陳笑楠，張慧梅

(西安科技大學(xué)力學(xué)系，陜西 西安 710054)

0 引言

順層邊坡巖體結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性主要表現(xiàn)為邊坡離層段的潰屈和坡腳處的剪切滑動(dòng)[1-2]。應(yīng)用初始后屈曲理論和突變理論研究邊坡巖體的后屈曲性態(tài)，其實(shí)本質(zhì)是探討巖體可能出現(xiàn)的平衡形式的突變和失效形式的演化[2-5]。邊坡巖體結(jié)構(gòu)的屈曲屬于幾何非線性問題，屈曲是失穩(wěn)范疇的失效，應(yīng)采用二階分析方法研究。邊坡巖體結(jié)構(gòu)的潰屈屬于聯(lián)系著結(jié)構(gòu)和材料的強(qiáng)度問題，潰屈是破壞范疇的失效，應(yīng)采用與強(qiáng)度理論相關(guān)的準(zhǔn)則來判定其失效。初始后屈曲理論突出了研究對(duì)象具有平衡形式的突變特征，而巖體結(jié)構(gòu)平衡形式的突變，表達(dá)了與邊坡巖體相關(guān)的分岔特征[3,5]。因此建立在初始后屈曲理論基礎(chǔ)上的突變模型，可將具有平衡形式突變的邊坡潰屈問題轉(zhuǎn)化為分岔問題來研究。

建立在小變形理論基礎(chǔ)上的傳統(tǒng)穩(wěn)定性理論，一般只獲得了邊坡臨界載荷的近似解。如果事先能夠給出滿足結(jié)構(gòu)位移邊界條件的屈曲模態(tài)，則可獲得其精確解[6-7]。但不能確定結(jié)構(gòu)屈曲后其平衡構(gòu)形及其模態(tài)幅值，也不能確定結(jié)構(gòu)屈曲后其平衡路徑和分岔的穩(wěn)定性?，F(xiàn)有的邊坡穩(wěn)定性理論不涉及由于邊坡賦存狀況決定了的初始缺陷[6,8]，因此不能確定其非完善特性的分岔載荷。對(duì)于邊坡巖體破斷機(jī)理的研究和所建立的穩(wěn)定性判據(jù)，主要是依據(jù)大撓度屈曲實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行直觀推測(cè)，并結(jié)合工程應(yīng)用加以驗(yàn)證[9-10]。

已有的研究成果表明，關(guān)于非完善結(jié)構(gòu)屈曲性態(tài)的研究，需要考慮實(shí)際結(jié)構(gòu)中存在缺陷這一要素[3,5]。順層邊坡巖體是一個(gè)由其賦存狀況決定了其初始缺陷的非完善結(jié)構(gòu)，邊坡巖體結(jié)構(gòu)的屈曲、后屈曲、潰屈破壞、剪切滑動(dòng)等與其穩(wěn)定性相關(guān)的問題有待深入研究。本文針對(duì)順層邊坡巖體結(jié)構(gòu)的初始缺陷特性和非完善屈曲特征，應(yīng)用初始后屈曲理論和突變理論等非線性理論，擬將邊坡巖體具強(qiáng)度屬性的潰屈問題轉(zhuǎn)化為分岔失穩(wěn)問題來研究，以揭示邊坡巖體結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性態(tài)。

1 邊坡巖體的初始屈曲

1.1 邊坡巖體的臨界載荷

初始后屈曲理論和變分原理指出，只要所研究問題的邊界條件確定為相同或相近，可以試取形式上極不相同的位移函數(shù)作為模態(tài)函數(shù)，其結(jié)果都是十分接近的。對(duì)于圖1所示的邊坡巖體屈曲力學(xué)模型，可取符合其位移邊界條件的余弦函數(shù)為變形模態(tài)。則當(dāng)邊坡巖體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，對(duì)于任意的模態(tài)幅值am值，由其泛函的二階變分為零得臨界載荷[2,5]

(1)

El和Ec——邊坡巖體的拉伸彈性模量和壓縮彈性模量；

α——巖層傾角與水平地面之間的夾角。

圖1 順層邊坡巖體結(jié)構(gòu)的屈曲Fig.1 Buckling for the slope with bedding rock mass

1.2 邊坡巖體的模態(tài)幅值方程

為了確定邊坡巖體在分岔狀態(tài)下的位移和所承受的載荷，探討邊坡巖體在基本狀態(tài)附近小鄰域的性態(tài)，需將泛函的二階變分在臨界載荷因子λ1附近展開為級(jí)數(shù)，在展開的級(jí)數(shù)中僅取一階項(xiàng)，可使邊坡巖體結(jié)構(gòu)的非線性穩(wěn)定性問題線性化[11]。于是，引入基本參數(shù)并作近似，原能量泛函數(shù)的表達(dá)式即轉(zhuǎn)化為如下的簡(jiǎn)單代數(shù)函數(shù)[2,5]

F(am,λ)=(λ-λ1)F′2(am)+Π4(w,am)+

Π0(w,am)

(2)

式中，F(xiàn)′2(am)=?Π2(w,λ)/?λ。式(2)是一個(gè)近似式，是關(guān)于模態(tài)幅值和載荷因子的一個(gè)二參數(shù)函數(shù)族。由F′2(am)及符合邊坡巖體邊界條件的屈曲模態(tài)，得式(2)各項(xiàng)表達(dá)式為

邊坡巖體基本平衡狀態(tài)附近的平衡構(gòu)形可由代數(shù)函數(shù)F(am,λ)的駐值來確定，當(dāng)駐值為本征值的最小時(shí)，平衡構(gòu)形才是穩(wěn)定的。為了確定邊坡巖體的模態(tài)幅值和平衡構(gòu)形，可利用駐值原理?F(am,λ)/?am=0，得平衡模態(tài)幅值方程

(3)

式中，

式(3)的點(diǎn)的集合是一個(gè)臨界流型，其幾何形態(tài)是一個(gè)平衡曲面。臨界流型具有突跳、雙模態(tài)、不可達(dá)等特性[12]。由式(2)知，當(dāng)λ=λ1時(shí)，使模態(tài)幅值am減少為零的變形路徑是真正的后屈曲平衡路徑。

2 邊坡巖體的后屈曲性態(tài)

2.1 邊坡巖體的分岔方程

位能增量泛函僅在其二次變分中考慮了與載荷因子有關(guān)的項(xiàng)，當(dāng)增量泛函的奇點(diǎn)滿足其一階和二階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，可得位能增量泛函奇點(diǎn)的一個(gè)子集，即系統(tǒng)狀態(tài)突變的控制方程

(4)

式(4)也稱為尖點(diǎn)突變模型的分岔集方程。當(dāng)D1>0時(shí)，即當(dāng)作用在邊坡巖體上的載荷小于分岔載荷時(shí)，邊坡巖層保持穩(wěn)定的基本狀態(tài)。當(dāng)D1≤0時(shí)，即當(dāng)作用在邊坡巖體上的載荷大于分岔載荷，并D1和D2同時(shí)滿足分岔集時(shí)，體系從基本平衡狀態(tài)到達(dá)鄰近的平衡狀態(tài)。

2.2 邊坡巖體的分岔載荷

為了確定邊坡巖體屈曲后分岔點(diǎn)附近的鄰域及潰屈狀態(tài)下的推力，將D1、D2代入分岔集方程，得跨越分岔集的載荷增量

(5)

式(5)以載荷增量的形式給出了分岔點(diǎn)附近的鄰域，而跨越分岔點(diǎn)的載荷增量是由初始缺陷確定的。應(yīng)用與增量泛函二階變分為零相一致的條件，以及幾何邊界條件，得載荷參數(shù)的最小值λ1=1。因此，由式(1)和式(5)可確定邊坡的分岔載荷

(6)

式(6)表明，在與臨界載荷相鄰的載荷下，缺陷結(jié)構(gòu)的屈曲性態(tài)與完善結(jié)構(gòu)是很不相同的。

2.3 邊坡巖體的模態(tài)幅值

(7)

(8)

即

(9)

時(shí)，邊坡巖體的屈曲模態(tài)構(gòu)形平衡穩(wěn)定。平衡構(gòu)形的穩(wěn)定性表明，邊坡巖體從基本狀態(tài)到達(dá)至鄰近的后屈曲狀態(tài)后還可繼續(xù)承載，后屈曲平衡路徑的性態(tài)揭示了后屈曲狀態(tài)下邊坡巖體的平衡穩(wěn)定性，平衡路徑上任一點(diǎn)表達(dá)了作用在邊坡巖體上的載荷和屈曲后的位移。

2.4 邊坡巖體的破斷位置

顯然，滿足邊坡賦存狀況邊界條件的變形模態(tài)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在開區(qū)間(a,b)具有導(dǎo)數(shù)。由Lagrange中值定理，在該區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ(a<ζ

w1(b)-w1(a)=(b-a)w′1(ζ)

(10)

(11)

(12)

于是，取符合賦存狀態(tài)的ζ的最小值，即n=1，可得圖1所示邊坡巖體潰屈破斷的位置為

(13)

由式(13)知，邊坡巖體的潰屈破斷位置與邊坡的傾角、邊坡離層長(zhǎng)度以及模態(tài)幅值有關(guān)。也就是說，邊坡巖體潰屈破斷的位置是由邊坡結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征、巖體材料、物理力學(xué)參數(shù)等確定的。

3 邊坡巖體的不穩(wěn)定性態(tài)

3.1 邊坡巖體的離層方程

邊坡巖體沿坡面的長(zhǎng)度可分為上部滑動(dòng)段BC、中部離層段AB和下部剪切段AD(圖1)。當(dāng)邊坡巖體的離層段處于臨界狀態(tài)時(shí)，由邊坡位能泛函的二階變分為零確定的臨界載荷與上部滑動(dòng)段提供的推力，可給出脫離底層的離層方程為

(14)

式中：P0=(qsinα-qcosαtanφ-c)l01——邊坡巖體單位寬度下滑力，

φ——層間摩擦角；

c——黏結(jié)力；

l——邊坡已與下層巖石脫離的長(zhǎng)度；

l01——可在底層巖石上滑動(dòng)的下滑段。

只有當(dāng)上部滑動(dòng)段和中部離層段的發(fā)育滿足式(14)時(shí)，邊坡巖體結(jié)構(gòu)才會(huì)離層屈曲。邊坡巖體臨界點(diǎn)的平衡穩(wěn)定性態(tài)表明，在推力達(dá)到臨界值之后，邊坡巖體依然能夠繼續(xù)承載，這與線性理論得到的結(jié)論是完全不同的。

3.2 邊坡巖體的潰曲方程

由式(6)知，對(duì)于缺陷結(jié)構(gòu)，在描述其從基本狀態(tài)轉(zhuǎn)變到某個(gè)相鄰構(gòu)形時(shí)再增加一載荷增量。因此，邊坡的上部滑動(dòng)段還提供了中部離層段潰屈所需的分岔載荷。設(shè)邊坡潰屈時(shí)上部滑動(dòng)段為l02，根據(jù)潰屈平衡，滑動(dòng)段l02與潰屈段l之間存在以下關(guān)系

(qsinα-qcosαtanφ-c)l02

(15)

式(15)即為順層邊坡巖體結(jié)構(gòu)的潰屈方程。潰屈方程表明，只有當(dāng)上部滑動(dòng)段和中部潰屈段的發(fā)育滿足式(15)，邊坡巖體結(jié)構(gòu)才會(huì)出現(xiàn)潰屈。式(15)即為邊坡穩(wěn)定性發(fā)生分岔的充分條件，或潰屈破壞的判據(jù)。

3.3 邊坡巖體的剪切滑動(dòng)

邊坡潰屈后，破斷巖體間的相互作用力即為系統(tǒng)跨越分岔集時(shí)的載荷增量ΔP(圖2)。設(shè)lk為邊坡巖體潰屈后坡腳處的剪切極限長(zhǎng)度，根據(jù)剪切平衡條件有

(16)

邊坡巖體潰屈后，由潰屈段破斷巖塊間的相互推力，可確定坡腳處的剪切極限長(zhǎng)度。顯然，剪切極限長(zhǎng)度與上部滑動(dòng)段和中部潰屈段無關(guān)，只取決于邊坡巖體從離層狀態(tài)演化為潰屈狀態(tài)而所需的載荷增量。式(16)即為剪切滑動(dòng)的判據(jù)。 由式(16)，根據(jù)邊坡的總體長(zhǎng)度和上部滑動(dòng)段、中部潰屈段及坡腳處殘存的長(zhǎng)度，即可判定坡腳處會(huì)否發(fā)生剪切滑動(dòng)破壞。

圖2 順層邊坡巖體結(jié)構(gòu)的潰屈Fig.2 Buckling failure for the slope with bedding rock mass

4 工程算例

霸王山邊坡的實(shí)際長(zhǎng)度為1 462 m，屬于中厚層灰?guī)r并夾有黏土層夾層的板裂巖體層狀邊坡，邊坡傾角α=40°，容重γ=27 kN/m3，抗拉、壓彈模El=3.2×103MPa，Ec=50×103MPa，泊松比μ=0.25，層間摩擦角φ=17°，黏結(jié)力C=0.04 MPa，巖層厚度h=10 m，該山坡曾發(fā)生過潰屈破壞[7,13]。

邊坡單位寬度下滑力P0=(qsinα-qcosαtanφ-c)l01，單位寬度分布載荷q=γh，因此P0=(γhsinα-γhcosαtanφ-C)l01=(27×103h×0.643-27×103h×0.766×0.306-40×103)l01，由該式，即當(dāng)

時(shí)，P0>0，黏土層上覆巖層產(chǎn)生滑動(dòng)。而上覆巖層厚度h=10 m，因此，可沿黏土層夾層滑動(dòng)。

根據(jù)離層方程式

b1=(qsinα-qcosαtanφ-c)l01，

則離層方程可表示為

a1l3+b1l2-c1=0

當(dāng)邊坡的滑動(dòng)段l01=150 m時(shí)，a1=8.68×104N/m2，b1=10.5×106N/m，c1=28.58×1012N·m

則邊坡的離層長(zhǎng)度

=652.5 m

邊坡巖體的非完善特性主要表現(xiàn)為其初始缺陷致離層段的臨界狀態(tài)偏離了潰屈段的分岔狀態(tài)。以下給出該工程算例的兩種特殊情況：

(1)滑動(dòng)段不再發(fā)育、發(fā)展，離層段只在其下端進(jìn)一步發(fā)育、開裂、離層。

根據(jù)潰屈方程式

(qsinα-qcosαtanφ-c)l02

則潰屈方程表示為

a2l3-b2l2-c2=0

當(dāng)滑動(dòng)段停止發(fā)育，l02=l01=150 m時(shí)，a2=8.68×104N/m2，b2=36.62×106N/m，c2=28.58×1012N·m，則邊坡的潰屈長(zhǎng)度

=863.5 m

即當(dāng)滑動(dòng)段保持150 m，離層段達(dá)863.5 m，邊坡出現(xiàn)潰屈。

(2)離層段下端發(fā)育、開裂、離層，上端增加滑動(dòng)段，但邊坡的離層長(zhǎng)度l1=l2=652.5 m不變。由式(14)和式(15)得順層邊坡潰屈方程的增量形式

得47.12×106=0.07×106Δl0，Δl0=673.2 m

即當(dāng)離層段保持652.5 m，滑動(dòng)段增長(zhǎng)673.2 m，達(dá)823.2 m時(shí)，邊坡巖體出現(xiàn)潰屈破壞。

一般情況下，邊坡巖體處于離層段的下端不斷發(fā)育、開裂、離層，離層段的上端不斷轉(zhuǎn)化為滑動(dòng)段的動(dòng)態(tài)過程中。只有當(dāng)邊坡巖體結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)段和離層段滿足離層方程(14)時(shí)，邊坡巖體結(jié)構(gòu)才會(huì)出現(xiàn)離層；只有當(dāng)邊坡巖體結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)段和離層段滿足潰屈方程(15)時(shí)，邊坡巖體才會(huì)出現(xiàn)潰屈破壞。

根據(jù)剪切滑動(dòng)判據(jù)

得

0.103×106lk=47.12×106，lk=457.5 m

即當(dāng)lk>457.5 m時(shí)，潰屈后才不會(huì)被剪斷。該邊坡的實(shí)際長(zhǎng)度為1 462 m，如果邊坡的滑動(dòng)段l0=150 m，則邊坡潰屈后在坡腳處會(huì)被剪斷。

圖3根據(jù)邊坡巖體出現(xiàn)的兩種潰屈情況，確定了A(150,863)、B(823,652)兩點(diǎn)，并進(jìn)一步確定了該邊坡巖體的潰屈直線方程。

圖3 邊坡巖體的潰屈直線Fig.3 Buckling failure line for the slope rock mass

5 結(jié)論

(1)順層邊坡巖體結(jié)構(gòu)是一個(gè)由其賦存狀況決定了其缺陷的非完善結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的非完善特性在分岔狀態(tài)下表現(xiàn)為系統(tǒng)跨越分岔集時(shí)的載荷增量，邊坡巖體結(jié)構(gòu)的潰屈和剪切滑動(dòng)判據(jù)都是依據(jù)載荷增量建立的。

(2)邊坡巖體臨界點(diǎn)的平衡穩(wěn)定性表明，在推力達(dá)到臨界值之后，邊坡巖體依然能夠繼續(xù)承載。巖體結(jié)構(gòu)處在不斷發(fā)育的動(dòng)態(tài)過程中，離層臨界點(diǎn)屬于穩(wěn)定的平衡分岔，只有巖體結(jié)構(gòu)相關(guān)區(qū)段的發(fā)育同時(shí)滿足潰屈方程時(shí)，邊坡才會(huì)出現(xiàn)破壞。

(3)邊坡巖體結(jié)構(gòu)的離層并不意味其承載能力的喪失。具有非完善特性的邊坡巖體結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出邊坡的實(shí)際潰屈長(zhǎng)度偏離其離層長(zhǎng)度。算例表明，邊坡從離層至潰屈是相關(guān)區(qū)段不斷由離層到滑動(dòng)演變的一個(gè)過程。

(4)初始后屈曲理論是近似的大變形理論，應(yīng)用初始后屈曲理論可給出結(jié)構(gòu)屈曲后的平衡構(gòu)形，也可判定結(jié)構(gòu)屈曲后平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性；突變理論凸顯了邊坡巖體結(jié)構(gòu)具有的非完善特性，并可將潰屈問題轉(zhuǎn)化為屈曲失效問題來研究。