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一次函數(shù)中的“雙解”問題

2020-03-08 14:43:02季黎明
初中生世界·八年級 2020年2期
關鍵詞:半軸象限線段

季黎明

一次函數(shù)是八年級上學期的重要一章,是邁入函數(shù)大門的第一步。結(jié)合同學們學習一次函數(shù)的過程,季老師發(fā)現(xiàn)有些同學由于對一次函數(shù)的概念及圖像性質(zhì)的理解不夠深入,導致錯解或漏解。本文以四道典型題目為例,談談在一次函數(shù)的學習中經(jīng)常會遇見的問題,希望能對同學們有所幫助。

例1 已知關于x的函數(shù)y=(m-3)x|m-2|+3是一次函數(shù),求m的值。

【錯解】由題意得:m-2=1或m-2=-1,所以m的值為3或1。

【正解】由m-2=+1得:m=3或1。又因為m-3≠0,所以m≠3,所以m的值為1。

【點撥】一般地,形如y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)的函數(shù),叫做一次函數(shù)。上述解答中忽略了k≠0這一信息,當k=0即m=3時,不滿足一次函數(shù)定義。

例2 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過A(5,0),與y軸交于點B,圖像與坐標軸圍成的△OAB的面積為10,求一次函數(shù)解析式。

【錯解】設B坐標為(0,b),則OB=b,所以S△ABC=1/2OA×OB=1/2×5×b=10,則b=4,所以一次函數(shù)可以表示為y=kx+4。又因為圖像經(jīng)過A點,將A點坐標代入y=kx+4可得k=-4/5,所以一次函數(shù)解析式為y=-5x+4。

【正解】設B坐標為(0,b),則OB=|b|,根據(jù)上述解答可知|b|=4,則b=±4,所以一次函數(shù)可以表示為y=kx+4。將A點坐標分別代入y=kx+4和y=kx-4,可得k=-4/5或4/5,所以一次函數(shù)解析式為y=-5x+4或y=4/5x-4。

【點撥】上述錯解情形中,忽略了線段長度的非負性。一次函數(shù)與y軸相交于點B,但并未明確點B在y軸正半軸還是負半軸上。當B點在y軸負半軸上時,b為負數(shù),則OB=-b。同學們要注意坐標與線段長度的區(qū)別與聯(lián)系。

例3 直線y=mx+m+2不經(jīng)過第三象限,求m的取值范圍。

【點撥】如何解讀“直線不經(jīng)過第三象限”?“不經(jīng)過第三象限”是指經(jīng)過一、二、四象限或只經(jīng)過二、四象限或只經(jīng)過一、二象限。當直線只經(jīng)過二、四象限時,是一次函數(shù)中的正比例函數(shù)圖像,所以有m+2=0,解得:m=-2。當直線只經(jīng)過一、二象限時,則m=0,此時直線y=2平等于x軸。

例4 已知一次函數(shù)y=kx+b,當1≤x≤4時,3≤y≤6,求一次函數(shù)解析式。

【點撥】本題并沒有明確函數(shù)的增減性,所以y與x的對應需要分類討論。當k>0時,y隨著x的增大而增大,即為上述錯解中的情形。當k<0時,y隨著x的增大而減小,此時x=1對應y=6,x=4對應y=3。

關于一次函數(shù)的學習,還有諸多類似的誤區(qū)。我們要重視對概念和圖像性質(zhì)的理解和把握,打牢基礎,不斷提高思維的嚴謹性,為函數(shù)的學習打下堅實的基礎。

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