA算法具有相同物理意義的偏移向量s來改變確定性約束邊界，以保證最小功能目標點落在可行域內(nèi)。所提方法將傳統(tǒng)嵌套優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列確定性優(yōu)化和可靠性分析順序執(zhí)行的序列優(yōu)化問題，從而實現(xiàn)解耦。該方法分為3個環(huán)節(jié)來求解結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化問題。

3.1 偏移向量的定義與更新策略

由SORA算法可以發(fā)現(xiàn)，每次偏移向量s迭代運算后，可得到當(dāng)前優(yōu)化設(shè)計向量d，通過可靠性分析環(huán)節(jié)進一步得到該設(shè)計點對應(yīng)的可靠度指標β. 即可得到如下映射關(guān)系：

s→d,

(13)

d→β.

(14)

結(jié)合(13)式和(14)式可知，偏移向量s與結(jié)構(gòu)可靠度指標β存在映射關(guān)系。因此可定義偏移向量s和可靠度指標β之間的函數(shù)關(guān)系式J，將函數(shù)J稱為偏移函數(shù)，如(15)式所示：

β=J(s),

(15)

式中的偏移向量s為一系列未知數(shù)據(jù)，為得到該數(shù)據(jù)，可建立一種偏移向量更新策略。其數(shù)學(xué)模型如下式所示：

finds,

(16)

min|βt-J(s)|,

(17)

s.t.βt-J(s)≤0.

(18)

該策略為一確定性優(yōu)化問題，將s作為設(shè)計向量，使得擬合所得的近似可靠度指標J(s)逼近許可靠度指標βt，并保證J(s)≥βt. (16)式～(18)式可通過序列二次規(guī)劃等確定性優(yōu)化算法求解。

3.2 偏移函數(shù)J的擬合

由于J為隱式函數(shù)，可考慮使用多項式構(gòu)造響應(yīng)面來近似該隱式函數(shù)，通過合理選取試驗點和迭代策略，可以保證多項式函數(shù)能夠在概率上收斂于真實的隱式函數(shù)[17-18]。由于不含交叉項的一次和二次響應(yīng)面結(jié)構(gòu)簡單、運算量小、精度相對較高而被廣泛應(yīng)用，其表達式為

(19)

(20)

首先需要確定n+1個初始偏移向量組的各分量，本文采用下列模型獲取初始偏移向量組的各分量[19]：

(21)

式中：μXi為隨機變量Xi的均值；α為滿足一定求解規(guī)律的特定系數(shù)，其取值尚無學(xué)者提出標準的確定方式，Bucher等[20]指出其值在±1倍隨機變量變異系數(shù)區(qū)間內(nèi)時較為合理。

得到初始偏移向量組后，分別根據(jù)各分量進行確定性優(yōu)化求解，得到各偏移向量對應(yīng)的設(shè)計點。針對每個設(shè)計點，通過UGF法完成對應(yīng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析，得到相應(yīng)的可靠度指標，即可確定s(0)與β(0)數(shù)據(jù)對。

確定s(0)和β(0)后，利用最小二乘法求解待定系數(shù)，擬合可靠度指標的線性近似值與其偏移向量之間的函數(shù)關(guān)系式。得到初始偏移函數(shù)J0(s)后，通過(16)式～(18)式求解新偏移向量，并求得該偏移向量對應(yīng)的可靠度指標。下次循環(huán)時，將新偏移向量和新可靠度指標合并到初始偏移向量組s(0)和初始可靠度指標組β(0)中，構(gòu)成n+2個偏移向量以及可靠度指標。此時，利用n+2對數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法重新擬合偏移函數(shù)。

3.3 確定性優(yōu)化求解與可靠性評估

在得到初始偏移函數(shù)后，根據(jù)(3)式和(4)式進行確定性優(yōu)化求解，并且通過UGF方法進行可靠性分析，計算此時的結(jié)構(gòu)可靠度指標。若不滿足相關(guān)約束要求，需更新偏移函數(shù)并再次進行偏移向量的優(yōu)化求解。

該方法的求解步驟如下：

步驟2通過(16)式～(18)式求解偏移向量；

步驟3通過(3)式和(4)式進行確定性優(yōu)化求解，得到偏移向量對應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計向量(d1,d2,…,dn)；

步驟4根據(jù)已有數(shù)據(jù)，使用UGF法進行可靠性分析，得到該設(shè)計點對應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠度指標；

步驟5根據(jù)(19)式或(20)式，利用最小二乘法重新構(gòu)建偏移函數(shù)J(s)；

步驟6判斷該設(shè)計點對應(yīng)的可靠度指標是否滿足許可可靠度指標要求并收斂。若滿足，則該點即為最優(yōu)設(shè)計向量；若不滿足，則重復(fù)步驟2～步驟6.

基于UGF-SORA法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程圖如圖2所示。

圖2 基于UGF-SORA法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程圖Fig.2 Flow chart of structural reliability optimization based on UGF-SORA method

4 算例分析及討論

本節(jié)通過不同類別的數(shù)值算例證實了所提方法相對于現(xiàn)有算法的優(yōu)越性。由于算法的優(yōu)化精度主要體現(xiàn)在優(yōu)化結(jié)果的可靠度指標上，所以可利用目標設(shè)計點處的可靠度指標與許可可靠度指標之間的相對誤差ε來比較不同算法的優(yōu)化精度，ε的計算公式為

(22)

式中：βMCS為使用蒙特卡羅模擬(MCS)法(模擬次數(shù)取106)在設(shè)計點處對結(jié)構(gòu)進行可靠性分析時，各設(shè)計點對應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠度指標。

算例求解時，確定性優(yōu)化問題均使用優(yōu)化軟件包FMINCON解決，其中迭代的收斂準則設(shè)置為：相鄰兩次迭代目標函數(shù)值之間的相對誤差小于10-6. 可靠性分析求解的收斂準則設(shè)置為：相鄰兩次求解所得可靠度指標值之間的相對誤差小于10-3.

4.1 算例1

該算例有兩個隨機變量，且均服從正態(tài)分布，是一個功能函數(shù)為低階非線性的簡單可靠性優(yōu)化問題。其數(shù)學(xué)模型為

(23)

該算例使用本文所提方法進行計算時，確定性優(yōu)化求解均使用序列二次規(guī)劃(SQP)算法，迭代過程見表1. 同時，使用其他結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化算法的結(jié)果在表2中列出，用以分析比較。需要指出的是，表中所得數(shù)據(jù)結(jié)果都是在MATLAB R2016a軟件中編程求解到，所使用機器為3.3 GHz處理器和4 GB內(nèi)存的計算機。

此算例中，使用了基于HL-RF法、改進均值法(AMV)的雙循環(huán)優(yōu)化算法、屬于單循環(huán)法的SLA算法以及屬于解耦法的SORA算法與本文所提算法進行比較。由表2可以得知，傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法眾多，其優(yōu)缺點也各異。在實際工程應(yīng)用中，設(shè)計點的可靠度指標越接近許可可靠指標越好，其既滿足了結(jié)構(gòu)的使用需求，又減少了由于可靠性過高帶來的額外設(shè)計成本。本文通過(22)式的相對誤差ε來體現(xiàn)優(yōu)化結(jié)果的可靠度指標是否接近許可可靠度指標。對比表2中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，本文所提UGF-SORA法優(yōu)化結(jié)果的ε遠遠小于其他算法，說明該方法的優(yōu)化精度顯然高于其他優(yōu)化算法。

表1 UGF-SORA方法迭代過程Tab.1 Iterative process of UGF-SORA method

表2 算例1不同結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法優(yōu)化 結(jié)果對比Tab.2 Comparison of optimized results of reliability optimization methods for different structures in Example 1

從表1中可以看出，收斂解處的可靠度指標為2.002 3，該值十分接近表2中使用MCS方法進行可靠性分析所得值2.008 0，但使用MCS法進行一次可靠性分析就需要106次模擬次數(shù)。由此可見，得到同樣高精度的可靠度指標情況下，基于UGF法進行可靠性分析的效率明顯高于MCS法。同時，結(jié)合合并同類項操作的UGF-SORA算法所需調(diào)用功能函數(shù)的次數(shù)為378，相較表中所列其他傳統(tǒng)算法，其優(yōu)化效率較低，但在可接受范圍內(nèi)。

4.2 算例2

該算例有兩個隨機變量，且均服從正態(tài)分布，但功能函數(shù)為高度非線性。其數(shù)學(xué)模型為

(24)

表3 算例2不同結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果對比Tab.3 Comparison of optimized results of reliability optimization methods for different structures in Example 2

由表3中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，對于功能函數(shù)為高度非線性的優(yōu)化問題，大部分算法如AMV算法、SLA算法、SORA算法均無法得到收斂解。而本文所提方法，可靠性分析環(huán)節(jié)由UGF法完成，可以良好地解決此類問題。同時，與基于HL-RF算法的雙循環(huán)法相比，UGF-SORA算法效率較低，但優(yōu)化結(jié)果的相對誤差遠遠小于HL-RF算法，顯然所提算法具有較高計算精度。

4.3 算例3

該算例是功能函數(shù)為非線性的可靠性優(yōu)化問題，有3個隨機變量，并且其中一個變量服從非正態(tài)分布。其數(shù)學(xué)模型為

(25)

進行可靠性分析時，由于計算量龐大， 使用UGF法進行可靠性分析環(huán)節(jié)會選擇引入合并同類項操作來提高效率，傳統(tǒng)算法以及所提算法的優(yōu)化結(jié)果在表4中列出。

表4 算例3不同算法優(yōu)化結(jié)果對比Tab.4 Comparison of optimized results of different algorithms in Example 3

表4中數(shù)據(jù)表明，在使用合并同類項時，可靠性計算精度下降不會太多，在可接受范圍內(nèi)，并且兩種方法優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的相對誤差也較為接近，但優(yōu)化效率得到極大提高。因此，使用UGF法進行可靠性分析時可考慮加入合并同類項操作來提高求解效率，該操作僅會帶來精度上較小的損失。對比傳統(tǒng)算法可以發(fā)現(xiàn)，所提算法具有良好的收斂性能以及較高的求解精度，但其存在優(yōu)化效率低的問題。雖然合并同類項操作的引入在一定程度上提高了求解速度，但如何提升優(yōu)化效率依舊是值得深入研究的話題。

5 結(jié)論

本文提出了一種結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化的UGF-SORA方法，該算法從傳統(tǒng)SORA方法的偏移向量出發(fā)，重新建立了SORA模型，引入UGF法進行可靠性分析和評估，并采用最小二乘法完成偏移向量的更新。通過數(shù)值算例分析，可得出如下結(jié)論：

1)相對于現(xiàn)有典型的基于HL-RF算法、AMV的雙循環(huán)算法、SLA算法、SORA算法等，所提方法可以在保證一定優(yōu)化效率的同時得到較高精度的優(yōu)化解。

2)當(dāng)實際問題隨機變量為非正態(tài)，功能函數(shù)為高度非線性時，優(yōu)化結(jié)果可能會出現(xiàn)精度低或不收斂等現(xiàn)象?；赨GF的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法不受隨機變量和功能函數(shù)類型影響，所提方法為此類問題提供了新的求解策略。

3)成本和精度是一對相互制約的矛盾，在傳統(tǒng)方法精度失控的情況下，通過增加可控的成本獲得較高的精度，是理性而有效的措施。