孫玉凱，張仁嘉，吳志剛，*，楊超，楊陽

（1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京100083； 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

舵機是氣動伺服彈性系統(tǒng)中的執(zhí)行機構，其將舵面的控制指令信號轉化為舵面的運動，從而驅動舵面偏轉產(chǎn)生控制力矩［1］。目前，市面上許多公司的舵機伺服系統(tǒng)解決方案，其舵機本身頻響特性較好，并給出完整的特性參數(shù)，提供配套的控制系統(tǒng)，可針對舵機實際工作狀態(tài)調整參數(shù)，滿足工作要求。但是，對于大部分小型民用無人機來說，由于受到設計空間、質量、設計成本等方面的限制，無法選用頻響特性好的驅動系統(tǒng)，而是選用航模常用的普通小型舵機。

小型無人機選用舵機時首要考慮舵機扭力、轉速等是否達到要求，舵機頻響特性考慮較少。但是，一些大展弦比的無人機為避免飛機破壞，會加入陣風減緩、顫振主動抑制等控制環(huán)節(jié)。這些控制環(huán)節(jié)不僅對舵機的帶寬和響應速度有較高的要求，還需要獲得舵機準確的數(shù)學模型以進行主動控制。

一方面，普通小型舵機內部元件組成復雜，受元件實際特性的影響，單純基于理論模型的數(shù)學推導無法獲得精確的舵機傳遞函數(shù)［2］。另一方面，普通小型舵機的特性參數(shù)不全面，缺少頻響特性測試報告。為此，在選用舵機時，有必要對擬選舵機進行頻響特性測試，獲取舵機的頻響特性，并辨識舵機的傳遞函數(shù)。

目前，舵機頻響特性測試多針對單一舵機，對市面上常用的小型舵機缺少通用的舵機頻響測試平臺［2-6］。舵機傳遞函數(shù)的辨識方法通常采用曲線擬合法，如Levy法［4］，通過2個待定實系數(shù)的多項式的比值描述該系統(tǒng)，利用最小二乘擬合頻響曲線得到多項式系數(shù)。曲線擬合的方法存在一定的局限性［7］。一方面，由于曲線擬合方法利用數(shù)值迭代，最終結果可能收斂于局部最優(yōu)解而非全局最優(yōu)解；另一方面，當系統(tǒng)的階數(shù)很高時，系統(tǒng)對多項式的零點極點更加敏感，魯棒性變差。

子空間辨識方法是基于控制理論、線性代數(shù)和統(tǒng)計學發(fā)展而來的系統(tǒng)辨識方法，是一個“輸入-狀態(tài)-輸出”的辨識過程［8］。經(jīng)過不斷的發(fā)展，子空間辨識發(fā)展出了N4SID、MOESP、CVA［9］等在內的諸多方法且應用廣泛。與傳統(tǒng)的曲線擬合方法相比，子空間辨識無需進行非線性和迭代優(yōu)化［10-11］，而且子空間辨識對于高階系統(tǒng)具有很好的魯棒性［12］。

本文考慮舵機工作過程中受到的舵面慣性載荷和氣動載荷，設計了一種舵機頻響特性測試平臺，并給出了舵機頻響特性測試與系統(tǒng)辨識的方法。驗證了測試平臺的有效性，測試了舵機在有/無氣動載荷下的頻響特性差異。根據(jù)舵機實測的頻響曲線，利用子空間辨識方法辨識并構建了舵機的數(shù)學模型，為舵機選型和控制設計提供參考。

1 舵機頻響特性測試平臺設計

舵機工作狀態(tài)下的負載包括舵面慣性載荷和氣動載荷，為模擬舵機實際工作中受到的載荷，設計了舵機頻響特性測試系統(tǒng)。如圖1、圖2所示，該系統(tǒng)主要由舵機測試平臺、測控平臺兩部分組成。

圖1 舵機頻響特性測試系統(tǒng)框架Fig.1 Framework of actuator frequency response characteristic test system

圖2 舵機頻響特性測試系統(tǒng)實物圖Fig.2 Photo of actuator frequency response characteristic test system

舵機測試平臺由待測舵機安裝模塊和舵面載荷模擬模塊組成，分別緊固于直線滑軌上，如圖3所示。待測舵機安裝模塊包括待測舵機及其安裝夾具（見圖4），該舵機安裝夾具可調整待測舵機轉軸的位置，方便不同尺寸、不同類型舵機的安裝；另外，通過調整待測舵機轉軸高度，使舵機搖臂、舵機舵面連桿、舵面模擬搖臂構成一套平行四邊形平面連桿機構。

舵面載荷模擬模塊包括氣動載荷模擬扭桿和慣性載荷模擬搖臂等主要部件，在舵面模擬搖臂的轉軸處安裝角位移傳感器，測量搖臂轉角，其具體結構如圖5所示。

圖3 舵機測試平臺Fig.3 Actuator test platform

圖4 待測舵機安裝模塊放大圖Fig.4 Enlarged view of installation module of actuator to be tested

圖5 舵面載荷模擬模塊放大圖Fig.5 Enlarged view of control surface load simulation module

1.1 舵面氣動載荷模擬

舵面的鉸鏈力矩，即舵面所受氣動載荷對轉軸處的力矩為

式中：ρ為大氣密度；V為來流速度；Se為舵面參考面積；Che，δ為鉸鏈力矩系數(shù)；δ為舵面偏角。

在本文所述的舵面偏角范圍內，舵面氣動力滿足線性小擾動假設。定義舵面的鉸鏈剛度Khe，δ為

則舵面的鉸鏈力矩是關于舵面偏角δ的函數(shù)：He（δ）=Khe，δδ。

本文所述舵機測試平臺通過扭桿模擬舵面的鉸鏈力矩，為便于安裝，扭桿截面形狀選為矩形。矩形截面有2個參數(shù)：矩形高（h）和矩形寬（b），該矩形截面的極慣性矩為

式中：β為矩形截面系數(shù)，為簡化設計參數(shù)，取扭桿截面形狀為正方形，即h/b=1，此時β=0.141。

設矩形截面扭桿一端固支，工作長度為Lbeam（見圖6），扭桿自由端產(chǎn)生的扭矩為

式中：G=E/［2（1+μ）］為材料的剪切模量，E為材料的彈性模量，μ為泊松比。

由式（1）和式（4）有

式中：Lbeam和h為正方形截面扭桿設計的待定參數(shù)，通過計算舵面偏轉產(chǎn)生的鉸鏈力矩，設計合適的扭桿尺寸，從而實現(xiàn)對舵面鉸鏈力矩的模擬。

圖6 矩形截面扭桿氣動力模擬裝置原理圖Fig.6 Schematic diagram of aerodynam ic simulation device by a rectangular-section torsion bar

1.2 舵面慣性載荷模擬

如圖7所示，舵面的慣性載荷指舵面的慣性力在轉軸處產(chǎn)生的力矩。為模擬舵面的轉動慣量，設舵面的質量為mg，舵面質心到轉軸的距離為Lg。

圖7 舵面轉動慣量示意圖Fig.7 Schematic diagram of rotational interia of control surface

通過在舵面模擬搖臂上增加配重并調整位置（見圖8），使得配重的質量mw=mg，配重的位置滿足Lw=Lg時，該舵面模擬搖臂的轉動慣量即等于舵面本身的轉動慣量。

圖8 舵面慣性載荷模擬裝置原理圖Fig.8 Schematic diagram of simulation device of rotational inertial loads of control surface

2 頻響函數(shù)測試方法

獲得幅值和相位差的方法主要有傅里葉變換譜分析法、最小二乘法［13］和相關分析法［5］。對于步進正弦掃頻測試，在單一頻率點上有充足的數(shù)據(jù)，考慮到傅里葉變換譜分析法對噪聲敏感，適合使用最小二乘法或者相關分析法。本文采用最小二乘法［13］計算系統(tǒng)在每個頻率點上的幅值和相位差。

從計算機輸出的掃頻信號中截取樣本個數(shù)為N、頻率為fi下的信號片段，其離散表示為

式中：n=1，2，…，N；U為掃頻信號u（n）的幅值。

在實際工作過程中，一般將舵系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)。測量到的舵偏轉信號形式為

式中：Y為舵偏轉信號y（n）的絕對幅值；A為傳遞函數(shù)幅值；φ為傳遞函數(shù)相位；Ny（n）為測量信號中的噪聲。

將式（7）改寫為關于A cosφ和A sinφ的矩陣形式：

簡寫為

通過最小二乘法尋找x=［A cosφ A sinφ］T的最優(yōu)解為

得到在頻率fi下的頻響值為

對每個頻率線都做以上的最小二乘運算，就能夠得到系統(tǒng)整體的頻響特性，并且最小二乘的計算過程本身具有很強的濾波功能，能減小測量噪聲對計算結果的誤差。

3 舵機動力學系統(tǒng)辨識方法

3.1 辨識問題描述

子空間辨識在實測頻響函數(shù)曲線的基礎上，辨識獲得舵機的離散狀態(tài)空間模型，再將離散域模型轉換到連續(xù)域，獲得連續(xù)狀態(tài)空間模型，利用該模型重構得到舵機傳遞函數(shù)。

考慮n階線性時不變連續(xù)狀態(tài)空間模型，其表征為

式中：Ac、Bc、Cc和Dc分別為連續(xù)狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和直接傳遞矩陣；x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u為系統(tǒng)的輸入；y為系統(tǒng)的輸出；下標c表示連續(xù)模型標識。離散后的狀態(tài)空間模型為

式中：A、B、C、D分別為離散狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和直接傳遞矩陣；yr∈Rp為系統(tǒng)的輸出；ur∈Rm為系統(tǒng)的輸入；下標r表示采樣點，即滿足xr=x（rΔt），Δt為采 樣周期。

狀態(tài)空間模型（13）的脈沖響應gk表示為

則狀態(tài)空間模型（13）的頻響函數(shù)為

即有

于是，系統(tǒng)辨識的問題描述如下：已知實測（包含噪聲）M 個樣本點的頻響函數(shù)：

式中：

其中：σ1定義為最大奇異值。當nk=0時，給定有限個樣本點M，存在M0＜∞使得

一般情況下，連續(xù)狀態(tài)空間模型與離散狀態(tài)空間模型之間滿足信號的零階采樣保持（ZOH）假設。但是，大部分航模舵機均采用50 Hz的PWM控制，對于這種低采樣率的離散系統(tǒng)，需要采用雙線性變換，減小由于假設引起的誤差［14］。

假設連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Gc（s），離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Gd（z），下標c表示連續(xù)模型標識，下標d表示離散模型標識。當獲得了離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，即可通過逆變換獲得連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

連續(xù)和離散狀態(tài)空間模型之間的雙線性變換為［14］

式中：ΔT為系統(tǒng)的采樣周期，需要注意的是，2/ΔT不是連續(xù)系統(tǒng)的極點。

3.2 頻域子空間辨識

本文采用的子空間辨識算法的主要步驟如下：

步驟1擴展頻響函數(shù)樣本點

式中：（·）*為（·）的共軛。

式中：q＞n，r≥n，q+r≤2M。

式中：［·］+表示［·］的Moore-Penrose逆。

步驟9將離散域模型轉換為連續(xù)域模型，獲得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

4 舵機頻響特性測試試驗設計

針對文獻［15］中選用的三款舵機分別進行了無氣動載荷和有氣動載荷的頻響特性測試，并針對實際使用中的帶氣動載荷情況，進行了舵機傳遞函數(shù)參數(shù)辨識。

4.1 測試對象

1）舵 機A

JR SERVO DS8900G舵機（見圖9）為無芯數(shù)字高速伺服電機，其主要參數(shù)如下：伺服電壓為4.8 V，轉 速 為0.05 s/60°（4.8 V），扭 矩 為0.336 N·m（4.8 V），質量為59 g。該舵機采用50Hz PWM控制。

2）舵 機B

Hitec HS-7954SH舵機（見圖10）為空心杯大扭力數(shù)字舵機，其主要參數(shù)如下：伺服電壓為6.0 V，轉速為0.15 s/60°（6.0 V），扭力為24 kg/cm（6.0 V），質量為65 g。該舵機采用50Hz PWM控制。

3）舵 機C

圖9 JR SERVO DS8900G舵機Fig.9 JR SERVO DS8900G actuator

圖10 Hitec HS-7954SH舵機Fig.10 Hitec HS-7954SH actuator

MaxonMotor EC-4pole22-323218 舵 機 （見圖11）為直流高功率無刷電機，與減速器、傳感器和控制器組成舵機伺服系統(tǒng)。該舵機的主要參數(shù)如下：電機電阻為0.527Ω，堵轉轉矩為0.639 N·m，額定轉矩為0.045 1 N·m，最大允許轉速為15 000 r/min，轉矩常數(shù)為0.014N·m/A，速度常數(shù)為680 r/（m in·V），機械時長為1.48 ms，轉子慣量為5.54 g·cm2，減速器傳動比i=50，質量為223 g。

圖11 MaxonMotor EC-4pole22-323218舵機Fig.11 MaxonMotor EC-4pole22-323218 actuator

4.2 測試布置

根據(jù)飛機模型的舵面參數(shù)［15］確定舵機頻響特性測試平臺中配重的質量和位置，并且根據(jù)該舵面實際的飛行狀態(tài)，計算確定測試平臺中的扭桿尺寸，其結果如表1所示。

利用舵機頻響特性測試系統(tǒng)進行舵機的頻響特性測試，通過給待測舵機輸入正弦掃頻信號，同時測量掃頻信號與待測舵機的舵響應信號，繪制待測舵機的頻響函數(shù)。舵機頻響特性測試的輸入與測量參數(shù)如表2所示，在每個頻率點的信號長度不少于10個周期。

通過地面試驗得到待測舵機的傳遞函數(shù)，利用子空間辨識獲得舵機的傳遞函數(shù)。

表1 舵機頻響特性測試平臺參數(shù)Tab le 1 Param eters of actuator frequency response characteristic test p latform

表2 舵機頻響特性測試參數(shù)Tab le 2 Param eters of actuator frequency response characteristic test

5 結果與討論

分別對無氣動載荷情況、有氣動載荷情況測試舵機A的頻響函數(shù)。選用舵機時，通常認為舵機的幅頻特性＞-3 dB即滿足使用條件，由此可確定舵機的正常使用帶寬；另外，實際舵機受內部機械結構和舵機采樣率的影響存在時滯環(huán)節(jié)，由相頻特性反映的舵機時滯時長也是舵機選用時的重要參數(shù)。

5.1 舵機A

5.1.1 實測頻響函數(shù)

無氣動載荷情況的實測頻響函數(shù)如圖12所示。圖12顯示在0.1～10Hz區(qū)間內，該舵機的幅頻特性較好?？梢钥闯?，該舵機的正常使用帶寬在8Hz以上。但從相頻特性可以看出，該舵機存在明顯的時滯環(huán)節(jié)，不同掃頻幅值下的時滯時長差異明顯。當掃頻幅值在2°時，該舵機的時滯時長為0.06 s；當掃頻幅值為5°時，時滯時長變?yōu)?.24 s。當掃頻幅值為2°與3°時，其相位特性一致。

圖12 無氣動載荷時舵機A隨掃頻信號幅值變化的頻響特性Fig.12 Frequency response characteristics of Actuator A with sweep signal amplitude without aerodynamic load

圖13 有氣動載荷時舵機A隨掃頻信號幅值變化的頻響特性Fig.13 Frequency response characteristics of Actuator A with sweep signal amplitude with aerodynamic loads

圖13顯示了舵機A有氣動載荷時的頻響特性。與無氣動載荷不同的是，當掃頻幅值為3°時時滯最明顯，時滯時長為0.22 s。當掃頻幅值為5°時，時滯時長變?yōu)?.07 s。當掃頻幅值為2°與4°時，其相位特性一致。

圖14對比了掃頻幅值為5°時有/無氣動載荷對舵機特性的影響?？梢钥闯觯瑲鈩虞d荷不僅降低了舵機A的幅頻特性，同時也顯著改變了該舵機的相頻特性。

圖14 掃頻幅值為5°時，有/無氣動載荷下的舵機A頻響特性Fig.14 Frequency response characteristics of Actuator A under 5°sweep signal amp litude with/without aerodynamic load

5.1.2 舵機傳遞函數(shù)辨識

在考慮舵機時滯的影響下，引入時滯環(huán)節(jié)（e-τs），并對實測的傳遞函數(shù)進行辨識。辨識得到狀態(tài)空間模型之后，利用式（16）重構離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并通過雙線性變換構建連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

該舵機辨識得到的頻響函數(shù)曲線與實測曲線如圖15所示?？梢钥闯?，在0.1～10 Hz的頻率區(qū)間內，其頻響特性基本吻合。

圖15 掃頻幅值為5°時，有氣動載荷下的舵機A頻響函數(shù)曲線對比Fig.15 Frequency response function curves identification of Actuator A under 5°sweep signal amplitude with aerodynamic loads

5.2 舵機B

5.2.1 實測頻響函數(shù)

從實測頻響函數(shù)曲線看出（見圖16和圖17），在0.2～8 Hz區(qū)間內，該舵機無氣動載荷時的幅頻特性隨著掃頻頻率的增加而下降。其整體的幅頻特性隨著掃頻幅值的增加而降低，并且該舵機的正常使用帶寬小于4Hz。

在該舵機中也存在明顯的時滯，但時滯時長隨掃頻幅值的變化不大。從圖18看出，有/無氣動載荷對該舵機的相頻特性影響較小，施加氣動載荷會小幅降低該舵機的幅頻特性。

圖16 無氣動載荷時舵機B隨掃頻信號幅值變化的頻響特性Fig.16 Frequency response characteristics of Actuator B with sweep signal amplitude without aerodynamic load

圖17 有氣動載荷時舵機B隨掃頻信號幅值變化的頻響特性Fig.17 Frequency response characteristics of Actuator B with sweep signal amplitude with aerodynamic loads

5.2.2 舵機傳遞函數(shù)辨識

考慮該舵機的時滯并對該舵機進行傳遞函數(shù)辨識，得到的頻響函數(shù)曲線與實測曲線如圖19所示。可以看出，在0.2～8 Hz的頻率區(qū)間內，其頻響特性吻合。該舵機中存在有τ=0.1 s左右的時滯時長。

圖18 掃頻幅值為5°時，有/無氣動載荷下的舵機B頻響特性Fig.18 Frequency response characteristics of Actuator B under 5°sweep signal amplitude with/without aerodynamic load

圖19 掃頻幅值為5°時，有氣動載荷下的舵機B頻響函數(shù)曲線對比Fig.19 Frequency response function curves identification of Actuator B under 5°sweep signal amplitude with aerodynamic loads

5.3 舵機C

5.3.1 實測頻響函數(shù)

如圖20和圖21所示，從實測頻響曲線可以看出，該舵機的頻響特性良好，不存在明顯的時滯。在掃頻幅值為7°時，該舵機正常使用帶寬也達到了8Hz。隨著掃頻幅值從2°到7°不斷增大，舵機帶寬也不斷降低。

在施加氣動載荷之后，如圖22所示，該舵機的頻響特性與無氣動載荷時的特性一致。

5.3.2 舵機傳遞函數(shù)辨識

圖20 無氣動載荷時舵機C隨掃頻信號幅值變化的頻響特性Fig.20 Frequency response characteristics of Actuator C with sweep signal amplitude without aerodynamic load

圖21 有氣動載荷時舵機C隨掃頻信號幅值變化的頻響特性Fig.21 Frequency response characteristics of Actuator C with sweep signal amplitude with aerodynamic loads

圖22 掃頻幅值為7°時，有/無氣動載荷下的舵機C頻響特性Fig.22 Frequency response characteristics of Actuator C under 7°sweep signal amplitude with/without aerodynamic load

通過辨識發(fā)現(xiàn)，雖然該舵機存在有τ=14ms的時滯時長，遠大于舵機的機械時長1.48ms，但時滯時長遠小于正常使用帶寬對應周期，對實際使用的影響較小。

對于該舵機，辨識得到的頻響函數(shù)曲線與實測曲線如圖23所示，在0.1～15 Hz的頻率區(qū)間內，辨識與實測結果一致。

圖23 掃頻幅值為7°時，有氣動載荷下的舵機C頻響函數(shù)曲線對比Fig.23 Frequency response function curves identification of Actuator C under 7°sweep signal amplitude with aerodynam ic loads

5.4 頻響特性測試結果

通過測試結果對比，獲得3款舵機的頻響特性，舵機的主要頻響特性參數(shù)如表3所示。3款舵機均存在不同程度的時滯，一方面是由數(shù)字信號采樣頻率引起，另一方面是受舵機元件中的間隙和摩擦影響。

表3 舵機頻響特性測試結果Table 3 Results of actuator frequency response characteristic test

6 結 論

1）針對航模舵機的頻響特性測試設計了一種舵機頻響特性測試平臺，利用該平臺可以模擬舵面慣性載荷，可以對大部分航模舵機進行有/無氣動載荷的測試，提出了航模舵機頻響特性測試方法，利用子空間辨識獲得舵機的傳遞函數(shù)。

2）在舵機的標稱扭矩內，工作載荷的變化對普通小型舵機的幅頻特性影響較大，載荷增加會使幅頻曲線整體降低，掃頻幅值的增加會降低航模舵機帶寬。

3）普通小型舵機大多采用50 Hz PWM 信號控制，受采樣頻率影響，舵機天然存在一個0.02 s的時滯，但通過頻響特性測試發(fā)現(xiàn)，舵機的真實時滯時長遠超于采樣時間步長，這可能由舵機元件中的間隙和摩擦造成的。在使用時，應考慮采樣頻率和時滯的影響。

4）應用頻域子空間辨識方法和雙線性變換，辨識得到舵機的傳遞函數(shù)，通過與實測頻響函數(shù)的對比，驗證了本文辨識方法的有效性。